Страница 39 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

255. Встав на стул, выпустите одновременно с одной и той же высоты два одинаковых пустых спичечных коробка: один — плашмя, другой — ребром. Какой из них упадет раньше? Объяснить явление.

Раньше упадет спичечный коробок, который падает ребром.

Объяснить явление

На оба спичечных коробка во время падения действуют две основные силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх, против движения.

Так как коробки одинаковые, их массы равны, а значит, и сила тяжести, действующая на них ($F_{тяж} = mg$), одинакова.

Сила сопротивления воздуха, в свою очередь, зависит от скорости тела и площади его поперечного сечения (площади, перпендикулярной направлению движения). У коробка, падающего плашмя, эта площадь ($A_{плашмя}$) велика. У коробка, падающего ребром, площадь поперечного сечения ($A_{ребром}$) значительно меньше.

Ускорение, с которым падает тело, определяется равнодействующей силой, которая равна разности силы тяжести и силы сопротивления воздуха: $F_{рез} = F_{тяж} - F_{сопр}$. Согласно второму закону Ньютона, ускорение прямо пропорционально этой силе: $a = F_{рез} / m$.

Поскольку коробок, падающий плашмя, имеет большую площадь поперечного сечения, он испытывает большую силу сопротивления воздуха. Это означает, что для него равнодействующая сила $F_{рез}$ будет меньше. Меньшая равнодействующая сила сообщает телу меньшее ускорение.

Таким образом, коробок, падающий ребром, испытывает меньшее сопротивление, движется с большим ускорением и, следовательно, достигает земли за меньшее время.

Ответ: Раньше упадет коробок, выпущенный ребром. Это объясняется тем, что из-за меньшей площади поперечного сечения он испытывает меньшую силу сопротивления воздуха. В результате результирующая сила, действующая на него, оказывается больше, что сообщает ему большее ускорение.

256. Вырезать из бумаги кружок чуть меньшего диаметра, чем монета. Отпустить одновременно монету и кружок. Какое из этих тел упадет раньше? Объясните явление. Положить бумажный кружок на монету и отпустить их так, чтобы система падала монетой вниз. Описать и объяснить явление.

Задача состоит из двух экспериментов, рассмотрим каждый по отдельности.

1. Одновременное падение монеты и бумажного кружка по отдельности

При одновременном падении монеты и бумажного кружка, отпущенных с одной и той же высоты, монета упадет на землю значительно раньше.

Объяснение явления:

На каждое из тел в полете действуют две основные силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх (против движения). Ускорение тела определяется равнодействующей этих сил согласно второму закону Ньютона: $ma = F_{т} - F_{сопр}$.

• Сила тяжести ($F_{т} = mg$) прямо пропорциональна массе тела. Масса монеты $m_{монеты}$ значительно больше массы бумажного кружка $m_{кружка}$. Следовательно, сила тяжести, действующая на монету, намного больше: $F_{т, монеты} \gg F_{т, кружка}$.
• Сила сопротивления воздуха ($F_{сопр}$) зависит от площади поперечного сечения, формы и скорости тела. Поскольку диаметры монеты и кружка близки, их площади почти одинаковы. Однако для легкого бумажного кружка даже небольшая сила сопротивления воздуха оказывается сравнимой с его малой силой тяжести. Это приводит к тому, что равнодействующая сила быстро уменьшается, ускорение падает, и кружок быстро достигает своей небольшой предельной (терминальной) скорости. Он падает медленно, часто планируя.

Для тяжелой монеты ее большая сила тяжести значительно превосходит силу сопротивления воздуха. Поэтому равнодействующая сила, действующая на монету, близка к силе тяжести, и монета падает с ускорением, близким к ускорению свободного падения $g$.

Таким образом, ускорение монеты почти на всем пути больше ускорения бумажного кружка, и она проходит то же расстояние за меньшее время.

Ответ: Монета упадет раньше. Причина в том, что отношение силы тяжести к силе сопротивления воздуха для монеты гораздо больше, чем для бумажного кружка. Поэтому сопротивление воздуха оказывает на падение монеты гораздо меньшее влияние.

2. Падение монеты с бумажным кружком на ней

Если положить бумажный кружок на монету и отпустить эту систему так, чтобы она падала монетой вниз, то кружок и монета будут падать вместе как единое целое и приземлятся одновременно. Бумажный кружок не отделится от монеты во время падения.

Описание и объяснение явления:

В этом эксперименте монета, находящаяся снизу, выполняет роль "щита". Она рассекает воздух, и основная сила сопротивления действует именно на нее. Бумажный кружок, находящийся сверху, оказывается в "аэродинамической тени", и сила сопротивления воздуха на него практически не действует.

Таким образом, для бумажного кружка создаются условия, очень близкие к вакууму. В вакууме же, как установил еще Галилео Галилей, все тела падают с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения $g$, независимо от их массы.

Поскольку и монета, и бумажный кружок (который теперь не испытывает сопротивления воздуха) стремятся падать с одинаковым ускорением, они не меняют своего положения относительно друг друга. Кружок остается лежать на монете на протяжении всего полета. Вся система падает с ускорением, определяемым общей массой ($m_{монеты}+m_{кружка}$) и силой сопротивления, действующей на монету.

Ответ: Монета и бумажный кружок упадут одновременно. Это происходит потому, что монета защищает кружок от сопротивления воздуха, позволяя обоим телам падать с одинаковым ускорением, как это происходило бы в вакууме.

257. Почему космический корабль, отправляемый на Луну с искусственного спутника Земли, может не иметь обтекаемой формы?

Решение

Обтекаемая форма тела предназначена для уменьшения силы сопротивления со стороны среды (например, воздуха или воды) при движении с большой скоростью. Эта сила, называемая аэродинамическим сопротивлением, возникает из-за столкновения объекта с молекулами газа в атмосфере. Чем выше плотность среды и скорость объекта, тем больше эта сила.

Космический корабль, который стартует к Луне с орбиты искусственного спутника Земли, уже находится за пределами плотных слоев земной атмосферы. Его дальнейший полет проходит в космическом пространстве, которое является глубоким вакуумом. В вакууме практически нет частиц, с которыми мог бы столкнуться корабль, поэтому сила аэродинамического сопротивления отсутствует. Луна также не имеет значительной атмосферы.

Поскольку на всем пути от околоземной орбиты до Луны на корабль не действует сила сопротивления воздуха, нет никакой необходимости делать его форму обтекаемой. Конструкция такого аппарата определяется другими факторами: компоновкой приборов, расположением двигателей, солнечных батарей, антенн и жилых отсеков. Например, лунные модули программы "Аполлон" имели очень сложную и угловатую форму, так как они были рассчитаны на работу исключительно в вакууме.

Ответ: Обтекаемая форма нужна для уменьшения сопротивления воздуха при движении в атмосфере. Космический корабль, стартующий с орбиты Земли к Луне, совершает полет в вакууме, где сопротивление воздуха отсутствует. Поэтому его форма может быть любой, продиктованной конструктивными соображениями, а не аэродинамикой.

258. Зачем, ныряя с вышки, пловец стремится войти в воду в вертикальном, а не в горизонтальном положении?

Этот вопрос связан с понятием давления и силы сопротивления жидкости. Когда пловец прыгает с вышки, под действием силы тяжести он набирает большую скорость. При входе в воду на его тело действует сила сопротивления воды, которая стремится остановить его движение. Величина этой силы напрямую зависит от площади поверхности, которая одновременно входит в контакт с водой.

При входе в воду в вертикальном положении (например, руками или ногами вперед), площадь соприкосновения с поверхностью воды минимальна. Тело как бы "разрезает" воду, постепенно погружаясь. Сила сопротивления в этом случае относительно невелика, и пловец может войти в воду на значительную глубину безболезненно и безопасно.

При входе в воду в горизонтальном положении ("плашмя"), с водой одновременно соприкасается очень большая площадь поверхности тела (грудь, живот, спина). Чтобы вытеснить такой объем воды мгновенно, требуется огромная сила. Согласно третьему закону Ньютона, вода действует на тело пловца с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Этот резкий удар о воду создает огромное давление ($P = \frac{F}{S}$, где $F$ — сила, а $S$ — площадь), которое не только очень болезненно, но и может привести к серьезным травмам, таким как повреждение внутренних органов или сильные ушибы.

Таким образом, выбор вертикального положения для входа в воду — это способ минимизировать площадь контакта, а значит, и силу удара о воду, делая прыжок безопасным и эффективным.

Ответ: Пловец стремится войти в воду в вертикальном положении, чтобы уменьшить площадь соприкосновения своего тела с водой. Это позволяет значительно снизить силу удара о воду, что делает прыжок безопасным и менее болезненным.

259. Почему легче плыть, чем бежать по дну по пояс погружённым в воду?

Чтобы понять, почему плыть легче, чем бежать по дну, будучи по пояс в воде, необходимо рассмотреть силы, действующие на человека в обоих случаях, и затраты энергии на движение.

Когда человек бежит по дну, погруженный по пояс в воду, на него действуют несколько факторов, которые сильно затрудняют движение. Основные из них:

1. Сила сопротивления воды. Вода имеет значительно большую плотность и вязкость по сравнению с воздухом. Плотность воды примерно в 800 раз больше плотности воздуха. Из-за этого сила сопротивления, которую необходимо преодолевать для движения вперед, а также для простого перемещения ног, становится огромной. Движения, которые легки и эффективны при беге на суше, в воде требуют колоссальных усилий.

2. Неэффективная механика движения. Бег — это процесс, оптимизированный для передвижения по твердой поверхности в воздушной среде. В воде, чтобы сделать шаг, нужно сперва поднять ногу, преодолевая мощное сопротивление воды, а затем опустить ее. Этот процесс очень энергозатратен и медленен по сравнению с бегом на суше.

Когда человек плывет, физические условия кардинально меняются:

1. Сила Архимеда (выталкивающая сила). Вода действует на погруженное в нее тело с выталкивающей силой, направленной вверх. Эта сила почти полностью компенсирует силу тяжести, действующую на человека. В результате тело становится практически "невесомым". Человеку не нужно тратить энергию на поддержание вертикального положения и на поднятие веса собственного тела, как это происходит при беге.

2. Оптимизированное положение тела и способ передвижения. При плавании тело обычно принимает горизонтальное, обтекаемое положение. Это значительно уменьшает площадь поперечного сечения по направлению движения и, как следствие, снижает силу лобового сопротивления воды по сравнению с вертикальной стойкой при беге. Кроме того, движения руками и ногами в плавании специально приспособлены для создания движущей силы путем отталкивания от воды — это эффективный способ передвижения именно в жидкой среде.

Таким образом, ключевое различие заключается в том, что при беге в воде она выступает в роли главного препятствия, создающего огромное сопротивление. При плавании же вода является средой, которая, с одной стороны, поддерживает тело (устраняя необходимость бороться с гравитацией), а с другой — служит опорой для создания движущей силы.

Ответ: Плыть легче, потому что выталкивающая сила воды (сила Архимеда) почти полностью компенсирует силу тяжести, делая тело практически невесомым, и человек принимает горизонтальное обтекаемое положение, что уменьшает сопротивление движению. При беге же по дну приходится преодолевать огромное сопротивление воды при каждом движении ногами и телом, что требует значительно больших энергетических затрат.

260. Автомобиль движется со скоростью $v_1 = 72 \text{ км/ч}$ по ветру, скорость которого относительно земли равна $v_2 = 15 \text{ м/с}$. Во сколько раз увеличится сила сопротивления воздуха при движении автомобиля с той же скоростью против ветра? Считать, что сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату относительной скорости.

Дано:

$v_1 = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
$v_2 = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$\frac{F_{против}}{F_{по}}$

Решение:

Согласно условию задачи, сила сопротивления воздуха $F$ прямо пропорциональна квадрату относительной скорости $v_{отн}$ автомобиля и воздуха. Это можно записать в виде формулы: $F = k \cdot v_{отн}^2$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

1. Движение по ветру. Когда автомобиль движется по ветру, их скорости направлены в одну сторону. Относительная скорость автомобиля и воздуха равна разности их скоростей относительно земли: $v_{отн, по} = v_1 - v_2 = 20 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с} = 5 \text{ м/с}$. Сила сопротивления воздуха в этом случае будет равна: $F_{по} = k \cdot (v_1 - v_2)^2$.

2. Движение против ветра. Когда автомобиль движется против ветра, их скорости направлены в противоположные стороны. Относительная скорость автомобиля и воздуха равна сумме их скоростей относительно земли: $v_{отн, против} = v_1 + v_2 = 20 \text{ м/с} + 15 \text{ м/с} = 35 \text{ м/с}$. Сила сопротивления воздуха в этом случае будет равна: $F_{против} = k \cdot (v_1 + v_2)^2$.

3. Отношение сил сопротивления. Чтобы найти, во сколько раз увеличится сила сопротивления, нужно найти отношение силы сопротивления при движении против ветра к силе сопротивления при движении по ветру: $\frac{F_{против}}{F_{по}} = \frac{k \cdot (v_1 + v_2)^2}{k \cdot (v_1 - v_2)^2} = \left(\frac{v_1 + v_2}{v_1 - v_2}\right)^2$.

Подставим числовые значения: $\frac{F_{против}}{F_{по}} = \left(\frac{20 + 15}{20 - 15}\right)^2 = \left(\frac{35}{5}\right)^2 = 7^2 = 49$.

Ответ: сила сопротивления воздуха увеличится в 49 раз.

261. Мальчик массой 50 кг, скатившись на санках с горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 с. Найти силу трения и коэффициент трения.

Дано:

Масса мальчика с санками, $m = 50$ кг
Путь по горизонтальной дороге, $S = 20$ м
Время движения, $t = 10$ с
Конечная скорость, $v = 0$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Силу трения, $F_{тр}$
Коэффициент трения, $\mu$

Решение:

Движение мальчика на санках по горизонтальной дороге является равнозамедленным, так как на него действует постоянная сила трения, направленная против движения. Мы можем найти ускорение санок, используя кинематические формулы.

1. Сначала найдем начальную скорость $v_0$ санок в начале горизонтального участка. Для равноускоренного движения путь выражается формулой: $S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Подставим известные значения и найдем $v_0$: $20 \text{ м} = \frac{v_0 + 0}{2} \cdot 10 \text{ с}$
$20 = 5 \cdot v_0$
$v_0 = \frac{20}{5} = 4$ м/с

2. Теперь, зная начальную и конечную скорости, а также время движения, можем найти ускорение $a$: $v = v_0 + at$
$0 = 4 \text{ м/с} + a \cdot 10 \text{ с}$
$10a = -4$
$a = -0.4$ м/с²
Знак "минус" указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости, то есть это замедление.

3. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение ($F_{равн} = ma$). В горизонтальном направлении на санки действует только одна сила — сила трения $F_{тр}$, направленная против движения. Поэтому равнодействующая сила равна силе трения, взятой с отрицательным знаком: $F_{равн} = -F_{тр}$

Отсюда находим силу трения: $-F_{тр} = ma$
$F_{тр} = -ma = -(50 \text{ кг}) \cdot (-0.4 \text{ м/с}^2) = 20$ Н

4. Теперь найдем коэффициент трения. Сила трения скольжения определяется по формуле: $F_{тр} = \mu N$
где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе тяжести: $N = mg$
$N = 50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 500$ Н

Выразим и вычислим коэффициент трения: $\mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{F_{тр}}{mg}$
$\mu = \frac{20 \text{ Н}}{500 \text{ Н}} = 0.04$

Ответ: сила трения равна 20 Н; коэффициент трения равен 0.04.

262. Через какое время после начала аварийного торможения остановится автобус, движущийся со скоростью 12 м/с, если коэффициент трения при аварийном торможении равен 0,4?

Дано:

Начальная скорость автобуса, $v_0 = 12 \text{ м/с}$

Коэффициент трения, $\mu = 0.4$

Конечная скорость автобуса, $v = 0 \text{ м/с}$ (так как автобус останавливается)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Время торможения, $t$ — ?

Решение:

При аварийном торможении на горизонтальной дороге на автобус действуют три силы: сила тяжести ($mg$), направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры ($N$), направленная вертикально вверх, и сила трения скольжения ($F_{тр}$), направленная против движения. Сила тяги двигателя отсутствует, сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = \vec{F}_{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена по движению автобуса, а ось OY — перпендикулярно дороге вверх. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OY: $N - mg = 0$. Так как по вертикали автобус не движется, его ускорение в этой проекции равно нулю. Отсюда получаем, что сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе тяжести: $N = mg$.

Проекция на ось OX: $-F_{тр} = ma$. Знак "минус" означает, что сила трения направлена в сторону, противоположную направлению скорости, и вызывает замедление (отрицательное ускорение).

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N$.

Подставив в это выражение $N=mg$, получаем: $F_{тр} = \mu mg$.

Теперь подставим выражение для силы трения в уравнение для оси OX: $-\mu mg = ma$

Масса автобуса $m$ сокращается, и мы можем найти ускорение: $a = -\mu g$

Для нахождения времени торможения воспользуемся формулой скорости для равноускоренного движения: $v = v_0 + at$

Так как конечная скорость автобуса $v=0$, уравнение принимает вид: $0 = v_0 + at$

Отсюда выражаем время $t$: $t = -\frac{v_0}{a}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для ускорения $a = -\mu g$: $t = -\frac{v_0}{-\mu g} = \frac{v_0}{\mu g}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $t = \frac{12 \text{ м/с}}{0.4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{12}{4} \text{ с} = 3 \text{ с}$

Ответ: 3 с.

263. На участке дороги, где установлен дорожный знак, изображённый на рисунке 37, водитель применил аварийное торможение. Инспектор ГИБДД обнаружил по следу колёс, что тормозной путь равен 12 м. Нарушил ли водитель правила движения, если коэффициент трения (резина по сухому асфальту) равен 0,6?

Рис. 37

Дано:

Тормозной путь $S = 12$ м

Коэффициент трения (резина по сухому асфальту) $\mu = 0,6$

Разрешенная скорость на данном участке дороги $v_{разр} = 30$ км/ч

Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Нарушил ли водитель правила дорожного движения?

Решение:

Чтобы определить, нарушил ли водитель скоростной режим, нам нужно вычислить его начальную скорость $v_0$ в момент начала торможения. Для этого можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.

В процессе торможения на автомобиль в горизонтальном направлении действует только сила трения скольжения. Работа силы трения $A_{тр}$ приводит к уменьшению кинетической энергии автомобиля от начального значения $E_{k1}$ до нуля (так как автомобиль останавливается).

$A_{тр} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Работа силы трения отрицательна, так как она направлена против движения: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$.

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной дороге сила реакции опоры равна силе тяжести $mg$, то есть $N=mg$. Следовательно, $F_{тр} = \mu mg$.

Изменение кинетической энергии равно $\Delta E_k = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$.

Приравниваем работу силы трения и изменение кинетической энергии:

$-\mu mgS = -\frac{mv_0^2}{2}$

Сократим массу $m$ и знак минус в обеих частях уравнения:

$\mu gS = \frac{v_0^2}{2}$

Выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \sqrt{2\mu gS}$

Подставим известные значения в формулу:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 0,6 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 12 \text{ м}} = \sqrt{1,2 \cdot 120} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{144} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь сравним вычисленную скорость водителя с разрешенной скоростью на данном участке:

Скорость водителя $v_0 = 12$ м/с.

Разрешенная скорость $v_{разр} \approx 8,33$ м/с.

Так как $12 \text{ м/с} > 8,33 \text{ м/с}$, водитель двигался со скоростью, превышающей установленное ограничение.

Для большей наглядности можно перевести скорость водителя обратно в км/ч:

$v_0 = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 12 \cdot 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 43,2 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Сравнение с ограничением в 30 км/ч показывает, что $43,2 \text{ км/ч} > 30 \text{ км/ч}$.

Ответ: да, водитель нарушил правила дорожного движения, так как его скорость в момент начала торможения составляла 43,2 км/ч, что превышает установленное ограничение в 30 км/ч.