Номер 254, страница 38 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

254. Деревянный брусок массой $2 \text{ кг}$ тянут по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жёсткостью $100 \text{ Н/м}$. Коэффициент трения равен $0,3$. Найти удлинение пружины.

Дано:
$m = 2$ кг
$k = 100$ Н/м
$\mu = 0,3$

Найти:
$\Delta x$ — ?

Решение:

На деревянный брусок, который тянут по горизонтальной доске с помощью пружины, действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила реакции опоры ($\vec{N}$), направленная вертикально вверх; сила упругости пружины ($\vec{F}_{упр}$), направленная горизонтально в сторону движения; и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная горизонтально против движения.

Поскольку в задаче требуется найти одно конкретное значение удлинения, будем считать, что движение бруска является равномерным (с постоянной скоростью), а значит, его ускорение равно нулю ($a=0$). По первому закону Ньютона, при равномерном движении векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:

$\vec{F}_{упр} + \vec{F}_{тр} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$

Для решения задачи спроецируем силы на оси координат. Ось OX направим горизонтально по направлению движения, а ось OY — вертикально вверх.

Проекция на ось OY:

$N - mg = 0$

Из этого уравнения следует, что сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести:

$N = mg$

Проекция на ось OX:

$F_{упр} - F_{тр} = 0$

Отсюда следует, что сила упругости пружины уравновешивает силу трения:

$F_{упр} = F_{тр}$

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \Delta x$, где $k$ — жёсткость пружины, а $\Delta x$ — её искомое удлинение.

Сила трения скольжения вычисляется по формуле: $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения.

Подставим ранее найденное выражение для $N$ в формулу для силы трения:

$F_{тр} = \mu mg$

Теперь, используя равенство $F_{упр} = F_{тр}$, получаем:

$k \Delta x = \mu mg$

Выразим из этого уравнения удлинение пружины $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{\mu mg}{k}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с²}$. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta x = \frac{0,3 \cdot 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{100 \text{ Н/м}} = \frac{6 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0,06 \text{ м}$

Таким образом, удлинение пружины составляет 0,06 метра, что эквивалентно 6 сантиметрам.

Ответ: удлинение пружины равно $0,06$ м.