Номер 242, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

242. Луна движется вокруг Земли по круговой орбите со скоростью около 1 км/с. Среднее расстояние от Земли до Луны $3,9 \cdot 10^5$ км. По этим данным определить массу Земли.

Дано:

Скорость движения Луны, $v = 1 \text{ км/с}$
Среднее расстояние от Земли до Луны, $r = 3,9 \cdot 10^5 \text{ км}$
Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$v = 1 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$r = 3,9 \cdot 10^5 \text{ км} = 3,9 \cdot 10^5 \cdot 10^3 \text{ м} = 3,9 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

Массу Земли, $M_З$.

Решение:

Луна движется по круговой орбите вокруг Земли. Сила всемирного тяготения, действующая со стороны Земли на Луну, является центростремительной силой. Эта сила удерживает Луну на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять выражения для силы гравитационного притяжения и центростремительной силы.

Сила всемирного тяготения ($F_g$) между Землей и Луной определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m_Л}{r^2}$

где $M_З$ — искомая масса Земли, $m_Л$ — масса Луны, $r$ — радиус орбиты Луны (расстояние между центрами Земли и Луны), а $G$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила ($F_c$), действующая на Луну, вычисляется по формуле:

$F_c = m_Л \frac{v^2}{r}$

где $v$ — орбитальная скорость Луны.

Так как гравитационная сила выполняет роль центростремительной, приравняем их:

$F_g = F_c$

$G \frac{M_З m_Л}{r^2} = m_Л \frac{v^2}{r}$

Масса Луны $m_Л$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить. Также можно сократить $r$ в знаменателе:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Из этого соотношения выразим массу Земли $M_З$:

$M_З = \frac{v^2 r}{G}$

Теперь подставим числовые значения (в системе СИ) в полученную формулу для расчета массы Земли:

$M_З = \frac{(1 \cdot 10^3 \text{ м/с})^2 \cdot (3,9 \cdot 10^8 \text{ м})}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

$M_З = \frac{10^6 \cdot 3,9 \cdot 10^8}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3,9 \cdot 10^{14}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M_З \approx 0,5847 \cdot 10^{25} \text{ кг}$

Запишем результат в стандартном виде научной нотации, округлив до трех значащих цифр:

$M_З \approx 5,85 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: масса Земли примерно равна $5,85 \cdot 10^{24}$ кг.