Страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

294. С каким ускорением $a$ скользит брусок по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ при коэффициенте трения $\mu = 0,2$?

Дано:

Найти:

Решение:

На брусок, скользящий по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $ \vec{F_g} = m\vec{g} $, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения $ \vec{F_{тр}} $, направленная против движения (вверх вдоль плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось OX была направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно ей вверх.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $ m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F_{тр}} $

Теперь запишем это уравнение в проекциях на выбранные оси координат.

Проекция на ось OY: $ OY: N - mg \cos\alpha = 0 $
Поскольку вдоль этой оси движение отсутствует, ускорение равно нулю. Отсюда можно выразить силу нормальной реакции опоры: $ N = mg \cos\alpha $

Проекция на ось OX: $ OX: mg \sin\alpha - F_{тр} = ma $
Здесь $ mg \sin\alpha $ — это проекция силы тяжести, которая "стаскивает" брусок вниз по плоскости.

Сила трения скольжения по определению равна $ F_{тр} = \mu N $. Подставив найденное ранее выражение для $ N $, получим: $ F_{тр} = \mu mg \cos\alpha $

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси OX: $ mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma $

Как видим, масса бруска $ m $ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить. Получаем формулу для ускорения: $ a = g \sin\alpha - \mu g \cos\alpha $
Или, вынеся $ g $ за скобки: $ a = g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha) $

Теперь можно подставить числовые значения и произвести расчеты.
Используем $ \sin 30^\circ = 0,5 $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $.
$ a = 9,8 \, (\text{м/с}^2) \cdot (0,5 - 0,2 \cdot 0,866) $
$ a = 9,8 \cdot (0,5 - 0,1732) $
$ a = 9,8 \cdot 0,3268 $
$ a \approx 3,20264 \, \text{м/с}^2 $

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $ a \approx 3,2 \, \text{м/с}^2 $.

295*. В момент начала свободного падения первого тела с некоторой высоты $h$ второе тело стало скользить без трения с наклонной плоскости, имеющей ту же высоту $h$ и длину $l = nh$. Сравнить конечные скорости тел у основания наклонной плоскости и время их движения.

Дано:

Высота: $h$

Начальная скорость первого тела (свободное падение): $v_{01} = 0$

Начальная скорость второго тела (скольжение с наклонной плоскости): $v_{02} = 0$

Длина наклонной плоскости: $l = nh$

Трение отсутствует.

Найти:

Сравнить конечные скорости тел $v_1$ и $v_2$.

Сравнить время их движения $t_1$ и $t_2$.

Решение:

Задачу можно разделить на две части: сравнение скоростей и сравнение времени движения.

1. Сравнение конечных скоростей

Для определения конечных скоростей обоих тел воспользуемся законом сохранения механической энергии. Так как трение отсутствует, полная механическая энергия системы (тело-Земля) сохраняется.

Для первого тела, падающего свободно с высоты $h$, начальная энергия (на высоте $h$) равна его потенциальной энергии: $E_{p1} = m_1gh$. Кинетическая энергия равна нулю, так как $v_{01} = 0$. Конечная энергия (у основания) равна его кинетической энергии: $E_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_1^2$. Потенциальная энергия равна нулю.

Приравнивая начальную и конечную энергию:

$m_1gh = \frac{1}{2}m_1v_1^2$

Отсюда находим конечную скорость первого тела:

$v_1^2 = 2gh \implies v_1 = \sqrt{2gh}$

Для второго тела, соскальзывающего с наклонной плоскости высотой $h$ без трения, рассуждения аналогичны. Начальная энергия равна потенциальной энергии на высоте $h$: $E_{p2} = m_2gh$. Конечная энергия у основания равна кинетической: $E_{k2} = \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

По закону сохранения энергии:

$m_2gh = \frac{1}{2}m_2v_2^2$

Отсюда находим конечную скорость второго тела:

$v_2^2 = 2gh \implies v_2 = \sqrt{2gh}$

Сравнивая полученные выражения для скоростей, видим, что $v_1 = v_2$.

Ответ: Конечные скорости тел у основания наклонной плоскости равны.

2. Сравнение времени движения

Для нахождения времени движения используем формулы равноускоренного движения.

Для первого тела (свободное падение) движение происходит с ускорением свободного падения $g$. Пройденный путь равен высоте $h$.

Из формулы пути $h = v_{01}t_1 + \frac{gt_1^2}{2}$, учитывая $v_{01}=0$, получаем:

$h = \frac{gt_1^2}{2}$

Отсюда выражаем время движения первого тела:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Для второго тела движение происходит вдоль наклонной плоскости длиной $l$ с ускорением $a_2$. Ускорение создается проекцией силы тяжести на наклонную плоскость. Обозначим угол наклона плоскости к горизонту как $\alpha$. Тогда $\sin\alpha = \frac{h}{l}$.

Ускорение второго тела равно:

$a_2 = g\sin\alpha = g\frac{h}{l}$

Тело проходит путь $l$ с этим ускорением. Из формулы пути $l = v_{02}t_2 + \frac{a_2t_2^2}{2}$, учитывая $v_{02}=0$, имеем:

$l = \frac{a_2t_2^2}{2} = \frac{(g\frac{h}{l})t_2^2}{2}$

Выражаем $t_2^2$:

$t_2^2 = \frac{2l^2}{gh}$

Теперь подставим в это выражение условие из задачи $l=nh$:

$t_2^2 = \frac{2(nh)^2}{gh} = \frac{2n^2h^2}{gh} = \frac{2n^2h}{g}$

Отсюда находим время движения второго тела:

$t_2 = \sqrt{\frac{2n^2h}{g}} = n\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь сравним время движения $t_1$ и $t_2$:

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{n\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = n$

Следовательно, $t_2 = n \cdot t_1$. Поскольку длина наклонной плоскости $l$ всегда больше или равна ее высоте $h$ ($l \ge h$), то коэффициент $n = l/h \ge 1$. Это означает, что второе тело движется дольше первого.

Ответ: Время движения второго тела в $n$ раз больше времени движения первого тела ($t_2 = n \cdot t_1$).

296. С какой силой, направленной горизонтально, давит вагон трамвая массой $24 \text{ т}$ на рельсы, если он движется по закруглению радиусом $100 \text{ м}$ со скоростью $18 \text{ км/ч}$? Во сколько раз изменится эта сила, если скорость движения увеличится в 2 раза?

Дано:

Масса вагона: $m = 24$ т
Радиус закругления: $R = 100$ м
Начальная скорость: $v_1 = 18$ км/ч

Перевод в систему СИ:
$m = 24 \text{ т} = 24 \times 1000 \text{ кг} = 24000$ кг
$v_1 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{18 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5$ м/с

Найти:

Силу давления на рельсы $F_1 - ?$
Отношение сил $\frac{F_2}{F_1} - ?$

Решение:

С какой силой, направленной горизонтально, давит вагон трамвая массой 24 т на рельсы, если он движется по закруглению радиусом 100 м со скоростью 18 км/ч?

При движении по закруглению на вагон действует центростремительная сила, которая обеспечивает его движение по криволинейной траектории. Эта сила создается рельсами, которые действуют на колеса вагона, и направлена горизонтально к центру закругления. Согласно третьему закону Ньютона, вагон давит на рельсы с силой, равной по модулю и противоположной по направлению. Эта сила и является искомой силой давления $F_1$.

Величина центростремительной силы (и, соответственно, силы давления $F_1$) вычисляется по формуле второго закона Ньютона для движения по окружности:

$F_1 = m \cdot a_ц = m \frac{v_1^2}{R}$

где $m$ — масса вагона, $v_1$ — его скорость, а $R$ — радиус закругления.

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$F_1 = 24000 \text{ кг} \cdot \frac{(5 \text{ м/с})^2}{100 \text{ м}} = 24000 \cdot \frac{25}{100} \text{ Н} = 240 \cdot 25 \text{ Н} = 6000$ Н.

Силу можно также выразить в килоньютонах: $6000 \text{ Н} = 6$ кН.

Ответ: вагон давит на рельсы с горизонтальной силой 6000 Н (или 6 кН).

Во сколько раз изменится эта сила, если скорость движения увеличится в 2 раза?

Сила давления $F$ прямо пропорциональна квадрату скорости ($F \sim v^2$). Запишем выражения для силы до ($F_1$) и после ($F_2$) увеличения скорости.

Начальная сила: $F_1 = m \frac{v_1^2}{R}$.

Новая скорость, согласно условию, в два раза больше начальной: $v_2 = 2v_1$.

Новая сила давления $F_2$ будет равна:

$F_2 = m \frac{v_2^2}{R} = m \frac{(2v_1)^2}{R} = m \frac{4v_1^2}{R} = 4 \left( m \frac{v_1^2}{R} \right)$

Поскольку выражение в скобках равно начальной силе $F_1$, мы получаем:

$F_2 = 4F_1$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась сила, найдем отношение новой силы к старой:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{4F_1}{F_1} = 4$

Ответ: при увеличении скорости в 2 раза сила давления на рельсы увеличится в 4 раза.

297. Автомобиль массой 2 т проходит по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 40 м, со скоростью 36 км/ч. С какой силой автомобиль давит на мост в его середине?

Дано:

Масса автомобиля, $m = 2 \text{ т}$
Радиус кривизны моста, $R = 40 \text{ м}$
Скорость автомобиля, $v = 36 \text{ км/ч}$

Найти:

Силу, с которой автомобиль давит на мост, $P$.

Решение:

Когда автомобиль движется по выпуклому мосту и находится в его высшей точке (середине), на него действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.

Движение автомобиля по дуге окружности означает, что он обладает центростремительным ускорением $a_c$, которое всегда направлено к центру кривизны. Для выпуклого моста центр кривизны находится под автомобилем, поэтому ускорение $a_c$ направлено вертикально вниз. Величина этого ускорения вычисляется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив её вниз:

$mg - N = m a_c$

Подставим в это уравнение выражение для центростремительного ускорения:

$mg - N = m \frac{v^2}{R}$

Сила, с которой автомобиль давит на мост, — это его вес $P$. По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $N$:

$P = N$

Выразим силу $N$ из уравнения динамики:

$N = mg - m \frac{v^2}{R} = m(g - \frac{v^2}{R})$

Следовательно, сила давления $P$ равна:

$P = m(g - \frac{v^2}{R})$

Подставим числовые значения в систему СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$P = 2000 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(10 \text{ м/с})^2}{40 \text{ м}})$

$P = 2000 \cdot (10 - \frac{100}{40}) \text{ Н} = 2000 \cdot (10 - 2.5) \text{ Н} = 2000 \cdot 7.5 \text{ Н} = 15000 \text{ Н}$

Результат можно также выразить в килоньютонах: $15000 \text{ Н} = 15 \text{ кН}$.

Ответ: сила, с которой автомобиль давит на мост в его середине, равна $15000 \text{ Н}$.

298. Мальчик массой $50 \text{ кг}$ качается на качелях с длиной подвеса $4 \text{ м}$. С какой силой он давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью $6 \text{ м/с}$?

Дано:

Масса мальчика, m = 50 кг
Длина подвеса качелей, L = 4 м
Скорость в среднем положении, v = 6 м/с

Найти:

Силу, с которой мальчик давит на сиденье, P.

Решение:

Когда мальчик на качелях проходит среднее (нижнее) положение, он движется по дуге окружности. Радиус этой окружности равен длине подвеса качелей, то есть $r = L = 4 \text{ м}$.

В этой точке на мальчика действуют две силы в вертикальном направлении:

1. Сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вниз и равная $F_{тяж} = mg$.
2. Сила реакции опоры $N$ со стороны сиденья, направленная вверх.

Согласно третьему закону Ньютона, сила $P$, с которой мальчик давит на сиденье (его вес), равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $N$:

$P = N$

Так как мальчик движется по окружности, равнодействующая этих двух сил создает центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру окружности, то есть вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для мальчика в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - F_{тяж} = m a_ц$

Подставив $F_{тяж} = mg$, получим:

$N - mg = m a_ц$

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{L}$

Теперь подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$N - mg = \frac{mv^2}{L}$

Выразим отсюда силу реакции опоры $N$, которая, как мы установили, равна искомой силе давления $P$:

$P = N = mg + \frac{mv^2}{L}$

Теперь можно подставить числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$P = 50 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{50 \text{ кг} \cdot (6 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{4 \text{ м}}$

$P = 500 \text{ Н} + \frac{50 \text{ кг} \cdot 36 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{4 \text{ м}}$

$P = 500 \text{ Н} + \frac{1800}{4} \text{ Н}$

$P = 500 \text{ Н} + 450 \text{ Н}$

$P = 950 \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой мальчик давит на сиденье при прохождении среднего положения, равна 950 Н.

299. На конце стержня длиной 1 м укреплён груз массой 0,4 кг, приводимый во вращение в вертикальной плоскости с постоянной частотой обращения. С какой силой действует груз на стержень в верхней и нижней точках траектории при частоте обращения: а) $0,4 \text{ с}^{-1}$; б) $0,5 \text{ с}^{-1}$; в) $1 \text{ с}^{-1}$?

Дано:

Длина стержня (радиус вращения), $R = 1 \text{ м}$

Масса груза, $m = 0,4 \text{ кг}$

Частота вращения а), $\nu_a = 0,4 \text{ с}^{-1}$

Частота вращения б), $\nu_б = 0,5 \text{ с}^{-1}$

Частота вращения в), $\nu_в = 1 \text{ с}^{-1}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Силу действия груза на стержень в верхней ($F_{в}$) и нижней ($F_{н}$) точках траектории для каждого случая частоты.

Решение:

Сила, с которой груз действует на стержень, согласно третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости стержня ($T$), действующей на груз. Таким образом, нам нужно найти модуль силы $T$.

При движении по окружности на груз действует центростремительное ускорение $a_c$, которое связано с частотой вращения $\nu$ и радиусом $R$ следующим соотношением:

$a_c = \omega^2 R = (2\pi\nu)^2 R = 4\pi^2\nu^2 R$, где $\omega$ - угловая скорость.

Запишем второй закон Ньютона для груза в верхней и нижней точках траектории.

Верхняя точка траектории:

На груз действуют сила тяжести $mg$ и сила со стороны стержня $T_в$. Обе силы потенциально направлены к центру окружности (вниз). Их равнодействующая сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, также направленное вниз. Выберем положительное направление оси Y вниз.

$T_в + mg = m a_c$

Отсюда сила, с которой стержень действует на груз:

$T_в = m a_c - mg = m(4\pi^2\nu^2 R - g)$

Искомая сила, с которой груз действует на стержень, равна по модулю $F_в = |T_в| = |m(4\pi^2\nu^2 R - g)|$. Если $T_в > 0$, стержень растянут (груз тянет его вверх). Если $T_в < 0$ — сжат (груз давит на него вниз).

Нижняя точка траектории:

На груз действуют сила со стороны стержня $T_н$ (направлена вверх, к центру) и сила тяжести $mg$ (направлена вниз). Центростремительное ускорение $a_c$ направлено вверх. Выберем положительное направление оси Y вверх.

$T_н - mg = m a_c$

Отсюда сила, с которой стержень действует на груз:

$T_н = m a_c + mg = m(4\pi^2\nu^2 R + g)$

Сила, с которой груз действует на стержень, $F_н = T_н$. В этой точке стержень всегда испытывает растяжение.

Проведем вычисления для каждого случая, используя $\pi \approx 3,14$.

Сила тяжести: $mg = 0,4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 3,92 \text{ Н}$.

Общий множитель для центростремительной силы: $m \cdot 4\pi^2 R = 0,4 \cdot 4 \cdot (3,14)^2 \cdot 1 \approx 15,78 \text{ кг} \cdot \text{м}$.

Тогда центростремительная сила $F_c = m a_c \approx 15,78 \cdot \nu^2$.

а) При $\nu_a = 0,4 \text{ с}^{-1}$

Центростремительная сила: $F_c \approx 15,78 \cdot (0,4)^2 = 15,78 \cdot 0,16 \approx 2,52 \text{ Н}$.

Сила в верхней точке: $F_в = |2,52 \text{ Н} - 3,92 \text{ Н}| = |-1,4 \text{ Н}| = 1,4 \text{ Н}$. Так как $T_в < 0$, стержень сжат.

Сила в нижней точке: $F_н = 2,52 \text{ Н} + 3,92 \text{ Н} = 6,44 \text{ Н}$.

Ответ: в верхней точке сила действия груза на стержень равна 1,4 Н (стержень сжат), в нижней — 6,44 Н (стержень растянут).

б) При $\nu_б = 0,5 \text{ с}^{-1}$

Центростремительная сила: $F_c \approx 15,78 \cdot (0,5)^2 = 15,78 \cdot 0,25 \approx 3,95 \text{ Н}$.

Сила в верхней точке: $F_в = |3,95 \text{ Н} - 3,92 \text{ Н}| = 0,03 \text{ Н}$. Так как $T_в > 0$, стержень растянут.

Сила в нижней точке: $F_н = 3,95 \text{ Н} + 3,92 \text{ Н} = 7,87 \text{ Н}$.

Ответ: в верхней точке сила действия груза на стержень равна 0,03 Н (стержень растянут), в нижней — 7,87 Н (стержень растянут).

в) При $\nu_в = 1 \text{ с}^{-1}$

Центростремительная сила: $F_c \approx 15,78 \cdot (1)^2 = 15,78 \text{ Н}$.

Сила в верхней точке: $F_в = |15,78 \text{ Н} - 3,92 \text{ Н}| = 11,86 \text{ Н}$. Так как $T_в > 0$, стержень растянут.

Сила в нижней точке: $F_н = 15,78 \text{ Н} + 3,92 \text{ Н} = 19,70 \text{ Н}$.

Ответ: в верхней точке сила действия груза на стержень равна 11,86 Н (стержень растянут), в нижней — 19,70 Н (стержень растянут).

300. Велотрек имеет закругление радиусом 40 м. В этом месте он наклонен на 40° к горизонту. На какую скорость езды рассчитан такой наклон?

Дано

Радиус закругления велотрека, $R = 40$ м
Угол наклона к горизонту, $\alpha = 40^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Скорость, $v$ - ?

Решение

Когда велосипедист движется по наклонному треку (виражу), на него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности трека. Движение происходит по окружности, следовательно, равнодействующая этих сил должна создавать центростремительное ускорение $a_c = v^2/R$, направленное горизонтально к центру окружности.

Для решения задачи выберем систему координат: ось OX направим горизонтально к центру закругления трека, а ось OY — вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для велосипедиста в проекциях на эти оси.

Проекция на ось OY: Сумма сил в вертикальном направлении равна нулю, так как велосипедист не движется вверх или вниз. Вертикальная составляющая силы реакции опоры $N_y = N \cos(\alpha)$ уравновешивает силу тяжести $mg$. $N \cos(\alpha) - mg = 0$ Отсюда можно выразить силу реакции опоры: $N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$ (1)

Проекция на ось OX: Горизонтальная составляющая силы реакции опоры $N_x = N \sin(\alpha)$ является центростремительной силой. $N \sin(\alpha) = ma_c$ Подставив выражение для центростремительного ускорения $a_c = \frac{v^2}{R}$, получим: $N \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$ (2)

Теперь подставим выражение для $N$ из уравнения (1) в уравнение (2): $\frac{mg}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$

Упростим полученное выражение. Зная, что $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$, и сократив массу $m$, получаем: $g \tan(\alpha) = \frac{v^2}{R}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$: $v^2 = gR \tan(\alpha)$ $v = \sqrt{gR \tan(\alpha)}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу: $v = \sqrt{9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 40 \, \text{м} \cdot \tan(40^\circ)}$

Значение тангенса угла $40^\circ$ приблизительно равно $0.839$. $v \approx \sqrt{9.8 \cdot 40 \cdot 0.839} = \sqrt{392 \cdot 0.839} = \sqrt{328.888}$ $v \approx 18.14$ м/с

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: такой наклон рассчитан на скорость езды примерно 18,1 м/с.

301. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 100 м, если коэффициент трения резины о почву 0,4? На какой угол от вертикального положения он при этом отклоняется?

Дано:

$R = 100$ м
$\mu = 0,4$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{max}$ - ?
$\alpha$ - ?

Решение:

При движении мотоциклиста по дуге окружности на горизонтальной плоскости, центростремительное ускорение создается силой трения покоя между шинами и поверхностью дороги. Эта сила направлена к центру окружности.

По второму закону Ньютона, центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, равна:
$F_ц = \frac{mv^2}{R}$
где $m$ — масса мотоцикла с мотоциклистом, $v$ — скорость, $R$ — радиус дуги.

Эта сила не может превышать максимальную силу трения покоя, которая определяется как:
$F_{тр.макс} = \mu N$
где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры уравновешивает силу тяжести $mg$:
$N = mg$
Следовательно, $F_{тр.макс} = \mu mg$.

Для нахождения максимальной скорости $v_{max}$ приравняем центростремительную силу к максимальной силе трения:
$\frac{mv_{max}^2}{R} = \mu mg$

Сокращая массу $m$ с обеих сторон уравнения, получаем выражение для $v_{max}$:
$v_{max}^2 = \mu g R$
$v_{max} = \sqrt{\mu g R}$

Подставим числовые значения для вычисления максимальной скорости:
$v_{max} = \sqrt{0,4 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 100 \text{ м}} = \sqrt{400 \text{ м²/с²}} = 20 \text{ м/с}$

Теперь определим угол наклона мотоциклиста $\alpha$ от вертикали. Для сохранения равновесия при повороте, мотоциклист наклоняется к центру поворота. На него действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры, которую можно разложить на две составляющие: нормальную силу $N$ (вверх) и силу трения $F_{тр}$ (горизонтально, к центру поворота).

Угол наклона $\alpha$ определяется из условия, что равнодействующая сил $N$ и $F_{тр}$ направлена вдоль оси мотоциклиста. Тогда тангенс угла наклона к вертикали равен отношению силы трения к силе нормальной реакции:
$\tan(\alpha) = \frac{F_{тр}}{N}$

Сила трения обеспечивает центростремительное ускорение ($F_{тр} = \frac{mv^2}{R}$), а сила нормальной реакции уравновешивает силу тяжести ($N=mg$). Подставив это, получим:
$\tan(\alpha) = \frac{mv^2/R}{mg} = \frac{v^2}{gR}$

На максимальной скорости $v_{max}$ сила трения достигает своего максимального значения $F_{тр} = F_{тр.макс} = \mu N$. Поэтому можно записать:
$\tan(\alpha) = \frac{\mu N}{N} = \mu$

Отсюда находим угол наклона:
$\alpha = \arctan(\mu) = \arctan(0,4)$
$\alpha \approx 21,8°$

Ответ: максимальная скорость мотоциклиста может составлять 20 м/с, а угол отклонения от вертикали при этом будет равен приблизительно 21,8°.

302. Груз, подвешенный на нити длиной $l = 60$ см, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью $v$ движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол $\alpha = 30^\circ$?

Дано:

$l = 60 \text{ см}$

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$l = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Груз, движущийся по окружности в горизонтальной плоскости на нити, представляет собой конический маятник. На груз действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих двух сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, направленное горизонтально к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, $m\vec{a_c} = \vec{T} + m\vec{g}$.

Выберем систему координат: ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности. Спроецируем векторное уравнение на эти оси:

Проекция на ось $OY$: $T \cos(\alpha) - mg = 0 \implies T \cos(\alpha) = mg \quad (1)$

Проекция на ось $OX$: $T \sin(\alpha) = ma_c \quad (2)$

Центростремительное ускорение равно $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $v$ — искомая скорость груза, а $r$ — радиус окружности, по которой он движется. Из геометрии маятника следует, что радиус $r = l \sin(\alpha)$.

Подставим выражение для $a_c$ в уравнение (2): $T \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{r}$.

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{m v^2/r}{mg}$

После сокращения $T$ и $m$ получаем:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gr}$

Выразим отсюда квадрат скорости:

$v^2 = gr \tan(\alpha)$

Подставим в это выражение формулу для радиуса $r = l \sin(\alpha)$:

$v^2 = g(l \sin(\alpha))\tan(\alpha)$

Тогда скорость $v$ равна:

$v = \sqrt{gl \sin(\alpha) \tan(\alpha)}$

Теперь выполним вычисления, подставив известные значения:

$v = \sqrt{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) \cdot \tan(30^\circ)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0.5$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$v = \sqrt{9.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2.94 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{1.6974} \approx 1.303 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных ($l = 60$ см), получаем $v \approx 1.3$ м/с.

Ответ: $v \approx 1.3 \text{ м/с}$.