Страница 38 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

246. На столике в вагоне поезда лежат коробка конфет и яблоко. Почему в начале движения яблоко покатилось назад (относительно вагона), а коробка конфет осталась на месте?

Решение

Это явление объясняется фундаментальным свойством тел, называемым инертностью (которое описывается первым законом Ньютона), и различием в силах трения, действующих на яблоко и коробку.

Когда поезд трогается с места, он начинает двигаться с ускорением. Столик, как часть поезда, также приобретает это ускорение. Однако яблоко и коробка, согласно закону инерции, стремятся сохранить свое первоначальное состояние покоя относительно земли. Для наблюдателя, находящегося в вагоне (в неинерциальной системе отсчета), это выглядит так, будто на тела начинает действовать сила инерции, направленная в сторону, противоположную ускорению поезда, то есть назад.

Для того чтобы предметы остались неподвижными относительно столика, сила трения покоя, действующая на них со стороны столика, должна быть достаточной, чтобы преодолеть их инертность и сообщить им такое же ускорение, как у поезда. Максимальная сила трения покоя определяется формулой $F_{тр.пок.макс} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения покоя, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Ключевое различие между яблоком и коробкой заключается в силе трения. У яблока форма близка к шару, и оно касается столика в очень небольшой области. Сила трения, препятствующая его движению, — это сила трения качения, которая, как правило, очень мала. Этой небольшой силы оказывается недостаточно, чтобы придать яблоку ускорение поезда. Поэтому яблоко «отстает» от движущегося вперед столика, что воспринимается как его качение назад. В то же время у коробки конфет плоское и широкое основание. Это обеспечивает значительно больший коэффициент трения покоя. Возникающая между коробкой и столиком сила трения покоя оказывается достаточно большой, чтобы сообщить коробке необходимое ускорение. В результате коробка движется вместе со столиком и остается на своем месте относительно него.

Таким образом, разное поведение объектов обусловлено тем, что сила трения, действующая на коробку, способна преодолеть ее инерцию, а сила трения, действующая на яблоко, — нет.

Ответ: Яблоко покатилось назад относительно вагона из-за явления инерции — оно стремилось сохранить состояние покоя, в то время как поезд и столик начали двигаться с ускорением. Сила трения качения, действовавшая на яблоко, была слишком мала, чтобы сообщить ему такое же ускорение. Коробка конфет осталась на месте, так как благодаря плоскому дну сила трения покоя между ней и столиком была достаточно велика, чтобы заставить ее двигаться вместе с поездом.

247. С каким максимальным ускорением может двигаться достаточно мощный автомобиль, если коэффициент трения скольжения равен 0,3?

Дано:

Коэффициент трения скольжения, $ \mu = 0,3 $

Все данные уже представлены в системе СИ или являются безразмерными величинами.

Найти:

Максимальное ускорение $ a_{max} $

Решение:

Ускорение автомобилю сообщает сила трения, действующая со стороны дороги на его ведущие колеса. Максимальное ускорение ограничено максимальной силой трения. Условие "достаточно мощный автомобиль" означает, что ограничивающим фактором является именно сила сцепления колес с дорогой, а не мощность двигателя. В качестве ускорения свободного падения примем стандартное значение $ g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 $.

Согласно второму закону Ньютона, сила, сообщающая ускорение автомобилю, равна произведению его массы на ускорение. В горизонтальном направлении на автомобиль действует сила трения $ F_{тр} $, которая и является движущей силой (пренебрегая сопротивлением воздуха). $ F_{тр} = m \cdot a $

Максимальное ускорение $ a_{max} $ соответствует максимальной силе трения $ F_{тр.max} $: $ m \cdot a_{max} = F_{тр.max} $

Максимальная сила трения вычисляется по формуле: $ F_{тр.max} = \mu \cdot N $ где $ \mu $ – коэффициент трения, а $ N $ – сила нормальной реакции опоры.

Поскольку автомобиль движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры $ N $ по модулю равна силе тяжести $ mg $: $ N = mg $

Подставим это выражение в формулу для максимальной силы трения: $ F_{тр.max} = \mu \cdot mg $

Теперь приравняем два полученных выражения для $ F_{тр.max} $: $ m \cdot a_{max} = \mu \cdot mg $

Сократив массу автомобиля $ m $ в обеих частях уравнения, получим формулу для максимального ускорения, которая не зависит от массы: $ a_{max} = \mu \cdot g $

Подставим числовые значения в полученную формулу: $ a_{max} = 0,3 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 2,94 \, \text{м/с}^2 $

Ответ: максимальное ускорение автомобиля равно $ 2,94 \, \text{м/с}^2 $.

248. Состав какой массы может привести в движение электровоз массой 180 т, если коэффициент трения скольжения колёс о рельсы равен 0,2, а коэффициент сопротивления качению поезда1 равен 0,006?

Дано:

Масса электровоза, $m_л = 180 \text{ т}$
Коэффициент трения скольжения колёс о рельсы, $\mu_с = 0,2$
Коэффициент сопротивления качению поезда, $\mu_к = 0,006$

Перевод в систему СИ:

$m_л = 180 \cdot 10^3 \text{ кг} = 180000 \text{ кг}$

Найти:

Массу состава (вагонов), $m_с$

Решение:

Электровоз сможет привести состав в движение, если развиваемая им максимальная сила тяги будет как минимум равна силе сопротивления движению всего поезда (электровоз + состав).

Максимальная сила тяги $F_{тяг}$ создается за счет силы трения между ведущими колесами электровоза и рельсами. В предельном случае, на грани проскальзывания, эта сила равна максимальной силе трения покоя.

$F_{тяг} = F_{тр.с} = \mu_с \cdot N_л$, где $N_л$ - сила нормальной реакции, действующая на колеса электровоза.

Предполагая, что путь горизонтальный, сила нормальной реакции равна силе тяжести электровоза:

$N_л = m_л \cdot g$, где $g$ - ускорение свободного падения.

Следовательно, максимальная сила тяги равна:

$F_{тяг} = \mu_с \cdot m_л \cdot g$

Сила сопротивления движению всего поезда $F_{сопр}$ - это сила трения качения. Она действует на весь поезд, то есть на электровоз и состав вагонов.

Пусть $m_с$ - масса состава (вагонов). Тогда общая масса поезда $M = m_л + m_с$.

Сила сопротивления качения всего поезда рассчитывается по формуле:

$F_{сопр} = \mu_к \cdot N_{общ}$, где $N_{общ}$ - сила нормальной реакции, действующая на весь поезд.

$N_{общ} = M \cdot g = (m_л + m_с) \cdot g$

Тогда сила сопротивления:

$F_{сопр} = \mu_к \cdot (m_л + m_с) \cdot g$

Условием начала движения поезда является равенство силы тяги и силы сопротивления:

$F_{тяг} = F_{сопр}$

$\mu_с \cdot m_л \cdot g = \mu_к \cdot (m_л + m_с) \cdot g$

Сократим обе части уравнения на $g$:

$\mu_с \cdot m_л = \mu_к \cdot (m_л + m_с)$

Выразим из этого уравнения искомую массу состава $m_с$:

$\mu_с \cdot m_л = \mu_к \cdot m_л + \mu_к \cdot m_с$

$\mu_к \cdot m_с = \mu_с \cdot m_л - \mu_к \cdot m_л$

$\mu_к \cdot m_с = (\mu_с - \mu_к) \cdot m_л$

$m_с = \frac{(\mu_с - \mu_к) \cdot m_л}{\mu_к}$

Подставим числовые значения. Расчеты можно вести в тоннах, так как в итоговой формуле единицы массы $m_л$ определяют единицы массы $m_с$.

$m_с = \frac{(0,2 - 0,006) \cdot 180 \text{ т}}{0,006} = \frac{0,194 \cdot 180 \text{ т}}{0,006} = \frac{34,92 \text{ т}}{0,006} = 5820 \text{ т}$

Ответ: электровоз может привести в движение состав массой 5820 т.

При помощи динамометра ученик перемещал деревянный брусок массой $200 \text{ г}$ по горизонтально расположенной доске. Каков коэффициент трения, если динамометр показывал $0,6 \text{ Н}$?

Дано:

$m = 200 \text{ г}$

$F = 0,6 \text{ Н}$

Найти:

$\mu$

Решение:

Ученик перемещает брусок с помощью динамометра. Сила, которую показывает динамометр, является силой тяги $F_{тяги}$. В условии задачи предполагается, что движение бруска равномерное и прямолинейное. Согласно первому закону Ньютона, при равномерном движении равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. В горизонтальном направлении на брусок действуют две силы: сила тяги $F_{тяги}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная в противоположную сторону.

Условие равновесия сил в горизонтальном направлении:

$F_{тяги} = F_{тр}$

Из условия задачи известно, что динамометр показывал $0,6 \text{ Н}$, следовательно:

$F_{тяги} = F_{тр} = 0,6 \text{ Н}$

Сила трения скольжения вычисляется по формуле:

$F_{тр} = \mu \cdot N$

где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Поскольку брусок движется по горизонтальной доске, на него в вертикальном направлении действуют сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх. Эти силы уравновешивают друг друга:

$N = F_{тяж}$

Силу тяжести находим по формуле:

$F_{тяж} = m \cdot g$

где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения. Примем значение $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$.

$N = m \cdot g = 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 2 \text{ Н}$

Теперь мы можем найти коэффициент трения, выразив его из формулы для силы трения:

$\mu = \frac{F_{тр}}{N}$

Подставим числовые значения:

$\mu = \frac{0,6 \text{ Н}}{2 \text{ Н}} = 0,3$

Ответ: коэффициент трения равен 0,3.

250. Упряжка собак при движении саней по снегу может действовать с максимальной силой $0,5$ кН. Какой массы сани с грузом может перемещать упряжка, если коэффициент трения равен $0,1$?

Дано:

Максимальная сила тяги $F_{тяги} = 0,5$ кН
Коэффициент трения $\mu = 0,1$

$F_{тяги} = 0,5 \text{ кН} = 500 \text{ Н}$

Найти:

Массу саней с грузом $m$.

Решение:

Для того чтобы упряжка могла перемещать сани с грузом, сила тяги должна быть как минимум равна силе трения, возникающей между санями и снегом. Будем считать, что движение происходит равномерно, тогда по второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на сани, равна нулю.

Рассмотрим силы, действующие на сани в горизонтальном и вертикальном направлениях.

По горизонтали на сани действуют две силы: сила тяги упряжки $F_{тяги}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная в противоположную сторону. Для равномерного движения должно выполняться условие:
$F_{тяги} = F_{тр}$

Сила трения скольжения определяется по формуле:
$F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры.

По вертикали на сани действуют сила тяжести $F_{тяж} = mg$ (где $g$ – ускорение свободного падения) и сила нормальной реакции опоры $N$. Так как сани не движутся в вертикальном направлении, эти силы уравновешивают друг друга:
$N = F_{тяж} = mg$

Подставим выражение для силы реакции опоры в формулу для силы трения:
$F_{тр} = \mu mg$

Теперь приравняем силу тяги и силу трения:
$F_{тяги} = \mu mg$

Из этого уравнения выразим массу $m$:
$m = \frac{F_{тяги}}{\mu g}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Подставим числовые значения в формулу:

$m = \frac{500 \text{ Н}}{0,1 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{500}{1} \text{ кг} = 500 \text{ кг}$

Ответ: упряжка может перемещать сани с грузом массой 500 кг.

251. На соревнованиях лошадей тяжелоупряжных пород одна из них перевезла груз массой 23 т. Найти коэффициент сопротивления, если сила тяги лошади 2,3 кН.

Дано:

$m = 23 \text{ т} = 23000 \text{ кг}$
$F_{тяги} = 2,3 \text{ кН} = 2300 \text{ Н}$

Найти:

$\mu$ — ?

Решение:

В условии задачи сказано, что лошадь "перевезла" груз. Будем считать, что движение было равномерным и прямолинейным. Согласно первому закону Ньютона, при равномерном движении равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Это означает, что сила тяги лошади $F_{тяги}$ полностью уравновешивается силой сопротивления движению $F_{сопр}$.

$F_{тяги} = F_{сопр}$

Сила сопротивления (в данном случае это сила трения) вычисляется по формуле:

$F_{сопр} = \mu \cdot N$

где $\mu$ — искомый коэффициент сопротивления, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Поскольку груз движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры по модулю равна силе тяжести $P$, действующей на груз.

$N = P = m \cdot g$

где $g$ — ускорение свободного падения. Для упрощения расчетов примем $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

Теперь мы можем объединить уравнения:

$F_{тяги} = \mu \cdot m \cdot g$

Из этого выражения найдем коэффициент сопротивления $\mu$:

$\mu = \frac{F_{тяги}}{m \cdot g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\mu = \frac{2300 \text{ Н}}{23000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{2300}{230000} = 0,01$

Ответ: коэффициент сопротивления равен 0,01.

252. Стальной магнит массой 50 г прилип к вертикальной стальной плите. Для скольжения магнита вниз прикладывают силу 1,5 Н. С какой силой магнит прижимается к плите? Какую силу надо приложить, чтобы перемещать магнит вертикально вверх, если коэффициент трения равен 0,2?

Дано:

Масса магнита, $m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$
Сила, приложенная для скольжения вниз, $F_{вниз} = 1.5 \text{ Н}$
Коэффициент трения, $\mu = 0.2$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Сила прижатия, $N - ?$
Сила для перемещения вверх, $F_{вверх} - ?$

Решение:

С какой силой магнит прижимается к плите?

Магнит прижимается к плите с силой магнитного притяжения. По третьему закону Ньютона, плита действует на магнит с силой нормальной реакции $N$, равной по модулю силе прижатия.
Когда для скольжения магнита вниз прикладывают силу $F_{вниз}$, на него действуют следующие силы в вертикальном направлении: сила тяжести $F_g = mg$ (направлена вниз), приложенная сила $F_{вниз}$ (направлена вниз) и сила трения скольжения $F_{тр}$ (направлена вверх, против движения).
Так как движение равномерное (или находится на грани срыва), сумма всех сил, действующих на магнит, равна нулю. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:
$F_g + F_{вниз} - F_{тр} = 0$

Сила трения скольжения вычисляется по формуле:
$F_{тр} = \mu N$
где $N$ - сила нормальной реакции, равная силе прижатия.

Подставим выражение для силы трения в уравнение равновесия:
$mg + F_{вниз} = \mu N$

Отсюда выразим силу прижатия $N$:
$N = \frac{mg + F_{вниз}}{\mu}$

Рассчитаем силу тяжести:
$F_g = mg = 0.05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0.5 \text{ Н}$

Теперь можем вычислить силу прижатия:
$N = \frac{0.5 \text{ Н} + 1.5 \text{ Н}}{0.2} = \frac{2.0 \text{ Н}}{0.2} = 10 \text{ Н}$

Ответ: магнит прижимается к плите с силой 10 Н.

Какую силу надо приложить, чтобы перемещать магнит вертикально вверх, если коэффициент трения равен 0,2?

Чтобы перемещать магнит вертикально вверх, необходимо приложить силу $F_{вверх}$, направленную вверх. Против этой силы будут действовать сила тяжести $F_g$ (вниз) и сила трения скольжения $F_{тр}$ (также вниз, поскольку она всегда направлена против движения). Сила прижатия $N$ остается той же.
Условие равномерного движения вверх в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, выглядит так:
$F_{вверх} - F_g - F_{тр} = 0$

Отсюда выражаем искомую силу $F_{вверх}$:
$F_{вверх} = F_g + F_{тр}$

Подставим выражения для силы тяжести и силы трения:
$F_{вверх} = mg + \mu N$

Подставим числовые значения, используя ранее найденную силу прижатия $N = 10 \text{ Н}$ и силу тяжести $mg = 0.5 \text{ Н}$:
$F_{вверх} = 0.5 \text{ Н} + 0.2 \cdot 10 \text{ Н} = 0.5 \text{ Н} + 2.0 \text{ Н} = 2.5 \text{ Н}$

Ответ: чтобы перемещать магнит вертикально вверх, надо приложить силу 2,5 Н.

253. Два деревянных бруска массой по 1 кг каждый лежат на деревянной доске (рис. 36). Какую силу надо приложить, чтобы вытащить нижний брусок из-под верхнего? Коэффициент трения на обеих поверхностях нижнего бруска равен 0,3.

Рис. 36

Дано:

Масса верхнего бруска: $m_1 = 1$ кг
Масса нижнего бруска: $m_2 = 1$ кг
Коэффициент трения: $\mu = 0,3$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Прилагаемая сила: $F$

Решение:

Чтобы вытащить нижний брусок, приложенная сила $F$ должна как минимум уравновесить суммарную силу трения, действующую на этот брусок. На нижний брусок действуют две силы трения, направленные в сторону, противоположную силе $F$: сила трения $F_{тр1}$ со стороны верхнего бруска и сила трения $F_{тр2}$ со стороны деревянной доски.

Для начала движения должно выполняться условие:

$F \geq F_{тр1} + F_{тр2}$

Минимальная сила, необходимая для вытаскивания, равна сумме максимальных сил трения покоя:

$F = F_{тр1} + F_{тр2}$

Сила трения определяется по формуле $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции.

Вычислим силу трения $F_{тр1}$ между брусками. Сила нормальной реакции $N_1$, с которой верхний брусок давит на нижний, равна весу верхнего бруска:

$N_1 = m_1 g$

Следовательно,

$F_{тр1} = \mu N_1 = \mu m_1 g$

Теперь вычислим силу трения $F_{тр2}$ между нижним бруском и доской. Сила нормальной реакции $N_2$ со стороны доски на нижний брусок уравновешивает вес обоих брусков:

$N_2 = (m_1 + m_2)g$

Следовательно,

$F_{тр2} = \mu N_2 = \mu (m_1 + m_2)g$

Суммарная сила, которую нужно преодолеть, равна:

$F = F_{тр1} + F_{тр2} = \mu m_1 g + \mu (m_1 + m_2)g$

Вынесем общие множители за скобки для упрощения:

$F = \mu g (m_1 + m_1 + m_2) = \mu g (2m_1 + m_2)$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$.

$F = 0,3 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (2 \cdot 1 \, \text{кг} + 1 \, \text{кг})$

$F = 0,3 \cdot 9,8 \cdot 3 \, \text{Н}$

$F = 8,82 \, \text{Н}$

Ответ: чтобы вытащить нижний брусок, надо приложить силу 8,82 Н.

254. Деревянный брусок массой $2 \text{ кг}$ тянут по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жёсткостью $100 \text{ Н/м}$. Коэффициент трения равен $0,3$. Найти удлинение пружины.

Дано:
$m = 2$ кг
$k = 100$ Н/м
$\mu = 0,3$

Найти:
$\Delta x$ — ?

Решение:

На деревянный брусок, который тянут по горизонтальной доске с помощью пружины, действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила реакции опоры ($\vec{N}$), направленная вертикально вверх; сила упругости пружины ($\vec{F}_{упр}$), направленная горизонтально в сторону движения; и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная горизонтально против движения.

Поскольку в задаче требуется найти одно конкретное значение удлинения, будем считать, что движение бруска является равномерным (с постоянной скоростью), а значит, его ускорение равно нулю ($a=0$). По первому закону Ньютона, при равномерном движении векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:

$\vec{F}_{упр} + \vec{F}_{тр} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$

Для решения задачи спроецируем силы на оси координат. Ось OX направим горизонтально по направлению движения, а ось OY — вертикально вверх.

Проекция на ось OY:

$N - mg = 0$

Из этого уравнения следует, что сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести:

$N = mg$

Проекция на ось OX:

$F_{упр} - F_{тр} = 0$

Отсюда следует, что сила упругости пружины уравновешивает силу трения:

$F_{упр} = F_{тр}$

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \Delta x$, где $k$ — жёсткость пружины, а $\Delta x$ — её искомое удлинение.

Сила трения скольжения вычисляется по формуле: $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения.

Подставим ранее найденное выражение для $N$ в формулу для силы трения:

$F_{тр} = \mu mg$

Теперь, используя равенство $F_{упр} = F_{тр}$, получаем:

$k \Delta x = \mu mg$

Выразим из этого уравнения удлинение пружины $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{\mu mg}{k}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с²}$. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta x = \frac{0,3 \cdot 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{100 \text{ Н/м}} = \frac{6 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0,06 \text{ м}$

Таким образом, удлинение пружины составляет 0,06 метра, что эквивалентно 6 сантиметрам.

Ответ: удлинение пружины равно $0,06$ м.