Номер 239, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

239. Радиус окружности, по которой движется Фобос (спутник планеты Марс), равен 9400 км, а период его обращения равен 7 ч 40 мин. Найти массу Марса.

Дано:

Переведем данные в систему СИ:

Найти:

Решение:

Спутник Фобос движется по круговой орбите вокруг Марса. Его движение удерживается силой всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона, сила гравитационного притяжения между Марсом и Фобосом равна произведению массы Фобоса на его центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения: $F_г = G \frac{M m}{r^2}$, где $M$ - масса Марса, $m$ - масса Фобоса, $r$ - радиус орбиты.

Центростремительная сила: $F_ц = m a_ц = m \frac{v^2}{r}$, где $v$ - линейная скорость Фобоса.

Приравниваем эти две силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда можно выразить массу Марса: $M = \frac{v^2 r}{G}$.

Линейную скорость $v$ можно найти через период обращения $T$. За время, равное одному периоду, спутник проходит путь, равный длине окружности $2 \pi r$.

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим выражение для скорости в формулу для массы:

$M = \frac{(\frac{2 \pi r}{T})^2 r}{G} = \frac{\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} r}{G} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (9.4 \times 10^6 \text{ м})^3}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times (27600 \text{ с})^2}$

$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 830.584 \times 10^{18} \text{ м}^3}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times 761760000 \text{ с}^2} \approx \frac{3.279 \times 10^{22}}{5.081 \times 10^{-2}} \text{ кг}$

$M \approx 0.645 \times 10^{24} \text{ кг} = 6.45 \times 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса Марса примерно равна $6.45 \times 10^{23}$ кг.