Страница 41 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

271. Автобус, масса которого с полной нагрузкой равна $15 \, \text{т}$, трогается с места с ускорением $0,7 \, \text{м}/\text{с}^2$. Найти силу тяги, если коэффициент сопротивления движению равен $0,03$.

Дано:

$m = 15 \text{ т}$
$a = 0,7 \text{ м/с}^2$
$\mu = 0,03$

Перевод в систему СИ:
$m = 15 \text{ т} = 15 \cdot 1000 \text{ кг} = 15000 \text{ кг}$

Найти:

$F_{\text{тяги}}$

Решение:

На автобус в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги $F_{\text{тяги}}$, которая приводит автобус в движение, и сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$, которая препятствует движению. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы автобуса на его ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F}_{\text{тяги}} + \vec{F}_{\text{сопр}}$

Спроецируем это уравнение на горизонтальную ось, направленную в сторону движения автобуса. Сила тяги будет иметь положительную проекцию, а сила сопротивления — отрицательную.

$ma = F_{\text{тяги}} - F_{\text{сопр}}$

Отсюда можем выразить искомую силу тяги:

$F_{\text{тяги}} = ma + F_{\text{сопр}}$

Сила сопротивления движению пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$ и равна $F_{\text{сопр}} = \mu N$. Поскольку автобус движется по горизонтальной дороге, сила нормальной реакции опоры по модулю равна силе тяжести $mg$.

$N = mg$

Таким образом, сила сопротивления равна:

$F_{\text{сопр}} = \mu mg$

Подставим выражение для силы сопротивления в формулу для силы тяги:

$F_{\text{тяги}} = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Теперь можем подставить числовые значения и вычислить силу тяги:

$F_{\text{тяги}} = 15000 \text{ кг} \cdot (0,7 \text{ м/с}^2 + 0,03 \cdot 10 \text{ м/с}^2)$

$F_{\text{тяги}} = 15000 \cdot (0,7 + 0,3) = 15000 \cdot 1 = 15000 \text{ Н}$

Результат можно представить в килоньютонах (кН), зная, что $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$.

$F_{\text{тяги}} = 15 \text{ кН}$

Ответ: сила тяги равна $15000 \text{ Н}$ или $15 \text{ кН}$.

272. Электровоз, трогаясь с места, развивает максимальную силу тяги 650 кН. Какое ускорение он сообщит железнодорожному составу массой 3250 т, если коэффициент сопротивления равен 0,005?

Дано:

$F_{\text{тяги}} = 650 \text{ кН} = 650 \cdot 10^3 \text{ Н}$

$m = 3250 \text{ т} = 3250 \cdot 10^3 \text{ кг}$

$\mu = 0.005$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$a$ — ?

Решение:

Для определения ускорения железнодорожного состава воспользуемся вторым законом Ньютона. На состав в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги электровоза $F_{\text{тяги}}$, направленная вперёд, и сила сопротивления движению $F_{\text{сопр}}$, направленная против движения. Равнодействующая этих сил $F_{\text{равн}}$ сообщает составу массой $m$ ускорение $a$:

$F_{\text{равн}} = m \cdot a$

Равнодействующая сила равна разности силы тяги и силы сопротивления:

$F_{\text{равн}} = F_{\text{тяги}} - F_{\text{сопр}}$

Следовательно, уравнение движения имеет вид:

$m \cdot a = F_{\text{тяги}} - F_{\text{сопр}}$

Сила сопротивления движению (в данном случае, сила трения качения) определяется через коэффициент сопротивления $\mu$ и силу нормальной реакции опоры $N$:

$F_{\text{сопр}} = \mu \cdot N$

Поскольку состав движется по горизонтальному пути, сила нормальной реакции опоры $N$ по модулю равна силе тяжести $F_{\text{тяж}}$, действующей на состав:

$N = F_{\text{тяж}} = m \cdot g$

Подставив это выражение в формулу для силы сопротивления, получаем:

$F_{\text{сопр}} = \mu \cdot m \cdot g$

Теперь подставим полученное выражение для силы сопротивления в основное уравнение движения:

$m \cdot a = F_{\text{тяги}} - \mu \cdot m \cdot g$

Из этого уравнения выразим искомое ускорение $a$:

$a = \frac{F_{\text{тяги}} - \mu \cdot m \cdot g}{m} = \frac{F_{\text{тяги}}}{m} - \mu \cdot g$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$a = \frac{650 \cdot 10^3 \text{ Н}}{3250 \cdot 10^3 \text{ кг}} - 0.005 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$a = 0.2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 0.05 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.15 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение, которое электровоз сообщит железнодорожному составу, равно $0.15 \text{ м/с}^2$.

273. Автомобиль «Жигули» массой $1 \text{ т}$, трогаясь с места, достигает скорости $30 \text{ м/с}$ через $20 \text{ с}$. Найти силу тяги, если коэффициент сопротивления равен $0,05$.

Дано:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$
$v = 30 \text{ м/с}$
$t = 20 \text{ с}$
$\mu = 0,05$

Найти:

$F_{тяги}$

Решение:

Движение автомобиля описывается вторым законом Ньютона. Запишем его в векторной форме. На автомобиль действуют: сила тяги двигателя $F_{тяги}$, сила сопротивления движению $F_{сопр}$, сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N$.

$m\vec{a} = \vec{F}_{тяги} + \vec{F}_{сопр} + m\vec{g} + \vec{N}$

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось OX горизонтально, по направлению движения автомобиля, а ось OY — вертикально вверх. Спроецируем векторное уравнение на эти оси.

Проекция на ось OX:

$ma = F_{тяги} - F_{сопр}$ (1)

Проекция на ось OY:

$0 = N - mg$

Из уравнения для оси OY следует, что сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести:

$N = mg$

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции опоры и равна $F_{сопр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получаем:

$F_{сопр} = \mu mg$ (2)

Поскольку автомобиль трогается с места и достигает определенной скорости за заданное время, его движение является равноускоренным. Ускорение $a$ можно найти из определения:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$:

$a = \frac{v}{t}$ (3)

Теперь выразим силу тяги из уравнения (1) и подставим в него выражения для силы сопротивления (2) и ускорения (3):

$F_{тяги} = ma + F_{сопр} = m\frac{v}{t} + \mu mg = m\left(\frac{v}{t} + \mu g\right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу. В качестве ускорения свободного падения примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$F_{тяги} = 1000 \text{ кг} \cdot \left(\frac{30 \text{ м/с}}{20 \text{ с}} + 0,05 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right)$

$F_{тяги} = 1000 \cdot (1,5 + 0,49) = 1000 \cdot 1,99 = 1990 \text{ Н}$

Силу тяги можно также найти, рассчитав все компоненты по отдельности:

Ускорение: $a = \frac{30}{20} = 1,5 \text{ м/с}^2$

Сила, идущая на ускорение: $F_a = ma = 1000 \text{ кг} \cdot 1,5 \text{ м/с}^2 = 1500 \text{ Н}$

Сила сопротивления: $F_{сопр} = \mu mg = 0,05 \cdot 1000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 490 \text{ Н}$

Общая сила тяги: $F_{тяги} = F_a + F_{сопр} = 1500 \text{ Н} + 490 \text{ Н} = 1990 \text{ Н}$

Ответ: сила тяги равна $1990 \text{ Н}$.

274. Состав какой массы может везти тепловоз с ускорением $0,1 \text{ м/с}^2$ при коэффициенте сопротивления $0,005$, если он развивает максимальное тяговое усилие $300 \text{ кН}$?

Дано:

Ускорение, $a = 0,1 \text{ м/с}^2$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,005$
Максимальное тяговое усилие, $F_{\text{тяги}} = 300 \text{ кН}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$F_{\text{тяги}} = 300 \text{ кН} = 300 \times 10^3 \text{ Н} = 300000 \text{ Н}$

Найти:

$m$ - масса состава.

Решение:

Движение состава описывается вторым законом Ньютона. На состав в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги тепловоза $F_{\text{тяги}}$, направленная по движению, и сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$, направленная против движения. Их равнодействующая сообщает составу ускорение $a$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось:

$ma = F_{\text{тяги}} - F_{\text{сопр}}$

Сила сопротивления движению вычисляется по формуле:

$F_{\text{сопр}} = \mu N$

где $N$ — сила нормальной реакции опоры. При движении по горизонтальной поверхности сила нормальной реакции равна силе тяжести $mg$.

$N = mg$

Следовательно, сила сопротивления равна:

$F_{\text{сопр}} = \mu mg$

Подставим выражение для силы сопротивления в уравнение второго закона Ньютона:

$ma = F_{\text{тяги}} - \mu mg$

Наша задача — найти массу состава $m$. Для этого выразим $m$ из полученного уравнения. Перенесем все слагаемые с массой в одну сторону:

$ma + \mu mg = F_{\text{тяги}}$

Вынесем массу $m$ за скобки:

$m(a + \mu g) = F_{\text{тяги}}$

Отсюда находим массу:

$m = \frac{F_{\text{тяги}}}{a + \mu g}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$m = \frac{300000 \text{ Н}}{0,1 \text{ м/с}^2 + 0,005 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{300000}{0,1 + 0,05} = \frac{300000}{0,15} = 2000000 \text{ кг}$

Переведем массу в тонны для более наглядного представления ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$):

$m = 2000000 \text{ кг} = 2000 \text{ т}$

Ответ: тепловоз может везти состав массой 2 000 000 кг или 2000 т.

275. Коэффициент тяги (отношение силы тяги к силе тяжести) автомобиля $k = 0,11$. С каким ускорением $a$ движется автомобиль при коэффициенте сопротивления $\mu = 0,06$?

Дано:

Коэффициент тяги $k = 0,11$

Коэффициент сопротивления $\mu = 0,06$

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для автомобиля в проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону движения. На автомобиль действуют сила тяги $F_{тяги}$ и сила сопротивления $F_{сопр}$, направленная в противоположную сторону.

$m \cdot a = F_{тяги} - F_{сопр}$

где $m$ — масса автомобиля, $a$ — его ускорение.

По определению, коэффициент тяги $k$ — это отношение силы тяги к силе тяжести автомобиля $F_{тяж} = m \cdot g$:

$k = \frac{F_{тяги}}{F_{тяж}} = \frac{F_{тяги}}{m \cdot g}$

Отсюда выражаем силу тяги:

$F_{тяги} = k \cdot m \cdot g$

Сила сопротивления (в данном случае, сила трения качения) определяется через коэффициент сопротивления $\mu$ и силу нормальной реакции опоры $N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции равна силе тяжести: $N = F_{тяж} = m \cdot g$.

$F_{сопр} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g$

Теперь подставим выражения для $F_{тяги}$ и $F_{сопр}$ в уравнение второго закона Ньютона:

$m \cdot a = k \cdot m \cdot g - \mu \cdot m \cdot g$

Масса автомобиля $m$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому мы можем на нее сократить:

$a = k \cdot g - \mu \cdot g$

Вынесем ускорение свободного падения $g$ за скобки:

$a = (k - \mu) \cdot g$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, м/с^2$.

$a = (0,11 - 0,06) \cdot 9,8 \, м/с^2 = 0,05 \cdot 9,8 \, м/с^2 = 0,49 \, м/с^2$

Ответ: ускорение автомобиля равно $0,49 \, м/с^2$.

276*. На рисунке 38 приведён упрощённый график изменения проекции скорости автобуса при движении между двумя остановками. Масса автобуса 4 т. Считая силу сопротивления постоянной и зная, что на участке, соответствующем отрезку $BC$ графика, сила тяги равна нулю, найти силу тяги на участках, соответствующих отрезкам $OA$ и $AB$.

Рис. 38

Дано:

$m = 4$ т
$F_{сопр} = \text{const}$
На участке BC: $F_{тяги, BC} = 0$
Из графика:
$v_O = 0$ м/с при $t_O = 0$ с
$v_A = 10$ м/с при $t_A = 20$ с
$v_B = 10$ м/с при $t_B = 40$ с
$v_C = 0$ м/с при $t_C = 120$ с

$m = 4 \text{ т} = 4000 \text{ кг}$

Найти:

$F_{тяги, OA} - ?$
$F_{тяги, AB} - ?$

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$. В проекции на горизонтальную ось, совпадающую с направлением движения автобуса, уравнение примет вид: $F_{тяги} - F_{сопр} = ma_x$.

Сначала найдем постоянную силу сопротивления $F_{сопр}$, используя данные для участка BC. На этом участке сила тяги равна нулю ($F_{тяги, BC} = 0$), а движение является равнозамедленным.

Ускорение автобуса на участке BC: $a_{BC} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_C - v_B}{t_C - t_B} = \frac{0 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{120 \text{ с} - 40 \text{ с}} = \frac{-10}{80} \text{ м/с}^2 = -0.125 \text{ м/с}^2$.

Запишем второй закон Ньютона для участка BC: $ma_{BC} = F_{тяги, BC} - F_{сопр}$.

Поскольку $F_{тяги, BC} = 0$, получаем: $ma_{BC} = -F_{сопр}$, откуда $F_{сопр} = -ma_{BC}$.

Подставим числовые значения: $F_{сопр} = -(4000 \text{ кг}) \cdot (-0.125 \text{ м/с}^2) = 500 \text{ Н}$.

Теперь мы можем найти силы тяги на искомых участках.

Сила тяги на участке ОА

На участке ОА автобус движется с постоянным ускорением. Найдем это ускорение: $a_{OA} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_A - v_O}{t_A - t_O} = \frac{10 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}^2$.

Запишем второй закон Ньютона для участка ОА: $ma_{OA} = F_{тяги, OA} - F_{сопр}$.

Отсюда выразим силу тяги: $F_{тяги, OA} = ma_{OA} + F_{сопр}$.

Подставим известные значения: $F_{тяги, OA} = 4000 \text{ кг} \cdot 0.5 \text{ м/с}^2 + 500 \text{ Н} = 2000 \text{ Н} + 500 \text{ Н} = 2500 \text{ Н}$.

Ответ: $F_{тяги, OA} = 2500 \text{ Н}$ или $2,5 \text{ кН}$.

Сила тяги на участке АВ

На участке АВ скорость автобуса постоянна ($v_x = 10$ м/с), следовательно, ускорение равно нулю: $a_{AB} = 0$.

Запишем второй закон Ньютона для участка АВ: $ma_{AB} = F_{тяги, AB} - F_{сопр}$.

Поскольку $a_{AB} = 0$, то $0 = F_{тяги, AB} - F_{сопр}$.

Таким образом, сила тяги равна силе сопротивления: $F_{тяги, AB} = F_{сопр} = 500 \text{ Н}$.

Ответ: $F_{тяги, AB} = 500 \text{ Н}$.

277. При каком ускорении разорвётся трос при подъёме груза массой 500 кг, если максимальная сила натяжения, которую выдерживает трос не разрываясь, равна 15 кН?

Дано:
Масса груза: $m = 500$ кг
Максимальная сила натяжения троса: $T_{max} = 15$ кН
Ускорение свободного падения (принимаем): $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$T_{max} = 15 \text{ кН} = 15 \cdot 10^3 \text{ Н} = 15000 \text{ Н}$

Найти:
Ускорение $a$, при котором разорвётся трос.

Решение:

При подъёме груза с ускорением на него действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения троса $T$, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($ \vec{F} = m\vec{a} $). Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. В проекции на эту ось второй закон Ньютона запишется в виде:

$ma = T - F_т$

Сила тяжести определяется как $F_т = mg$. Подставим это в уравнение:

$ma = T - mg$

Из этого уравнения видно, что сила натяжения троса $T = m(g + a)$ зависит от ускорения. Трос разорвётся, когда сила натяжения $T$ достигнет своего максимального значения $T_{max}$. Найдём ускорение, при котором это произойдёт:

$ma = T_{max} - mg$

Выразим ускорение $a$:

$a = \frac{T_{max} - mg}{m} = \frac{T_{max}}{m} - g$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу для вычисления ускорения:

$a = \frac{15000 \text{ Н}}{500 \text{ кг}} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Это означает, что трос разорвётся при ускорении подъёма, равном или превышающем $20 \text{ м/с}^2$.

Ответ: трос разорвётся при ускорении $a = 20 \text{ м/с}^2$.