Номер 303, страница 45 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

303*. На доске BA (рис. 40) укреплён на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии $d = 5$ см, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси OO'. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной $l = 8$ см отклонилась от вертикали на угол $\alpha = 40^{\circ}$?

Дано:

$d = 5$ см

$l = 8$ см

$\alpha = 40^\circ$

$d = 0,05$ м
$l = 0,08$ м

Найти:

$n$

Решение:

При равномерном вращении доски шарик отвеса движется по горизонтальной окружности. На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, направленное горизонтально к оси вращения $OO'$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси. Пусть ось $Y$ направлена вертикально вверх, а ось $X$ — горизонтально к оси вращения.

Проекция на ось $Y$: $T_y - mg = 0$, так как вертикального ускорения нет.

$T \cos \alpha = mg$ (1)

Проекция на ось $X$: $T_x = ma_c$.

$T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_c = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения, а $R$ — радиус окружности, по которой движется шарик.

Из геометрии системы (см. рис. 40) видно, что радиус вращения $R$ равен сумме расстояния $d$ от стойки до оси вращения и горизонтальной проекции длины нити $l \sin \alpha$.

$R = d + l \sin \alpha$

Подставим выражение для $a_c$ в уравнение (2):

$T \sin \alpha = m \omega^2 R = m \omega^2 (d + l \sin \alpha)$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (1), чтобы исключить массу $m$ и силу натяжения $T$:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m \omega^2 (d + l \sin \alpha)}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{\omega^2 (d + l \sin \alpha)}{g}$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой обращения $n$ (в Гц) соотношением $\omega = 2\pi n$. Подставим это в полученное выражение:

$\tan \alpha = \frac{(2\pi n)^2 (d + l \sin \alpha)}{g} = \frac{4\pi^2 n^2 (d + l \sin \alpha)}{g}$

Выразим отсюда частоту $n$:

$n^2 = \frac{g \tan \alpha}{4\pi^2 (d + l \sin \alpha)}$

$n = \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{4\pi^2 (d + l \sin \alpha)}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{d + l \sin \alpha}}$

Подставим числовые значения. Будем использовать $g \approx 9,8 \, м/с^2$.

$\sin 40^\circ \approx 0,643$

$\tan 40^\circ \approx 0,839$

$n = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8 \cdot 0,839}{0,05 + 0,08 \cdot 0,643}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{\frac{8,222}{0,05 + 0,0514}} = \frac{1}{6,28} \sqrt{\frac{8,222}{0,1014}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{81,08} \approx \frac{9,00}{6,28} \approx 1,43 \, Гц$

Ответ: частота обращения доски $n \approx 1,43$ Гц.