Страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

203. Пловец, спрыгнув с пятиметровой вышки, погрузился в воду на глубину 2 м. Сколько времени и с каким ускорением он двигался в воде?

Дано:

Высота вышки, $h_1 = 5$ м
Глубина погружения, $h_2 = 2$ м

Найти:

Время движения в воде, $t$ - ?
Ускорение в воде, $a$ - ?

Решение:

Движение пловца можно условно разделить на два этапа: свободное падение с вышки до поверхности воды и равнозамедленное движение в воде до полной остановки. Будем считать, что начальная скорость пловца при прыжке с вышки равна нулю, а ускорение свободного падения $g = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

1. Найдем скорость пловца в момент касания воды ($v_1$). Эта скорость является конечной для первого этапа (свободного падения) и начальной для второго этапа (движения в воде).

Для равноускоренного движения без начальной скорости ($v_0 = 0$) пройдённый путь $h_1$ и конечная скорость $v_1$ связаны соотношением:

$v_1^2 = 2gh_1$

Отсюда находим скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{98} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 9.9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Теперь рассмотрим движение пловца в воде. Начальная скорость для этого этапа $v_1 = \sqrt{98} \frac{\text{м}}{\text{с}}$, конечная скорость $v_k = 0$ (пловец останавливается), а пройденный путь (глубина погружения) $h_2 = 2$ м. Движение в воде является равнозамедленным, найдем ускорение $a$.

Воспользуемся формулой, связывающей путь, скорости и ускорение. Выберем ось, направленную вертикально вниз, тогда начальная скорость $v_1$ будет положительной.

$h_2 = \frac{v_k^2 - v_1^2}{2a}$

Выразим из формулы ускорение $a$:

$a = \frac{v_k^2 - v_1^2}{2h_2} = \frac{0^2 - (\sqrt{98} \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 2 \text{ м}} = \frac{-98}{4} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = -24.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Знак "минус" означает, что вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости, то есть вверх.

3. Найдем время движения в воде $t$. Используем формулу для времени при равноускоренном движении:

$h_2 = \frac{v_1 + v_k}{2} t$

Отсюда выразим время $t$:

$t = \frac{2h_2}{v_1 + v_k} = \frac{2 \cdot 2 \text{ м}}{\sqrt{98} \frac{\text{м}}{\text{с}} + 0} = \frac{4}{\sqrt{98}} \text{ с} \approx 0.404 \text{ с}$

Округлим полученные результаты до двух-трех значащих цифр.

Ответ: пловец двигался в воде в течение времени $t \approx 0.40$ с с ускорением $a = -24.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (модуль ускорения равен $24.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, оно направлено вертикально вверх, против движения).

204. Тело свободно падает с высоты 80 м. Каково его перемещение в последнюю секунду падения?

Дано:

$H = 80 \text{ м}$ (высота)
$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (начальная скорость, так как тело падает свободно)
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)
$\Delta t_{посл} = 1 \text{ с}$ (последняя секунда)

Найти:

$\Delta H_{посл}$ — перемещение за последнюю секунду падения.

Решение:

Чтобы найти перемещение за последнюю секунду, нам нужно сначала определить общую продолжительность падения. Затем мы можем вычислить путь, пройденный телом за все время, кроме последней секунды, и вычесть его из общей высоты.

1. Найдем общее время падения ($t_{общ}$). Движение тела при свободном падении описывается формулой: $H = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$ Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается до: $H = \frac{gt_{общ}^2}{2}$ Выразим отсюда время $t_{общ}$: $t_{общ} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ Подставим наши значения: $t_{общ} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{160}{10} \text{ с}^2} = \sqrt{16 \text{ с}^2} = 4 \text{ с}$ Таким образом, тело падало 4 секунды.

2. Найдем путь, пройденный телом за время, предшествующее последней секунде ($t_1$). Это время составляет $t_1 = t_{общ} - \Delta t_{посл} = 4 \text{ с} - 1 \text{ с} = 3 \text{ с}$. Путь, пройденный за это время ($H_1$), равен: $H_1 = \frac{gt_1^2}{2}$ Подставим значения: $H_1 = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} \text{ м} = 45 \text{ м}$

3. Найдем перемещение за последнюю секунду падения ($\Delta H_{посл}$). Это разность между общей высотой и путем, пройденным за первые три секунды: $\Delta H_{посл} = H - H_1$ $\Delta H_{посл} = 80 \text{ м} - 45 \text{ м} = 35 \text{ м}$

Ответ: перемещение тела в последнюю секунду падения составляет 35 м.

205*. Сколько времени падало тело, если за последние 2 с оно прошло 60 м?

Дано:

Интервал времени в конце падения: $\Delta t = 2 \, \text{с}$
Расстояние, пройденное за этот интервал: $\Delta h = 60 \, \text{м}$
Начальная скорость: $v_0 = 0 \, \text{м/с}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$
(Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется)

Найти:

Полное время падения: $t$

Решение:

Движение тела — это свободное падение, то есть равноускоренное движение без начальной скорости.
Пусть $t$ — полное время падения тела. Полное расстояние $h_{total}$, которое тело прошло за это время, определяется по формуле:
$h_{total} = \frac{gt^2}{2}$
Промежуток времени до последних двух секунд падения равен $t_1 = t - \Delta t$. Расстояние $h_1$, пройденное телом за это время, составляет:
$h_1 = \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$
Расстояние $\Delta h$, пройденное телом за последние $\Delta t$ секунд падения, является разностью между полным расстоянием $h_{total}$ и расстоянием $h_1$:
$\Delta h = h_{total} - h_1 = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$
Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\Delta h = \frac{g}{2} (t^2 - (t - \Delta t)^2) = \frac{g}{2} (t - (t - \Delta t))(t + (t - \Delta t))$
Упростим выражение в скобках:
$\Delta h = \frac{g}{2} (\Delta t (2t - \Delta t))$
Из этого уравнения выразим искомое полное время падения $t$. Сначала выразим скобку $(2t - \Delta t)$:
$2t - \Delta t = \frac{2\Delta h}{g \Delta t}$
Теперь выразим $2t$:
$2t = \frac{2\Delta h}{g \Delta t} + \Delta t$
И, наконец, $t$:
$t = \frac{\Delta h}{g \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$t = \frac{60 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с}^2 \cdot 2 \, \text{с}} + \frac{2 \, \text{с}}{2} = \frac{60}{20} \, \text{с} + 1 \, \text{с} = 3 \, \text{с} + 1 \, \text{с} = 4 \, \text{с}$

Ответ: тело падало 4 с.

206*. Чему равно перемещение свободно падающего тела в $n$-ю секунду после начала падения?

Дано:

Свободное падение, следовательно, начальная скорость $v_0 = 0$ м/с.
Ускорение равно ускорению свободного падения, $a = g$.
Рассматриваемый промежуток времени: $n$-я секунда, что соответствует интервалу времени от $t_1 = n - 1$ с до $t_2 = n$ с.

Найти:

Перемещение тела за $n$-ю секунду, $\Delta h_n$.

Решение:

Перемещение тела при равноускоренном движении описывается общей формулой: $s = v_0t + \frac{at^2}{2}$. Для свободно падающего тела без начальной скорости формула принимает вид: $h(t) = \frac{gt^2}{2}$, где $h(t)$ — это путь, пройденный телом за время $t$.

Перемещение за $n$-ю секунду ($\Delta h_n$) — это разность между полным перемещением за $n$ секунд ($h_n$) и полным перемещением за $n-1$ секунд ($h_{n-1}$).

1. Найдем полное перемещение за $n$ секунд, подставив $t = n$ в формулу: $h_n = \frac{gn^2}{2}$

2. Найдем полное перемещение за $n-1$ секунд, подставив $t = n-1$ в формулу: $h_{n-1} = \frac{g(n-1)^2}{2}$

3. Вычислим перемещение за $n$-ю секунду как разность $h_n$ и $h_{n-1}$: $\Delta h_n = h_n - h_{n-1} = \frac{gn^2}{2} - \frac{g(n-1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки: $\Delta h_n = \frac{g}{2} [n^2 - (n-1)^2]$

Раскроем скобки в выражении $n^2 - (n-1)^2$. Сначала возведем в квадрат $(n-1)$: $(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$

Теперь подставим это обратно в выражение в квадратных скобках: $n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1$

Таким образом, формула для перемещения за $n$-ю секунду принимает вид: $\Delta h_n = \frac{g}{2}(2n-1)$

Ответ: Перемещение свободно падающего тела в $n$-ю секунду равно $\Delta h_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$.

207. Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

Дано:

$h = 20$ м

$t_1 = 1$ с

$v_{0_2} = 0$ м/с

$g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

$v_{0_1}$ - ?

$\Delta t$ - ?

Решение:

Запишем уравнение движения тела, брошенного вертикально вниз, в общем виде. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз, с началом в точке броска (на мосту). В этом случае уравнение для пройденного пути $h$ за время $t$ имеет вид:

$h = v_0 t + \frac{g t^2}{2}$

Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с?

Для первого случая (падение с начальной скоростью $v_{0_1}$) уравнение примет вид:

$h = v_{0_1} t_1 + \frac{g t_1^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую начальную скорость $v_{0_1}$:

$v_{0_1} t_1 = h - \frac{g t_1^2}{2}$

$v_{0_1} = \frac{h}{t_1} - \frac{g t_1}{2}$

Подставим известные значения:

$v_{0_1} = \frac{20 \text{ м}}{1 \text{ с}} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с}}{2} = 20 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: чтобы камень достиг поверхности воды через 1 с, ему надо сообщить начальную скорость 15 м/с.

На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

Сначала определим время падения $t_2$ для второго случая, когда камень падает без начальной скорости ($v_{0_2} = 0$).

Уравнение движения для этого случая:

$h = v_{0_2} t_2 + \frac{g t_2^2}{2} = 0 \cdot t_2 + \frac{g t_2^2}{2} = \frac{g t_2^2}{2}$

Выразим время падения $t_2$:

$t_2^2 = \frac{2h}{g}$

$t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим значения:

$t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{40}{10}} \text{ с} = \sqrt{4} \text{ с} = 2 \text{ с}$

Теперь найдем разницу во времени падения $\Delta t$ между вторым и первым случаями:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 2 \text{ с} - 1 \text{ с} = 1 \text{ с}$

Ответ: при отсутствии начальной скорости падение длилось бы на 1 с дольше.

208. Одно тело свободно падает с высоты $h_1$; одновременно с ним другое тело начинает движение с большей высоты $h_2$. Какой должна быть начальная скорость $v_0$ второго тела, чтобы оба тела упали одновременно?

Дано:

Высота падения первого тела: $h_1$
Высота падения второго тела: $h_2$
Начальная скорость первого тела: $v_1 = 0$ (свободное падение)
Ускорение свободного падения: $g$
Условие: $h_2 > h_1$

Величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Начальную скорость второго тела $v_0$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть начало отсчета ($y=0$) находится на поверхности земли, а ось OY направлена вертикально вверх. В такой системе координат ускорение свободного падения имеет отрицательную проекцию на ось OY: $a_y = -g$.

Сначала определим время падения первого тела. Оно начинает падать с высоты $h_1$ без начальной скорости. Уравнение его движения (зависимость высоты от времени) имеет вид: $y_1(t) = h_1 - \frac{gt^2}{2}$

Первое тело достигнет земли, когда его координата $y_1$ станет равна нулю. Обозначим это время падения как $t_{пад}$. $0 = h_1 - \frac{gt_{пад}^2}{2}$

Из этого уравнения найдем время падения: $\frac{gt_{пад}^2}{2} = h_1 \implies t_{пад} = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Теперь запишем уравнение движения для второго тела. Оно начинает движение с высоты $h_2$ с начальной скоростью $v_0$, направленной вниз (против оси OY). Поэтому его начальная скорость в проекции на ось OY будет $-v_0$. Уравнение движения второго тела: $y_2(t) = h_2 - v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

По условию задачи, оба тела упали одновременно. Это означает, что второе тело также упало за время $t_{пад}$. В этот момент времени его координата $y_2$ стала равна нулю. Подставим $t = t_{пад}$ в уравнение для второго тела: $0 = h_2 - v_0 t_{пад} - \frac{gt_{пад}^2}{2}$

Из вычислений для первого тела мы знаем, что $\frac{gt_{пад}^2}{2} = h_1$. Заменим эту часть в уравнении для второго тела: $0 = h_2 - v_0 t_{пад} - h_1$

Теперь из этого простого соотношения выразим искомую начальную скорость $v_0$: $v_0 t_{пад} = h_2 - h_1$ $v_0 = \frac{h_2 - h_1}{t_{пад}}$

Наконец, подставим найденное ранее выражение для времени падения $t_{пад}$: $v_0 = \frac{h_2 - h_1}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}$

Данное выражение можно также представить в виде $v_0 = (h_2 - h_1)\sqrt{\frac{g}{2h_1}}$.

Ответ: Начальная скорость второго тела должна быть равна $v_0 = \frac{h_2 - h_1}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}$.

209. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх, упала на землю через 6 с. Какова начальная скорость стрелы и максимальная высота подъёма?

Дано:

Общее время полета стрелы $t_{общ} = 6$ с.

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти:

Начальную скорость стрелы $v_0$ - ?

Максимальную высоту подъёма $h_{max}$ - ?

Решение:

Движение стрелы, выпущенной вертикально вверх, является симметричным. Это означает, что время подъема до максимальной высоты ($t_{подъема}$) равно времени падения с этой высоты ($t_{падения}$).

Следовательно, время подъема составляет половину от общего времени полета:

$t_{подъема} = \frac{t_{общ}}{2} = \frac{6 \text{ с}}{2} = 3 \text{ с}$

Начальная скорость стрелы

Для нахождения начальной скорости воспользуемся уравнением зависимости скорости от времени при равноускоренном движении. Направим ось OY вертикально вверх. В этом случае проекция ускорения свободного падения на ось OY будет отрицательной ($g_y = -g$).

$v_y = v_{0y} + g_y t$

На максимальной высоте подъема мгновенная скорость стрелы равна нулю ($v_y = 0$). Время, за которое стрела достигает этой высоты, равно $t_{подъема}$.

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = g \cdot t_{подъема}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ с} = 29.4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: начальная скорость стрелы равна 29.4 м/с.

Максимальная высота подъёма

Максимальную высоту подъёма $h_{max}$ можно найти по формуле для координаты тела при равноускоренном движении, считая, что выстрел произведен с нулевой высоты ($y_0 = 0$).

$h_{max} = y(t_{подъема}) = v_0 \cdot t_{подъема} - \frac{g \cdot t_{подъема}^2}{2}$

Подставим известные и вычисленные значения:

$h_{max} = 29.4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3 \text{ с} - \frac{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (3 \text{ с})^2}{2}$

$h_{max} = 88.2 \text{ м} - \frac{9.8 \cdot 9}{2} \text{ м} = 88.2 \text{ м} - 44.1 \text{ м} = 44.1 \text{ м}$

Альтернативный способ — использовать формулу, не содержащую время:

$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(29.4 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{864.36}{19.6} \text{ м} = 44.1 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота подъёма равна 44.1 м.

210. Во сколько раз больше высота подъёма тела, брошенного вертикально вверх на Луне, чем на Земле, при одинаковой начальной скорости?

Дано:

Начальная скорость тела, брошенного на Земле и на Луне, одинакова: $v_{0З} = v_{0Л} = v_0$.
Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.
Ускорение свободного падения на Луне: $g_Л \approx 1.62 \, \text{м/с}^2$.

Найти:

Отношение максимальной высоты подъема на Луне ($h_Л$) к максимальной высоте подъема на Земле ($h_З$): $\frac{h_Л}{h_З}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии или кинематической формулой для равноускоренного движения. Рассмотрим второй способ. Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным.

Связь между высотой подъема $h$, начальной скоростью $v_0$, конечной скоростью $v$ и ускорением $a$ описывается формулой:$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

На максимальной высоте подъема скорость тела становится равной нулю ($v=0$). Ускорение, действующее на тело, — это ускорение свободного падения $g$, направленное в сторону, противоположную начальной скорости, поэтому $a = -g$.

Подставив эти значения в формулу, получим выражение для максимальной высоты подъема $h_{max}$:$h_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Запишем эту формулу для каждого случая:

1. Максимальная высота подъема на Земле:$h_З = \frac{v_0^2}{2g_З}$

2. Максимальная высота подъема на Луне:$h_Л = \frac{v_0^2}{2g_Л}$

Чтобы определить, во сколько раз высота на Луне больше, чем на Земле, найдем отношение $\frac{h_Л}{h_З}$:$\frac{h_Л}{h_З} = \frac{\frac{v_0^2}{2g_Л}}{\frac{v_0^2}{2g_З}}$

После упрощения дроби (сокращая $v_0^2$ и 2), получаем:$\frac{h_Л}{h_З} = \frac{g_З}{g_Л}$

Таким образом, отношение максимальных высот подъема обратно пропорционально отношению ускорений свободного падения.

Подставим известные значения $g_З$ и $g_Л$:$\frac{h_Л}{h_З} = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{1.62 \, \text{м/с}^2} \approx 6.05$

Ускорение свободного падения на поверхности Луны примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Следовательно, при одинаковой начальной скорости тело на Луне поднимется на высоту, примерно в 6 раз большую.

Ответ: высота подъема тела на Луне больше, чем на Земле, примерно в 6 раз.

211. Во сколько раз надо увеличить начальную скорость брошенного вертикально вверх тела, чтобы высота подъёма увеличилась в 4 раза?

Дано:

$h_1$ — начальная высота подъёма
$v_{01}$ — начальная скорость в первом случае
$h_2 = 4h_1$ — высота подъёма во втором случае
$v_{02}$ — начальная скорость во втором случае

Найти:

$\frac{v_{02}}{v_{01}}$

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его высота подъёма $h$ связана с начальной скоростью $v_0$ и ускорением свободного падения $g$. В верхней точке траектории, на максимальной высоте, скорость тела становится равной нулю.

Воспользуемся формулой для перемещения при равноускоренном движении без времени: $h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

В нашем случае конечная скорость $v=0$, а ускорение $a = -g$ (направлено против начальной скорости).

Подставив эти значения, получим формулу для максимальной высоты подъёма: $h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$.

Из этой формулы видно, что высота подъёма прямо пропорциональна квадрату начальной скорости: $h \propto v_0^2$.

Запишем это соотношение для двух случаев:

1. Для первого случая: $h_1 = \frac{v_{01}^2}{2g}$

2. Для второго случая: $h_2 = \frac{v_{02}^2}{2g}$

По условию задачи, $h_2 = 4h_1$. Подставим выражения для высот в это соотношение:

$\frac{v_{02}^2}{2g} = 4 \cdot \frac{v_{01}^2}{2g}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{1}{2g}$:

$v_{02}^2 = 4v_{01}^2$

Чтобы найти отношение скоростей, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{v_{02}^2} = \sqrt{4v_{01}^2}$

$v_{02} = 2v_{01}$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{v_{02}}{v_{01}} = 2$

Таким образом, чтобы высота подъёма увеличилась в 4 раза, начальную скорость необходимо увеличить в 2 раза.

Ответ: начальную скорость надо увеличить в 2 раза.

212. Из точки, расположенной на достаточно большой высоте, одновременно брошены два тела с одинаковыми по модулю скоростями $v_0 = 2 \text{ м/с}$: одно вертикально вверх, а другое вертикально вниз. Каким будет расстояние между телами через 1 с; 5 с; через промежуток времени, равный $t$?

Дано:

$v_0 = 2$ м/с
$t_1 = 1$ с
$t_2 = 5$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$S_1$ — расстояние между телами через 1 с
$S_2$ — расстояние между телами через 5 с
$S(t)$ — расстояние между телами через время t

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с точкой броска. Ось OY направим вертикально вверх, тогда начало координат $y_0 = 0$ будет в точке броска.

Движение обоих тел является равноускоренным с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз. В выбранной системе отсчета проекция ускорения на ось OY будет $a_y = -g$.

Запишем уравнение движения для каждого тела. Уравнение координаты тела при равноускоренном движении в общем виде: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Для первого тела, брошенного вертикально вверх, начальная скорость в проекции на ось OY равна $v_{01y} = v_0$. Его координата в момент времени $t$ будет: $y_1(t) = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Для второго тела, брошенного вертикально вниз, начальная скорость в проекции на ось OY равна $v_{02y} = -v_0$. Его координата в момент времени $t$ будет: $y_2(t) = -v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Расстояние $S$ между телами в любой момент времени $t$ равно модулю разности их координат: $S(t) = |y_1(t) - y_2(t)|$

Подставим выражения для координат: $S(t) = |(v_0 t - \frac{g t^2}{2}) - (-v_0 t - \frac{g t^2}{2})| = |v_0 t - \frac{g t^2}{2} + v_0 t + \frac{g t^2}{2}| = |2v_0 t|$

Поскольку начальная скорость $v_0$ и время $t$ являются неотрицательными величинами, модуль можно опустить: $S(t) = 2v_0 t$

Эта формула позволяет найти расстояние между телами в любой момент времени $t$. Важно отметить, что оно не зависит от ускорения свободного падения $g$.

через 1 с

Подставим в полученную формулу $t = t_1 = 1$ с и $v_0 = 2$ м/с: $S_1 = 2 \cdot 2 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ с} = 4 \text{ м}$

Ответ: 4 м.

через 5 с

Подставим в формулу $t = t_2 = 5$ с и $v_0 = 2$ м/с: $S_2 = 2 \cdot 2 \text{ м/с} \cdot 5 \text{ с} = 20 \text{ м}$

Ответ: 20 м.

через промежуток времени, равный t

Как было выведено ранее, расстояние между телами как функция времени $t$ определяется формулой: $S(t) = 2v_0 t$

Ответ: $2v_0 t$.

213. При бросании мяча вертикально вверх мальчик сообщает ему скорость, в 1,5 раза большую, чем девочка. Во сколько раз выше поднимется мяч, брошенный мальчиком?

Дано:

Обозначим начальную скорость мяча, брошенного девочкой, как $v_д$, а мальчиком — как $v_м$.

По условию задачи, скорость, сообщенная мальчиком, в 1,5 раза больше:

$v_м = 1.5 \cdot v_д$

Найти:

Отношение максимальной высоты подъема мяча, брошенного мальчиком ($h_м$), к высоте подъема мяча, брошенного девочкой ($h_д$): $\frac{h_м}{h_д}$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. В момент броска мяч обладает кинетической энергией. По мере подъема вверх его скорость уменьшается под действием силы тяжести, и кинетическая энергия переходит в потенциальную. На максимальной высоте подъема скорость мяча становится равной нулю, и его кинетическая энергия также равна нулю, а потенциальная энергия достигает максимального значения. Пренебрегая сопротивлением воздуха, можно записать:

Начальная кинетическая энергия $E_к$ равна максимальной потенциальной энергии $E_п$.

$E_к = E_п$

$\frac{mv^2}{2} = mgh$

где $m$ — масса мяча, $v$ — начальная скорость, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — максимальная высота подъема.

Из этого равенства можно выразить максимальную высоту подъема $h$ через начальную скорость $v$:

$h = \frac{v^2}{2g}$

Из формулы видно, что высота подъема пропорциональна квадрату начальной скорости.

Теперь запишем выражения для высоты подъема мяча, брошенного девочкой ($h_д$) и мальчиком ($h_м$):

$h_д = \frac{v_д^2}{2g}$

$h_м = \frac{v_м^2}{2g}$

Чтобы найти, во сколько раз выше поднимется мяч, брошенный мальчиком, найдем отношение $\frac{h_м}{h_д}$:

$\frac{h_м}{h_д} = \frac{\frac{v_м^2}{2g}}{\frac{v_д^2}{2g}}$

Сократив $2g$, получим:

$\frac{h_м}{h_д} = \frac{v_м^2}{v_д^2} = (\frac{v_м}{v_д})^2$

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{v_м}{v_д} = 1.5$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{h_м}{h_д} = (1.5)^2 = 2.25$

Следовательно, мяч, брошенный мальчиком, поднимется на высоту в 2,25 раза большую, чем мяч, брошенный девочкой.

Ответ: мяч, брошенный мальчиком, поднимется в 2,25 раза выше.

214. Снаряд зенитной пушки, выпущенный вертикально вверх со скоростью 800 м/с, достиг цели через 6 с. На какой высоте находился самолёт противника и какова скорость снаряда при достижении цели? Как отличаются реальные значения искомых величин от вычисленных?

На какой высоте находился самолёт противника и какова скорость снаряда при достижении цели?

Дано:

Начальная скорость снаряда $v_0 = 800$ м/с
Время полета до цели $t = 6$ с
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Высота $h$ — ?
Скорость снаряда в момент достижения цели $v$ — ?

Решение:

Для решения задачи используем уравнения кинематики для тела, брошенного вертикально вверх. Движение снаряда рассматривается как равнозамедленное с ускорением, равным ускорению свободного падения $g$, которое направлено в сторону, противоположную начальной скорости (то есть вниз). Направим ось OY вертикально вверх от точки выстрела.

1. Найдем высоту $h$, на которой находился самолёт. Высота (координата $y$) в момент времени $t$ определяется по формуле:

$h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$h = 800 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 6 \text{ с} - \frac{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (6 \text{ с})^2}{2} = 4800 \text{ м} - \frac{9.8 \cdot 36}{2} \text{ м} = 4800 \text{ м} - 176.4 \text{ м} = 4623.6 \text{ м}$

2. Найдем скорость снаряда $v$ при достижении цели. Скорость (проекция скорости на ось OY) в момент времени $t$ определяется по формуле:

$v = v_0 - gt$

Подставим известные значения:

$v = 800 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6 \text{ с} = 800 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 58.8 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 741.2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Поскольку значение скорости получилось положительным, это означает, что в момент попадания в цель снаряд все еще двигался вверх.

Ответ: высота, на которой находился самолёт, составляет 4623.6 м (≈ 4.6 км), а скорость снаряда в этот момент была 741.2 м/с.

Как отличаются реальные значения искомых величин от вычисленных?

Выполненные расчеты являются идеализированными, так как они не учитывают ряд факторов, влияющих на движение тела в реальных условиях. Главным таким фактором для снаряда, летящего с высокой скоростью, является сопротивление воздуха.

1. Влияние на высоту. Сила сопротивления воздуха всегда направлена против движения. При полете снаряда вверх она будет направлена вниз, так же как и сила тяжести. Это означает, что суммарная сила, тормозящая снаряд, будет больше силы тяжести, а значит, и ускорение, с которым снаряд замедляется, будет по модулю больше $g$. В результате снаряд будет терять скорость быстрее и за то же время $t=6$ с пролетит меньшее расстояние. Следовательно, реальная высота, на которой будет поражена цель, окажется меньше вычисленной.

2. Влияние на скорость. Поскольку из-за сопротивления воздуха снаряд замедляется интенсивнее, его скорость в любой момент времени (при движении вверх) будет меньше, чем в идеальном случае. Поэтому реальная скорость снаряда в момент достижения цели также будет меньше вычисленной.

Другими, менее значительными в данном случае факторами, являются: изменение ускорения свободного падения $g$ с высотой (оно незначительно уменьшается), вращение Земли (влияние силы Кориолиса) и ветер. Однако, для снаряда, летящего со сверхзвуковой скоростью (около 800 м/с соответствует скорости более чем в 2 Маха), именно сопротивление воздуха является доминирующим фактором, который приводит к существенному отличию реальных значений от вычисленных.

Ответ: реальные значения высоты и скорости снаряда будут значительно меньше вычисленных из-за неучтенного в расчетах сопротивления воздуха.