Номер 243, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

243. Космический корабль имел начальный период обращения 88 мин. После проведения манёвров период обращения стал равным 91 мин. Как изменились расстояние до поверхности Земли и скорость движения корабля? Обе орбиты круговые.

Дано:

Начальный период обращения: $T_1 = 88$ мин
Конечный период обращения: $T_2 = 91$ мин
Обе орбиты круговые.
Справочные данные:
Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Земли $M_З \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6.371 \times 10^{6} \, \text{м}$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 88 \cdot 60 = 5280 \, \text{с}$
$T_2 = 91 \cdot 60 = 5460 \, \text{с}$

Найти:

Как изменились расстояние до поверхности Земли ($h$) и скорость движения корабля ($v$).

Решение:

Движение космического корабля по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $m$ — масса корабля, $M_З$ — масса Земли, $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли), $v$ — скорость движения корабля, $G$ — гравитационная постоянная.

Период обращения $T$ связан со скоростью и радиусом орбиты соотношением: $T = \frac{2 \pi r}{v}$.

Из первого уравнения можно выразить скорость $v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$. Из этой зависимости видно, что чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость движения по ней.

Чтобы связать период с радиусом, подставим выражение для скорости в формулу периода. Этот результат известен как третий закон Кеплера для круговых орбит:

$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{G M_З / r}} = \frac{2 \pi r^{3/2}}{\sqrt{G M_З}}$

Из этой формулы следует, что чем больше период обращения $T$, тем больше радиус орбиты $r$ (конкретно, $T^2 \propto r^3$).

Поскольку по условию задачи период обращения увеличился ($T_2 > T_1$), это означает, что корабль перешел на орбиту с большим радиусом ($r_2 > r_1$). Следовательно, расстояние до поверхности Земли $h = r - R_З$ также увеличилось, а скорость движения $v = \sqrt{G M_З / r}$ уменьшилась.

Теперь проведем количественные расчеты. Выразим радиус орбиты из третьего закона Кеплера:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M_З T^2}{4 \pi^2}}$

Рассчитаем начальный и конечный радиусы орбит:

$r_1 = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24}) \cdot (5280)^2}{4 \pi^2}} \approx 6.553 \cdot 10^6 \, \text{м}$

$r_2 = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24}) \cdot (5460)^2}{4 \pi^2}} \approx 6.702 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Рассчитаем начальную и конечную высоты над поверхностью Земли:

$h_1 = r_1 - R_З = 6.553 \cdot 10^6 \, \text{м} - 6.371 \cdot 10^6 \, \text{м} = 0.182 \cdot 10^6 \, \text{м} = 182 \, \text{км}$

$h_2 = r_2 - R_З = 6.702 \cdot 10^6 \, \text{м} - 6.371 \cdot 10^6 \, \text{м} = 0.331 \cdot 10^6 \, \text{м} = 331 \, \text{км}$

Высота орбиты увеличилась на $\Delta h = h_2 - h_1 = 331 \, \text{км} - 182 \, \text{км} = 149 \, \text{км}$.

Рассчитаем начальную и конечную скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{r_1}} = \sqrt{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24})}{6.553 \cdot 10^6}} \approx 7799 \, \text{м/с} \approx 7.80 \, \text{км/с}$

$v_2 = \sqrt{\frac{G M_З}{r_2}} = \sqrt{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.972 \cdot 10^{24})}{6.702 \cdot 10^6}} \approx 7712 \, \text{м/с} \approx 7.71 \, \text{км/с}$

Скорость корабля уменьшилась на величину $\Delta v = v_1 - v_2 = 7799 \, \text{м/с} - 7712 \, \text{м/с} = 87 \, \text{м/с}$.

Ответ:

В результате маневров расстояние до поверхности Земли увеличилось, а скорость движения корабля уменьшилась. Высота орбиты увеличилась с 182 км до 331 км (на 149 км), а скорость уменьшилась с 7.80 км/с до 7.71 км/с (на 87 м/с).