Номер 235, страница 36 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

235*. На рисунке 35, сделанном со стробоскопической фотографии, показан полёт шарика при выстреле из детского пружинного пистолета. Зная, что сторона квадрата клетки на фотографии в натуральную величину равна 5 см, найти:

а) время полёта шарика;

б) интервал между вспышками;

в) начальную скорость шарика.

Рис. 35

Дано:

Сторона квадрата клетки, $l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $T$ - время полёта шарика
б) $\tau$ - интервал между вспышками
в) $v_0$ - начальная скорость шарика

Решение:

Проанализируем движение шарика по стробоскопической фотографии. Введём систему координат с началом в точке первого положения шарика (первая точка на траектории), ось $Ox$ направим горизонтально вправо, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Координаты положений шарика (в клетках) в моменты времени $t_n = n\tau$, где $\tau$ — интервал между вспышками, а $n = 0, 1, 2, \dots$:

• $t_0=0\tau$: $(0, 0)$
• $t_1=1\tau$: $(2, 3)$
• $t_2=2\tau$: $(4, 5)$
• $t_3=3\tau$: $(6, 6)$
• $t_4=4\tau$: $(8, 6)$
• $t_5=5\tau$: $(10, 5)$
• $t_6=6\tau$: $(12, 3)$
• $t_7=7\tau$: $(14, 0)$

Движение шарика можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Оно состоит из равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали с ускорением $g$, направленным вниз.

б) интервал между вспышками

Рассмотрим движение по вертикали. Из-за действия силы тяжести вертикальное смещение за последовательные равные промежутки времени изменяется. В частности, изменение вертикального смещения за один интервал времени $\tau$ является постоянной величиной и равно $\Delta(\Delta y) = -g\tau^2$.

Вычислим вертикальные смещения $\Delta y_n$ за каждый интервал по данным с фотографии (в клетках):

• $\Delta y_0 = y_1 - y_0 = 3 - 0 = 3$ клетки
• $\Delta y_1 = y_2 - y_1 = 5 - 3 = 2$ клетки
• $\Delta y_2 = y_3 - y_2 = 6 - 5 = 1$ клетка

Изменение этих смещений составляет $\Delta(\Delta y) = \Delta y_1 - \Delta y_0 = 2 - 3 = -1$ клетка.Переведём это значение в систему СИ: $\Delta(\Delta y) = -1 \cdot l = -0.05 \text{ м}$.

Теперь можем найти интервал $\tau$:$-g\tau^2 = -0.05 \text{ м}$
$\tau^2 = \frac{0.05}{g} = \frac{0.05}{9.8} \text{ с}^2$
$\tau = \sqrt{\frac{0.05}{9.8}} \approx 0.0714 \text{ с}$.

Ответ: интервал между вспышками $\tau \approx 0.071 \text{ с}$.

а) время полёта шарика

Время полёта $T$ до возвращения на начальную высоту можно определить по графику. Шарик возвращается на начальную высоту ($y=0$) в момент времени $t_7 = 7\tau$.$T = 7\tau = 7 \cdot \sqrt{\frac{0.05}{9.8}} \approx 7 \cdot 0.0714 \text{ с} \approx 0.4998 \text{ с}$.Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: время полёта шарика $T \approx 0.50 \text{ с}$.

в) начальную скорость шарика

Начальная скорость $v_0$ является векторной величиной и имеет горизонтальную ($v_{0x}$) и вертикальную ($v_{0y}$) составляющие.

Горизонтальная составляющая скорости $v_{0x}$ постоянна, так как в горизонтальном направлении силы не действуют. За каждый интервал $\tau$ шарик смещается по горизонтали на $\Delta x = 2$ клетки.$\Delta x = 2 \cdot l = 2 \cdot 0.05 \text{ м} = 0.1 \text{ м}$.$v_{0x} = \frac{\Delta x}{\tau} = \frac{0.1}{\sqrt{0.05/9.8}} = 0.1 \cdot \sqrt{\frac{9.8}{0.05}} = 0.1 \cdot \sqrt{196} = 0.1 \cdot 14 = 1.4 \text{ м/с}$.

Вертикальную составляющую скорости $v_{0y}$ можно найти, зная, что в верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю. Судя по симметрии точек, максимальная высота достигается в момент времени $t_{подъёма} = \frac{T}{2} = \frac{7\tau}{2} = 3.5\tau$.Из уравнения для вертикальной скорости $v_y(t) = v_{0y} - gt$:$0 = v_{0y} - g \cdot (3.5\tau)$
$v_{0y} = 3.5 g \tau = 3.5 g \sqrt{\frac{0.05}{g}} = 3.5 \sqrt{0.05 \cdot g} = 3.5 \sqrt{0.05 \cdot 9.8} = 3.5 \sqrt{0.49} = 3.5 \cdot 0.7 = 2.45 \text{ м/с}$.

Теперь найдём модуль начальной скорости по теореме Пифагора:$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = \sqrt{(1.4)^2 + (2.45)^2} = \sqrt{1.96 + 6.0025} = \sqrt{7.9625} \approx 2.8218 \text{ м/с}$.

Ответ: начальная скорость шарика $v_0 \approx 2.82 \text{ м/с}$.