Страница 45 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

303*. На доске BA (рис. 40) укреплён на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии $d = 5$ см, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси OO'. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной $l = 8$ см отклонилась от вертикали на угол $\alpha = 40^{\circ}$?

Дано:

$d = 5$ см

$l = 8$ см

$\alpha = 40^\circ$

$d = 0,05$ м
$l = 0,08$ м

Найти:

$n$

Решение:

При равномерном вращении доски шарик отвеса движется по горизонтальной окружности. На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, направленное горизонтально к оси вращения $OO'$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси. Пусть ось $Y$ направлена вертикально вверх, а ось $X$ — горизонтально к оси вращения.

Проекция на ось $Y$: $T_y - mg = 0$, так как вертикального ускорения нет.

$T \cos \alpha = mg$ (1)

Проекция на ось $X$: $T_x = ma_c$.

$T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_c = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения, а $R$ — радиус окружности, по которой движется шарик.

Из геометрии системы (см. рис. 40) видно, что радиус вращения $R$ равен сумме расстояния $d$ от стойки до оси вращения и горизонтальной проекции длины нити $l \sin \alpha$.

$R = d + l \sin \alpha$

Подставим выражение для $a_c$ в уравнение (2):

$T \sin \alpha = m \omega^2 R = m \omega^2 (d + l \sin \alpha)$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (1), чтобы исключить массу $m$ и силу натяжения $T$:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m \omega^2 (d + l \sin \alpha)}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{\omega^2 (d + l \sin \alpha)}{g}$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой обращения $n$ (в Гц) соотношением $\omega = 2\pi n$. Подставим это в полученное выражение:

$\tan \alpha = \frac{(2\pi n)^2 (d + l \sin \alpha)}{g} = \frac{4\pi^2 n^2 (d + l \sin \alpha)}{g}$

Выразим отсюда частоту $n$:

$n^2 = \frac{g \tan \alpha}{4\pi^2 (d + l \sin \alpha)}$

$n = \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{4\pi^2 (d + l \sin \alpha)}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{d + l \sin \alpha}}$

Подставим числовые значения. Будем использовать $g \approx 9,8 \, м/с^2$.

$\sin 40^\circ \approx 0,643$

$\tan 40^\circ \approx 0,839$

$n = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8 \cdot 0,839}{0,05 + 0,08 \cdot 0,643}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{\frac{8,222}{0,05 + 0,0514}} = \frac{1}{6,28} \sqrt{\frac{8,222}{0,1014}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{81,08} \approx \frac{9,00}{6,28} \approx 1,43 \, Гц$

Ответ: частота обращения доски $n \approx 1,43$ Гц.

304. Найти силу упругости $F$ нити в момент, соответствующий рисунку 41, если масса груза равна $m = 100$ г, скорость движения $v = 2$ м/с, угол $\alpha = 60^\circ$, длина нити $l = 40$ см.

Рис. 41

Дано:

$m = 100 \text{ г}$
$v = 2 \text{ м/с}$
$\alpha = 60^\circ$
$l = 40 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$m = 0.1 \text{ кг}$
$l = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$F$

Решение:

На груз действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $F$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Груз движется по дуге окружности, следовательно, он обладает центростремительным ускорением $a_c$, направленным к центру окружности (вдоль нити).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль нити к центру окружности. За положительное направление выберем направление к центру.

$F - mg \cos(\alpha) = m a_c$

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{l}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$F - mg \cos(\alpha) = m \frac{v^2}{l}$

Выразим силу упругости $F$:

$F = mg \cos(\alpha) + m \frac{v^2}{l}$

Вынесем массу $m$ за скобки для удобства вычислений:

$F = m \left(g \cos(\alpha) + \frac{v^2}{l}\right)$

Подставим числовые значения в формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$F = 0.1 \cdot \left(9.8 \cdot \cos(60^\circ) + \frac{2^2}{0.4}\right)$

Так как $\cos(60^\circ) = 0.5$:

$F = 0.1 \cdot \left(9.8 \cdot 0.5 + \frac{4}{0.4}\right)$

$F = 0.1 \cdot (4.9 + 10)$

$F = 0.1 \cdot 14.9$

$F = 1.49 \text{ Н}$

Ответ: $F = 1.49 \text{ Н}$.

305. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,2 кг. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время движения?

Дано:

Масса первого груза, $m_1 = 0,3 \text{ кг}$
Масса второго груза, $m_2 = 0,2 \text{ кг}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение грузов, $a - ?$
Сила натяжения шнура, $T - ?$

Решение:

На грузы действуют сила тяжести (вниз) и сила натяжения шнура (вверх). Поскольку шнур и блок считаются идеальными (невесомыми и без трения), ускорение обоих грузов будет одинаковым по модулю, а сила натяжения шнура будет одинаковой по всей длине. Так как $m_1 > m_2$, груз $m_1$ будет опускаться, а груз $m_2$ — подниматься.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на вертикальную ось, направленную по движению каждого груза (вниз для $m_1$ и вверх для $m_2$).

Для первого, более тяжелого груза ($m_1$):
$m_1g - T = m_1a$

Для второго, более легкого груза ($m_2$):
$T - m_2g = m_2a$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $T$.

С каким ускорением движутся грузы?

Чтобы найти ускорение $a$, сложим два уравнения системы. Это позволит нам исключить неизвестную силу натяжения $T$:
$(m_1g - T) + (T - m_2g) = m_1a + m_2a$
$m_1g - m_2g = (m_1 + m_2)a$
Выразим из этого уравнения ускорение $a$:
$a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:
$a = \frac{(0,3 \text{ кг} - 0,2 \text{ кг}) \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,3 \text{ кг} + 0,2 \text{ кг}} = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,5 \text{ кг}} = \frac{0,98}{0,5} \text{ м/с}^2 = 1,96 \text{ м/с}^2$

Ответ: Ускорение грузов равно $1,96 \text{ м/с}^2$.

Какова сила натяжения шнура во время движения?

Теперь, зная ускорение, мы можем найти силу натяжения шнура $T$. Выразим ее из второго уравнения системы: $T - m_2g = m_2a$.
$T = m_2a + m_2g = m_2(a + g)$

Подставим числовые значения:
$T = 0,2 \text{ кг} \cdot (1,96 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2) = 0,2 \text{ кг} \cdot 11,76 \text{ м/с}^2 = 2,352 \text{ Н}$

Для проверки можно найти $T$ из первого уравнения: $T = m_1g - m_1a = m_1(g - a)$.
$T = 0,3 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 - 1,96 \text{ м/с}^2) = 0,3 \text{ кг} \cdot 7,84 \text{ м/с}^2 = 2,352 \text{ Н}$
Значения совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Сила натяжения шнура во время движения составляет $2,352 \text{ Н}$.

306. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами $m$ и $2m$. Какова будет сила натяжения нити, если:

а) поддерживать ладонью груз большей массы, не давая системе двигаться;

б) удерживать меньший груз;

в) освободить систему?

Дано:

Масса первого груза: $m_1 = m$
Масса второго груза: $m_2 = 2m$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Силу натяжения нити $T$ в случаях а), б), в).

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх. Будем считать нить и блок идеальными (невесомыми и без трения), поэтому сила натяжения $T$ будет одинакова по всей длине нити.

а) поддерживать ладонью груз большей массы, не давая системе двигаться

В этом случае система находится в равновесии, то есть ускорение всех ее частей равно нулю ($a=0$). Рассмотрим силы, действующие на меньший груз массой $m$. На него действуют сила тяжести $F_{g1} = mg$ (вниз) и сила натяжения нити $T_a$ (вверх). Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, получим:
$T_a - mg = 0$
Отсюда находим силу натяжения нити:
$T_a = mg$
Для проверки можно рассмотреть и второй груз массой $2m$. На него действуют сила тяжести $F_{g2} = 2mg$ (вниз), сила натяжения $T_a$ (вверх) и поддерживающая сила со стороны ладони $F_{л}$ (вверх). Условие равновесия для этого груза:
$T_a + F_{л} - 2mg = 0$
Подставив найденное значение $T_a = mg$, получим: $mg + F_{л} - 2mg = 0$, откуда $F_{л} = mg$. Результат не противоречив.

Ответ: $T = mg$.

б) удерживать меньший груз

Система снова находится в состоянии покоя ($a=0$). В этом случае больший груз массой $2m$ свободно висит на нити. Рассмотрим силы, действующие на него: сила тяжести $F_{g2} = 2mg$ (вниз) и сила натяжения нити $T_b$ (вверх). Условие равновесия для этого груза:
$T_b - 2mg = 0$
Отсюда находим силу натяжения нити:
$T_b = 2mg$
Чтобы система находилась в равновесии, к меньшему грузу должна быть приложена удерживающая сила $F_{у}$. Так как сила натяжения $T_b=2mg$ больше силы тяжести $mg$, удерживающая сила должна быть направлена вниз.

Ответ: $T = 2mg$.

в) освободить систему

Когда систему освобождают, она приходит в движение с ускорением $a$. Так как $2m > m$, груз большей массы будет двигаться вниз, а груз меньшей массы — вверх. Величина ускорения для обоих грузов будет одинаковой. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось (направим ее вверх для обоих грузов). Пусть сила натяжения нити в этом случае равна $T_c$.
Для груза массой $m$, движущегося вверх (проекция ускорения $a_1 = +a$):
$T_c - mg = ma$ (1)
Для груза массой $2m$, движущегося вниз (проекция ускорения $a_2 = -a$):
$T_c - 2mg = 2m(-a)$
$T_c - 2mg = -2ma$ (2)
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $T_c$ и $a$. Сложим уравнение (1) и (2), чтобы исключить $ma$:
$(T_c - mg) + (T_c - 2mg) = ma + (-2ma)$
Для решения относительно $T_c$ удобнее выразить $ma$ из первого уравнения ($ma = T_c - mg$) и подставить во второе:
$T_c - 2mg = -2(T_c - mg)$
$T_c - 2mg = -2T_c + 2mg$
$T_c + 2T_c = 2mg + 2mg$
$3T_c = 4mg$
$T_c = \frac{4}{3}mg$

Ответ: $T = \frac{4}{3}mg$.

307. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,34 кг. За 2 с после начала движения каждый груз прошёл путь 1,2 м. По данным опыта найти ускорение свободного падения.

Дано:

$m_1 = 0,3$ кг

$m_2 = 0,34$ кг

$t = 2$ с

$S = 1,2$ м

$v_0 = 0$ м/с

Найти:

$g$

Решение:

Данная система представляет собой машину Атвуда. Поскольку массы грузов различны ($m_2 > m_1$), система выйдет из равновесия и начнет двигаться с ускорением. Более тяжелый груз ($m_2$) будет опускаться, а более легкий ($m_1$) — подниматься. Так как нить нерастяжима, оба груза будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

1. Сначала найдем ускорение системы $a$ из кинематических данных. Грузы начинают движение из состояния покоя, следовательно, их начальная скорость $v_0 = 0$. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, описывается формулой:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид:

$S = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $a$:

$a = \frac{2S}{t^2}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{2 \cdot 1,2 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{2,4 \text{ м}}{4 \text{ с}^2} = 0,6 \text{ м/с}^2$

2. Теперь применим второй закон Ньютона для каждого груза. На каждый груз действуют сила тяжести (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Запишем уравнения движения в проекции на вертикальную ось. Для удобства направим ось для каждого груза в сторону его движения.

Для легкого груза $m_1$ (движется вверх):

$T - m_1g = m_1a$

Для тяжелого груза $m_2$ (движется вниз):

$m_2g - T = m_2a$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными ($T$ и $g$, так как $a$ мы уже нашли).

$\begin{cases} T - m_1g = m_1a \\ m_2g - T = m_2a \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить силу натяжения нити $T$:

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$

$g(m_2 - m_1) = (m_1 + m_2)a$

Выразим из этого соотношения искомое ускорение свободного падения $g$:

$g = a \frac{m_1 + m_2}{m_2 - m_1}$

3. Подставим в полученную формулу числовые значения:

$g = 0,6 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,3 \text{ кг} + 0,34 \text{ кг}}{0,34 \text{ кг} - 0,3 \text{ кг}}$

$g = 0,6 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,64 \text{ кг}}{0,04 \text{ кг}}$

$g = 0,6 \cdot 16 \text{ м/с}^2 = 9,6 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения равно $9,6 \text{ м/с}^2$.

308. Вертолёт, масса которого $27,2\text{ т}$, поднимает на тросах вертикально вверх груз массой $15,3\text{ т}$ с ускорением $0,6\text{ м/с}^2$. Найти силу тяги вертолёта и силу, действующую со стороны груза на прицепной механизм вертолёта.

Дано:

Масса вертолёта $m_в = 27,2$ т = $27200$ кг
Масса груза $m_г = 15,3$ т = $15300$ кг
Ускорение $a = 0,6$ м/с²
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Силу тяги вертолёта $F_{тяги}$ — ?
Силу, действующую со стороны груза на прицепной механизм вертолёта $P$ — ?

Решение:

Найти силу тяги вертолёта

Для нахождения силы тяги вертолёта рассмотрим систему, состоящую из вертолёта и груза, как единое целое. Общая масса системы равна $M = m_в + m_г$. На эту систему действуют две силы в вертикальном направлении: сила тяги винтов вертолёта $F_{тяги}$, направленная вверх, и суммарная сила тяжести $F_{тяж} = M g = (m_в + m_г)g$, направленная вниз. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы системы на её ускорение. Так как система движется с ускорением $a$ вверх, запишем уравнение в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $F_{тяги} - (m_в + m_г)g = (m_в + m_г)a$

Выразим из этого уравнения силу тяги: $F_{тяги} = (m_в + m_г)a + (m_в + m_г)g = (m_в + m_г)(a + g)$

Подставим числовые значения и произведём расчёт: $F_{тяги} = (27200 \text{ кг} + 15300 \text{ кг}) \cdot (0,6 \text{ м/с²} + 9,8 \text{ м/с²}) = 42500 \text{ кг} \cdot 10,4 \text{ м/с²} = 442000 \text{ Н}$

Переведём результат в килоньютоны: $442000 \text{ Н} = 442 \text{ кН}$.

Ответ: сила тяги вертолёта равна $442$ кН.

Найти силу, действующую со стороны груза на прицепной механизм вертолёта

Сила, с которой груз действует на прицепной механизм вертолёта, — это вес груза $P$ при движении с ускорением. Согласно третьему закону Ньютона, эта сила по модулю равна силе натяжения троса $T$, которая действует на груз со стороны вертолёта. Чтобы найти силу натяжения троса $T$, применим второй закон Ньютона к грузу. На груз действуют сила натяжения троса $T$ (вверх) и сила тяжести груза $m_г g$ (вниз). Уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $T - m_г g = m_г a$

Выразим из этого уравнения силу натяжения троса $T$: $T = m_г a + m_г g = m_г (a + g)$

Так как $P = T$, подставим числовые значения и вычислим эту силу: $P = 15300 \text{ кг} \cdot (0,6 \text{ м/с²} + 9,8 \text{ м/с²}) = 15300 \text{ кг} \cdot 10,4 \text{ м/с²} = 159120 \text{ Н}$

Переведём результат в килоньютоны и округлим до трёх значащих цифр: $159120 \text{ Н} \approx 159 \text{ кН}$.

Ответ: сила, действующая со стороны груза на прицепной механизм вертолёта, равна примерно $159$ кН.

309. Маневровый тепловоз массой 100 т тянет два вагона массой по 50 т каждый с ускорением $0,1 \text{ м/с}^2$. Найти силу тяги тепловоза и силу натяжения сцепок, если коэффициент сопротивления движению равен 0,006.

Дано:

Найти:

$F_{тяги}$ - силу тяги тепловоза

$T_1$, $T_2$ - силы натяжения сцепок

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для всей системы (тепловоз и два вагона). Общая масса системы:

$M = m_т + 2 \cdot m_в = 100000 \text{ кг} + 2 \cdot 50000 \text{ кг} = 200000 \text{ кг}$

На весь состав действуют: сила тяги $F_{тяги}$ (вперед) и общая сила сопротивления $F_{сопр}$ (назад). Сила сопротивления движению вычисляется по формуле $F_{сопр} = \mu \cdot N$, где $N$ - сила нормальной реакции. На горизонтальной поверхности $N$ равна силе тяжести $Mg$.

Общая сила сопротивления для всего состава:

$F_{сопр} = \mu \cdot M \cdot g = 0,006 \cdot 200000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} = 11760 \text{ Н}$

Второй закон Ньютона для всего состава в проекции на ось движения:

$M \cdot a = F_{тяги} - F_{сопр}$

Силу тяги тепловоза

Из уравнения выше выразим и найдем силу тяги тепловоза:

$F_{тяги} = M \cdot a + F_{сопр}$

$F_{тяги} = 200000 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с²} + 11760 \text{ Н} = 20000 \text{ Н} + 11760 \text{ Н} = 31760 \text{ Н}$

Для удобства можно перевести в килоньютоны: $31760 \text{ Н} = 31,76 \text{ кН}$.

Ответ: сила тяги тепловоза равна $31760 \text{ Н}$ (или $31,76 \text{ кН}$).

Силу натяжения сцепок

В составе две сцепки: первая ($T_1$) между тепловозом и первым вагоном, и вторая ($T_2$) между первым и вторым вагонами. Найдем силу натяжения для каждой.

Для нахождения силы натяжения первой сцепки ($T_1$) применим второй закон Ньютона к системе из двух вагонов. Масса этой системы $M_{вагонов} = 2 \cdot m_в = 100000 \text{ кг}$. На эту систему действует сила $T_1$ и сила сопротивления двух вагонов.

$F_{сопр.вагонов} = \mu \cdot M_{вагонов} \cdot g = 0,006 \cdot 100000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} = 5880 \text{ Н}$

Уравнение движения для двух вагонов:

$M_{вагонов} \cdot a = T_1 - F_{сопр.вагонов}$

$T_1 = M_{вагонов} \cdot a + F_{сопр.вагонов} = 100000 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с²} + 5880 \text{ Н} = 10000 \text{ Н} + 5880 \text{ Н} = 15880 \text{ Н}$

Для нахождения силы натяжения второй сцепки ($T_2$) применим второй закон Ньютона к последнему вагону. Его масса $m_в = 50000 \text{ кг}$. На него действует сила $T_2$ и сила сопротивления одного вагона.

$F_{сопр.2} = \mu \cdot m_в \cdot g = 0,006 \cdot 50000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} = 2940 \text{ Н}$

Уравнение движения для последнего вагона:

$m_в \cdot a = T_2 - F_{сопр.2}$

$T_2 = m_в \cdot a + F_{сопр.2} = 50000 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с²} + 2940 \text{ Н} = 5000 \text{ Н} + 2940 \text{ Н} = 7940 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения сцепки между тепловозом и первым вагоном $T_1 = 15880 \text{ Н}$ (или $15,88 \text{ кН}$); сила натяжения сцепки между вагонами $T_2 = 7940 \text{ Н}$ (или $7,94 \text{ кН}$).