Страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

222. Как изменятся время и дальность полёта тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, если начальную скорость увеличить вдвое?

Дано:

Тело брошено горизонтально с высоты $h$.
Начальная скорость в первом случае: $v_1$.
Начальная скорость во втором случае: $v_2 = 2v_1$.
Начальная вертикальная скорость в обоих случаях: $v_{0y} = 0$.
Ускорение свободного падения: $g$.

Найти:

Как изменятся время полёта $t$ и дальность полёта $L$? (Требуется найти отношения $\frac{t_2}{t_1}$ и $\frac{L_2}{L_1}$)

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, можно рассматривать как два независимых движения: равномерное движение по горизонтали и равноускоренное движение (свободное падение) по вертикали.

Время полёта

Время полёта ($t$) зависит только от вертикальной составляющей движения. Оно равно времени падения тела с высоты $h$. Для вертикального движения справедлива формула: $h = v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}$ Поскольку тело брошено горизонтально, его начальная вертикальная скорость $v_{0y} = 0$. Тогда формула принимает вид: $h = \frac{gt^2}{2}$ Выразим из этой формулы время полёта $t$: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ Как видно из формулы, время полёта зависит только от высоты броска $h$ и ускорения свободного падения $g$. Оно не зависит от начальной горизонтальной скорости. Так как высота $h$ по условию задачи не меняется, время полёта останется прежним.

Ответ: Время полёта не изменится.

Дальность полёта

Дальность полёта ($L$) — это расстояние, которое тело пролетает по горизонтали за время полёта $t$. Горизонтальное движение является равномерным, поэтому дальность полёта находится по формуле: $L = v \cdot t$ где $v$ — начальная горизонтальная скорость. Рассмотрим дальность полёта для двух случаев:
1. Начальная скорость $v_1$: $L_1 = v_1 \cdot t$
2. Начальная скорость $v_2 = 2v_1$: $L_2 = v_2 \cdot t = (2v_1) \cdot t = 2 \cdot (v_1 \cdot t)$
Сравнивая выражения, получаем: $L_2 = 2L_1$ Таким образом, при увеличении начальной скорости вдвое, дальность полёта также увеличится вдвое, так как она прямо пропорциональна начальной скорости, а время полёта не изменяется.

Ответ: Дальность полёта увеличится вдвое.

223. Как и во сколько раз надо изменить начальную скорость тела, брошенного горизонтально, чтобы при высоте, вдвое меньшей, получить прежнюю дальность полёта?

Дано:
Рассмотрим два случая полета тела, брошенного горизонтально.
Случай 1:
Начальная скорость: $v_1$
Высота падения: $h_1$
Дальность полета: $L_1$
Случай 2:
Начальная скорость: $v_2$
Высота падения: $h_2 = \frac{h_1}{2}$
Дальность полета: $L_2 = L_1$

Найти:
Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:
Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как результат сложения двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренного движения (свободного падения) вдоль вертикальной оси (Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Дальность полета $L$ равна расстоянию, которое тело пролетает по горизонтали за время полета $t$. Так как горизонтальная скорость постоянна и равна начальной скорости $v$, то:
$L = v \cdot t$

Время полета $t$ зависит только от высоты $h$ и ускорения свободного падения $g$. Начальная вертикальная скорость равна нулю. Уравнение для вертикальной координаты:
$h = \frac{gt^2}{2}$
Из этого уравнения выразим время полета:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь подставим выражение для времени $t$ в формулу для дальности полета $L$:
$L = v \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Запишем это уравнение для первого случая:
$L_1 = v_1 \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

И для второго случая, подставив $h_2 = \frac{h_1}{2}$:
$L_2 = v_2 \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{2(h_1/2)}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{h_1}{g}}$

Согласно условию задачи, дальность полета в обоих случаях одинакова, то есть $L_1 = L_2$. Приравняем полученные выражения:
$v_1 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{h_1}{g}}$

Упростим уравнение. Левую часть можно переписать как $v_1 \sqrt{2} \sqrt{\frac{h_1}{g}}$. Тогда:
$v_1 \sqrt{2} \sqrt{\frac{h_1}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{h_1}{g}}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\sqrt{\frac{h_1}{g}}$:
$v_1 \sqrt{2} = v_2$

Отсюда находим искомое отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$

Таким образом, чтобы при уменьшении высоты вдвое дальность полета осталась прежней, начальную скорость необходимо увеличить в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: начальную скорость необходимо увеличить в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).

224. «Снаряд» пружинного пистолета при выстреле вер-тикально вверх поднимается на высоту $H = 1$ м. Какой будет дальность полёта «снаряда», если пистолет установить гори-зонтально на высоту $h = 64$ см? Скорость вылета «снаряда» считать в обоих случаях одинаковой. При возможности вы-полните эту работу. Измерив $H$ и $h$, рассчитайте горизон-тальную дальность полёта $s$ и проверьте результат на опыте.

Дано:

Найти:

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала рассмотрим выстрел вертикально вверх, чтобы найти начальную скорость снаряда. Затем, зная эту скорость, рассчитаем дальность полета при выстреле по горизонтали.

1. Нахождение начальной скорости снаряда ($v_0$)
При выстреле вертикально вверх вся начальная кинетическая энергия снаряда ($E_k$) переходит в потенциальную энергию ($E_p$) на максимальной высоте $H$. Согласно закону сохранения энергии (пренебрегая сопротивлением воздуха): $E_k = E_p$

Кинетическая энергия в момент выстрела: $E_k = \frac{m v_0^2}{2}$, где $m$ — масса снаряда.
Потенциальная энергия на высоте $H$: $E_p = mgH$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Приравниваем энергии: $\frac{m v_0^2}{2} = mgH$

Массу снаряда $m$ можно сократить. Выразим начальную скорость $v_0$: $v_0^2 = 2gH$
$v_0 = \sqrt{2gH}$

Это начальная скорость, с которой снаряд вылетает из пистолета в обоих случаях.

2. Расчет дальности полета ($s$) при горизонтальном выстреле
Теперь пистолет установлен на высоте $h$ и стреляет горизонтально. Движение снаряда можно разложить на две составляющие:

• Движение по горизонтали (ось X): равномерное, со скоростью $v_0$.
• Движение по вертикали (ось Y): равноускоренное (свободное падение) с начальной вертикальной скоростью, равной нулю.

Дальность полета $s$ определяется временем полета $t$: $s = v_0 t$

Время полета $t$ зависит только от высоты $h$ и ускорения свободного падения $g$. Запишем уравнение для вертикального движения: $h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этого уравнения время полета $t$: $t^2 = \frac{2h}{g}$
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь подставим выражения для $v_0$ и $t$ в формулу для дальности полета $s$: $s = v_0 t = \sqrt{2gH} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Объединим подкоренные выражения: $s = \sqrt{2gH \cdot \frac{2h}{g}}$

Ускорение свободного падения $g$ сокращается: $s = \sqrt{4Hh} = 2\sqrt{Hh}$

3. Вычисление
Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу: $s = 2\sqrt{1 \text{ м} \cdot 0.64 \text{ м}} = 2\sqrt{0.64 \text{ м}^2} = 2 \cdot 0.8 \text{ м} = 1.6 \text{ м}$

Ответ: дальность полёта снаряда будет равна $1.6$ м.

225. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой 5 м, имея после разбега горизонтально направленную скорость, равную по модулю 6 м/с. Каковы модуль и направление скорости мальчика при достижении им воды?

Дано:

Высота, $h = 5$ м

Начальная горизонтальная скорость, $v_x = 6$ м/с

Начальная вертикальная скорость, $v_{0y} = 0$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Модуль конечной скорости $v$ и ее направление $\alpha$.

Решение:

Движение мальчика можно рассматривать как сложение двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения по горизонтали и равноускоренного движения (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета и равна начальной скорости:

$v_x = 6$ м/с

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент достижения воды находится из формулы для равноускоренного движения, связывающей перемещение и скорость, при начальной вертикальной скорости $v_{0y} = 0$:

$h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2g} \implies v_y^2 = 2gh$

$v_y = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_y = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100} \text{ м/с} = 10$ м/с

Теперь, зная обе составляющие скорости, найдем модуль и направление конечной скорости.

Модуль скорости

Полная скорость $v$ является векторной суммой ее горизонтальной $v_x$ и вертикальной $v_y$ составляющих. Поскольку векторы $v_x$ и $v_y$ перпендикулярны, модуль итоговой скорости найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v = \sqrt{(6 \text{ м/с})^2 + (10 \text{ м/с})^2} = \sqrt{36 + 100} \text{ м/с} = \sqrt{136} \text{ м/с} \approx 11.7$ м/с

Направление скорости

Направление скорости определим по углу $\alpha$, который вектор скорости составляет с горизонталью. Тангенс этого угла равен отношению модулей вертикальной и горизонтальной составляющих скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x}$

$\tan(\alpha) = \frac{10 \text{ м/с}}{6 \text{ м/с}} = \frac{5}{3} \approx 1.67$

Сам угол $\alpha$ равен арктангенсу этого значения:

$\alpha = \arctan\left(\frac{5}{3}\right) \approx 59^\circ$

Этот угол отсчитывается вниз от горизонтали.

Ответ: модуль скорости мальчика при достижении воды равен примерно $11.7$ м/с, направление — под углом около $59^\circ$ к горизонту (вниз).

226. Дальность полёта тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью $v = 10 \text{ м/с}$, равна высоте бросания. С какой высоты $h$ брошено тело?

Дано:

$v = 10$ м/с
$L = h$
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой сложное движение, которое можно разложить на два независимых:

1. Равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) со скоростью $v$.
2. Равноускоренное движение (свободное падение) вдоль вертикальной оси (Oy) без начальной скорости.

Поместим начало координат в точку броска. Ось Ox направим горизонтально, а ось Oy — вертикально вниз.

Запишем уравнение для горизонтальной координаты (дальности полета $L$) как функцию времени $t$:
$L = v \cdot t$

Из этого уравнения можно выразить время полета $t$:
$t = \frac{L}{v}$ (1)

Запишем уравнение для вертикальной координаты (высоты падения $h$) как функцию времени $t$. Начальная вертикальная скорость равна нулю, ускорение равно $g$.
$h = \frac{g t^2}{2}$ (2)

По условию задачи дальность полета равна высоте бросания, то есть $L = h$.

Подставим выражение для времени $t$ из формулы (1) в формулу (2):
$h = \frac{g}{2} \left(\frac{L}{v}\right)^2 = \frac{g L^2}{2v^2}$

Поскольку $L=h$ и $h \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $h$:
$1 = \frac{g h}{2v^2}$

Теперь выразим высоту $h$ из этого уравнения:
$h = \frac{2v^2}{g}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу:
$h = \frac{2 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot 100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{200}{10}$ м $= 20$ м.

Ответ: тело брошено с высоты $h = 20$ м.

227. В выбранной системе отсчёта (рис. 33) указаны положение материальной точки А и её скорость $v = 10 \text{ м/с}$ при $t = 0$. Написать уравнения движения $x = x(t)$ и $y = y(t)$, а также уравнение траектории $y = y(x)$, если $OA = 20 \text{ м}$. Решив полученные уравнения, найти:

а) время полёта тела;

б) дальность полёта.

Дано:

Начальные условия движения материальной точки в момент времени $t=0$ в выбранной системе отсчёта:
Начальная координата по оси X: $x_0 = 0 \text{ м}$
Начальная координата по оси Y: $y_0 = OA = 20 \text{ м}$
Начальная скорость по оси X: $v_{0x} = v = 10 \text{ м/с}$
Начальная скорость по оси Y: $v_{0y} = 0 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения (направлено против оси Y): $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнения движения $x(t)$ и $y(t)$;
Уравнение траектории $y(x)$;
а) $t_{пол}$ — время полёта тела;
б) $L$ — дальность полёта.

Решение:

Движение тела можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения вдоль оси X (так как проекция ускорения на эту ось равна нулю, $a_x = 0$) и равноускоренного движения вдоль оси Y (с ускорением $a_y = -g$).

Общий вид уравнений движения:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим наши начальные данные в эти уравнения:

$x(t) = 0 + 10 \cdot t = 10t$

$y(t) = 20 + 0 \cdot t - \frac{10t^2}{2} = 20 - 5t^2$

Таким образом, уравнения движения тела:

$x(t) = 10t$

$y(t) = 20 - 5t^2$

Для получения уравнения траектории $y=y(x)$ необходимо исключить время $t$ из системы уравнений движения. Выразим время из первого уравнения:

$t = \frac{x}{10}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$y(x) = 20 - 5\left(\frac{x}{10}\right)^2 = 20 - 5\frac{x^2}{100} = 20 - \frac{x^2}{20}$

Уравнение траектории движения тела:

$y(x) = 20 - \frac{x^2}{20}$

а) время полёта тела

Полёт тела заканчивается в момент, когда оно достигает земли, то есть когда его координата $y$ становится равной нулю. Приравняем уравнение $y(t)$ к нулю и найдем время полёта $t_{пол}$.

$y(t_{пол}) = 0$

$20 - 5t_{пол}^2 = 0$

$5t_{пол}^2 = 20$

$t_{пол}^2 = \frac{20}{5} = 4$

$t_{пол} = \sqrt{4} = 2 \text{ с}$

(Берем только положительное значение корня, так как время не может быть отрицательным).

Ответ: время полёта тела составляет 2 с.

б) дальность полёта

Дальность полёта $L$ — это максимальное расстояние, на которое тело переместилось по горизонтали (вдоль оси X) за время полёта $t_{пол}$. Чтобы найти дальность полёта, подставим найденное время $t_{пол}$ в уравнение для координаты $x(t)$.

$L = x(t_{пол}) = 10 \cdot t_{пол}$

$L = 10 \cdot 2 = 20 \text{ м}$

Ответ: дальность полёта тела составляет 20 м.

228. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полёте 12 с. Какой наибольшей высоты достиг снаряд?

Дано

$t_{полн} = 12 \text{ с}$
$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$H_{max}$ - ?

Решение

Движение снаряда, вылетевшего под углом к горизонту, является симметричным относительно точки максимального подъема (при условии, что он вылетает и падает на одном уровне). Это означает, что время подъема снаряда на максимальную высоту равно времени его падения с этой высоты.

Таким образом, время подъема $t_{подъема}$ составляет половину от всего времени полета $t_{полн}$: $t_{подъема} = \frac{t_{полн}}{2} = \frac{12 \text{ с}}{2} = 6 \text{ с}$

Вертикальное движение снаряда является равноускоренным движением с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз. Высоту подъема тела можно найти по формуле: $H = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}$ где $v_{0y}$ — начальная вертикальная скорость.

В точке максимального подъема вертикальная составляющая скорости снаряда становится равной нулю ($v_y = 0$). Связь между скоростью и временем при равноускоренном движении описывается формулой: $v_y = v_{0y} - g t$

Подставив $v_y = 0$ и $t = t_{подъема}$, найдем начальную вертикальную скорость: $0 = v_{0y} - g t_{подъема}$ $v_{0y} = g t_{подъема}$

Теперь подставим это выражение для $v_{0y}$ в формулу для высоты, чтобы найти максимальную высоту $H_{max}$: $H_{max} = (g t_{подъема}) \cdot t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2} = g t_{подъема}^2 - \frac{1}{2} g t_{подъема}^2 = \frac{1}{2} g t_{подъема}^2$

Это также можно рассматривать как свободное падение с высоты $H_{max}$ за время $t_{падения} = t_{подъема}$.

Вычислим значение максимальной высоты: $H_{max} = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (6 \text{ с})^2 = 4.9 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 36 \text{ с}^2 = 176.4 \text{ м}$

Ответ: наибольшая высота, которой достиг снаряд, составляет 176.4 м.

229. Вратарь, выбивая мяч от ворот (с земли), сообщил ему скорость 20 м/с, направленную под углом $50^\circ$ к горизонту. Найти время полёта мяча, максимальную высоту подъёма и дальность полёта.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 20$ м/с
Угол к горизонту, $\alpha = 50^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Время полёта, $t_{полета}$ - ?
Максимальную высоту подъёма, $h_{max}$ - ?
Дальность полёта, $L$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное по вертикальной оси (Oy) с ускорением $g$. Начальную скорость $v_0$ разложим на составляющие:
Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$
Уравнения движения для координат:
$x(t) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$
$y(t) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Время полёта мяча
Полёт заканчивается, когда мяч возвращается на землю, то есть когда его вертикальная координата $y$ снова становится равной нулю (так как он был выбит с земли, $y_0 = 0$).
$y(t_{полета}) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t_{полета} - \frac{g t_{полета}^2}{2} = 0$
Вынесем $t_{полета}$ за скобки: $t_{полета} (v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{полета}}{2}) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $t=0$ (момент начала полёта) и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{полета}}{2} = 0$. Нас интересует второе, ненулевое решение, которое и является временем полёта.
$t_{полета} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$
Подставим числовые значения ($\sin(50^\circ) \approx 0,766$):
$t_{полета} = \frac{2 \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \sin(50^\circ)}{9,8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{40 \cdot 0,766}{9,8} \approx 3,13 \text{ с}$

Ответ: время полёта мяча составляет примерно 3,13 с.

Максимальная высота подъёма
Максимальная высота достигается в тот момент времени $t_{подъема}$, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Из-за симметрии траектории это время равно половине времени всего полёта:
$t_{подъема} = \frac{t_{полета}}{2} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$
Подставим это время в уравнение для координаты $y(t)$, чтобы найти максимальную высоту $h_{max}$:
$h_{max} = y(t_{подъема}) = v_0 \sin(\alpha) \cdot \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right)^2 = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g}$
Подставим числовые значения:
$h_{max} = \frac{(20 \text{ м/с} \cdot \sin(50^\circ))^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{(20 \cdot 0,766)^2}{19,6} \approx \frac{15,32^2}{19,6} \approx \frac{234,7}{19,6} \approx 12,0 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота подъёма составляет примерно 12,0 м.

Дальность полёта
Дальность полёта $L$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетел мяч за всё время полёта $t_{полета}$. Движение по горизонтали равномерное со скоростью $v_{0x}$.
$L = x(t_{полета}) = v_{0x} \cdot t_{полета} = v_0 \cos(\alpha) \cdot t_{полета}$
Используя найденное время полёта, или подставив его формулу, получим общую формулу для дальности:
$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$
Подставим числовые значения ($\sin(100^\circ) \approx 0,985$):
$L = \frac{(20 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 50^\circ)}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot \sin(100^\circ)}{9,8} \approx \frac{400 \cdot 0,985}{9,8} \approx 40,2 \text{ м}$

Ответ: дальность полёта составляет примерно 40,2 м.

230. Найти высоту подъёма и дальность полёта сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью 40 м/с под углом 60° к горизонту.

Дано:

Начальная скорость ракеты, $v_0 = 40$ м/с
Угол к горизонту, $\alpha = 60^\circ$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Высоту подъема $H$ - ?
Дальность полета $L$ - ?

Решение:

Движение ракеты можно представить как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль оси Ox) и равноускоренного (с ускорением $-g$) по вертикали (вдоль оси Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Начальную скорость $v_0$ разложим на горизонтальную ($v_{0x}$) и вертикальную ($v_{0y}$) составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Высота подъема

Максимальная высота подъема $H$ достигается в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости ракеты становится равной нулю ($v_y = 0$). Для нахождения высоты воспользуемся формулой, не требующей вычисления времени:

$H = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$

Подставив $v_y = 0$, $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ и $a_y = -g$, получим:

$H = \frac{0^2 - (v_0 \sin(\alpha))^2}{2(-g)} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Теперь подставим числовые значения:

$H = \frac{40^2 \cdot (\sin(60^\circ))^2}{2 \cdot 10} = \frac{1600 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{20} = \frac{1600 \cdot \frac{3}{4}}{20} = \frac{1200}{20} = 60$ м.

Ответ: высота подъема ракеты составляет 60 м.

Дальность полета

Дальность полета $L$ — это расстояние, которое ракета пролетит по горизонтали за всё время полета $t_{полета}$. При условии, что ракета запускается и падает на одном уровне, время полета вдвое больше времени подъема до максимальной высоты. Время полета можно найти по формуле:

$t_{полета} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Дальность полета равна произведению горизонтальной скорости на время полета:

$L = v_{0x} \cdot t_{полета} = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot \left(\frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическое тождество для синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим окончательную формулу:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{40^2 \cdot \sin(2 \cdot 60^\circ)}{10} = \frac{1600 \cdot \sin(120^\circ)}{10} = 160 \cdot \sin(120^\circ)$

Поскольку $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$L = 160 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 80\sqrt{3}$ м.

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$L \approx 80 \cdot 1.732 \approx 138.56$ м.

Округлив, получаем $L \approx 139$ м.

Ответ: дальность полета ракеты составляет $80\sqrt{3}$ м, что приблизительно равно 139 м.