Номер 238, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

238. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Каков период его обращения?

Дано:

Высота орбиты, $h = 600 \text{ км}$

Для решения задачи используем справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Переведем данные в систему СИ:

$h = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 0.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника, $v$

Период обращения спутника, $T$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_g = m \cdot a_c$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение равно:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его скорость, а $r$ — радиус орбиты. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли и высоты спутника над поверхностью Земли: $r = R_З + h$.

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} = \frac{m v^2}{R_З + h}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус орбиты $r = R_З + h$ в знаменателе, получим формулу для вычисления скорости спутника (первой космической скорости на данной высоте):

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h}}$

Сначала вычислим радиус орбиты:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.6 \cdot 10^6 \text{ м} = 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим числовые значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{7.0 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{7.0 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{5.717 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7560 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7.56 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Далее найдем период обращения спутника. Период — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Длина орбиты равна $L = 2\pi r$. Так как скорость спутника постоянна, период можно найти по формуле:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi r}{v}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}}{7560 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{43.96 \cdot 10^6}{7560} \text{ с} \approx 5815 \text{ с}$

Переведем секунды в минуты для наглядности: $5815 \text{ с} / 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} \approx 96.9 \text{ мин}$.

Ответ: скорость спутника должна быть примерно $7.56 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, а период его обращения составляет около $5815 \text{ с}$ (или $96.9 \text{ мин}$).