Номер 240, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

240. Во сколько раз отличается скорость искусственного спутника, движущегося на высоте 21 600 км от поверхности Земли, от скорости спутника, движущегося на высоте 600 км над поверхностью? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано:

Высота первого спутника $h_1 = 21 600$ км
Высота второго спутника $h_2 = 600$ км
Радиус Земли $R_З = 6400$ км

$h_1 = 21600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,16 \cdot 10^7 \text{ м}$
$h_2 = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Отношение скоростей спутников.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_{грав}$ равна центростремительной силе $F_{ц}$:

$F_{грав} = F_{ц}$

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $r$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$: $r = R_З + h$.

Из уравнения выше выразим скорость движения спутника:

$v^2 = \frac{G M}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M}{r}} = \sqrt{\frac{G M}{R_З + h}}$

Чтобы найти, во сколько раз отличаются скорости, найдем их отношение. Обозначим скорость спутника на высоте $h_1$ (21 600 км) как $v_1$, а на высоте $h_2$ (600 км) — как $v_2$. Чем меньше радиус орбиты, тем больше скорость, поэтому найдем отношение большей скорости к меньшей:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{R_З + h_2}}}{\sqrt{\frac{G M}{R_З + h_1}}}$

Величины $G$ и $M$ сокращаются, и формула принимает вид:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_З + h_1}{R_З + h_2}}$

Вычислим радиусы орбит $r_1$ и $r_2$. Поскольку мы ищем безразмерное отношение, можно использовать значения в километрах.

Радиус орбиты первого спутника:

$r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 21600 \text{ км} = 28000 \text{ км}$

Радиус орбиты второго спутника:

$r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$

Подставим числовые значения в формулу для отношения скоростей:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}} = \sqrt{\frac{28000 \text{ км}}{7000 \text{ км}}} = \sqrt{4} = 2$

Ответ:

Скорость спутника, движущегося на высоте 600 км, в 2 раза больше скорости спутника, движущегося на высоте 21 600 км.