Номер 230, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

230. Найти высоту подъёма и дальность полёта сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью 40 м/с под углом 60° к горизонту.

Дано:

Начальная скорость ракеты, $v_0 = 40$ м/с
Угол к горизонту, $\alpha = 60^\circ$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Высоту подъема $H$ - ?
Дальность полета $L$ - ?

Решение:

Движение ракеты можно представить как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль оси Ox) и равноускоренного (с ускорением $-g$) по вертикали (вдоль оси Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Начальную скорость $v_0$ разложим на горизонтальную ($v_{0x}$) и вертикальную ($v_{0y}$) составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Высота подъема

Максимальная высота подъема $H$ достигается в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости ракеты становится равной нулю ($v_y = 0$). Для нахождения высоты воспользуемся формулой, не требующей вычисления времени:

$H = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$

Подставив $v_y = 0$, $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ и $a_y = -g$, получим:

$H = \frac{0^2 - (v_0 \sin(\alpha))^2}{2(-g)} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Теперь подставим числовые значения:

$H = \frac{40^2 \cdot (\sin(60^\circ))^2}{2 \cdot 10} = \frac{1600 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{20} = \frac{1600 \cdot \frac{3}{4}}{20} = \frac{1200}{20} = 60$ м.

Ответ: высота подъема ракеты составляет 60 м.

Дальность полета

Дальность полета $L$ — это расстояние, которое ракета пролетит по горизонтали за всё время полета $t_{полета}$. При условии, что ракета запускается и падает на одном уровне, время полета вдвое больше времени подъема до максимальной высоты. Время полета можно найти по формуле:

$t_{полета} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Дальность полета равна произведению горизонтальной скорости на время полета:

$L = v_{0x} \cdot t_{полета} = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot \left(\frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическое тождество для синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим окончательную формулу:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{40^2 \cdot \sin(2 \cdot 60^\circ)}{10} = \frac{1600 \cdot \sin(120^\circ)}{10} = 160 \cdot \sin(120^\circ)$

Поскольку $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$L = 160 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 80\sqrt{3}$ м.

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$L \approx 80 \cdot 1.732 \approx 138.56$ м.

Округлив, получаем $L \approx 139$ м.

Ответ: дальность полета ракеты составляет $80\sqrt{3}$ м, что приблизительно равно 139 м.