Номер 301, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

301. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 100 м, если коэффициент трения резины о почву 0,4? На какой угол от вертикального положения он при этом отклоняется?

Дано:

$R = 100$ м
$\mu = 0,4$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{max}$ - ?
$\alpha$ - ?

Решение:

При движении мотоциклиста по дуге окружности на горизонтальной плоскости, центростремительное ускорение создается силой трения покоя между шинами и поверхностью дороги. Эта сила направлена к центру окружности.

По второму закону Ньютона, центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, равна:
$F_ц = \frac{mv^2}{R}$
где $m$ — масса мотоцикла с мотоциклистом, $v$ — скорость, $R$ — радиус дуги.

Эта сила не может превышать максимальную силу трения покоя, которая определяется как:
$F_{тр.макс} = \mu N$
где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры уравновешивает силу тяжести $mg$:
$N = mg$
Следовательно, $F_{тр.макс} = \mu mg$.

Для нахождения максимальной скорости $v_{max}$ приравняем центростремительную силу к максимальной силе трения:
$\frac{mv_{max}^2}{R} = \mu mg$

Сокращая массу $m$ с обеих сторон уравнения, получаем выражение для $v_{max}$:
$v_{max}^2 = \mu g R$
$v_{max} = \sqrt{\mu g R}$

Подставим числовые значения для вычисления максимальной скорости:
$v_{max} = \sqrt{0,4 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 100 \text{ м}} = \sqrt{400 \text{ м²/с²}} = 20 \text{ м/с}$

Теперь определим угол наклона мотоциклиста $\alpha$ от вертикали. Для сохранения равновесия при повороте, мотоциклист наклоняется к центру поворота. На него действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры, которую можно разложить на две составляющие: нормальную силу $N$ (вверх) и силу трения $F_{тр}$ (горизонтально, к центру поворота).

Угол наклона $\alpha$ определяется из условия, что равнодействующая сил $N$ и $F_{тр}$ направлена вдоль оси мотоциклиста. Тогда тангенс угла наклона к вертикали равен отношению силы трения к силе нормальной реакции:
$\tan(\alpha) = \frac{F_{тр}}{N}$

Сила трения обеспечивает центростремительное ускорение ($F_{тр} = \frac{mv^2}{R}$), а сила нормальной реакции уравновешивает силу тяжести ($N=mg$). Подставив это, получим:
$\tan(\alpha) = \frac{mv^2/R}{mg} = \frac{v^2}{gR}$

На максимальной скорости $v_{max}$ сила трения достигает своего максимального значения $F_{тр} = F_{тр.макс} = \mu N$. Поэтому можно записать:
$\tan(\alpha) = \frac{\mu N}{N} = \mu$

Отсюда находим угол наклона:
$\alpha = \arctan(\mu) = \arctan(0,4)$
$\alpha \approx 21,8°$

Ответ: максимальная скорость мотоциклиста может составлять 20 м/с, а угол отклонения от вертикали при этом будет равен приблизительно 21,8°.