Номер 300, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

300. Велотрек имеет закругление радиусом 40 м. В этом месте он наклонен на 40° к горизонту. На какую скорость езды рассчитан такой наклон?

Дано

Радиус закругления велотрека, $R = 40$ м
Угол наклона к горизонту, $\alpha = 40^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Скорость, $v$ - ?

Решение

Когда велосипедист движется по наклонному треку (виражу), на него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности трека. Движение происходит по окружности, следовательно, равнодействующая этих сил должна создавать центростремительное ускорение $a_c = v^2/R$, направленное горизонтально к центру окружности.

Для решения задачи выберем систему координат: ось OX направим горизонтально к центру закругления трека, а ось OY — вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для велосипедиста в проекциях на эти оси.

Проекция на ось OY: Сумма сил в вертикальном направлении равна нулю, так как велосипедист не движется вверх или вниз. Вертикальная составляющая силы реакции опоры $N_y = N \cos(\alpha)$ уравновешивает силу тяжести $mg$. $N \cos(\alpha) - mg = 0$ Отсюда можно выразить силу реакции опоры: $N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$ (1)

Проекция на ось OX: Горизонтальная составляющая силы реакции опоры $N_x = N \sin(\alpha)$ является центростремительной силой. $N \sin(\alpha) = ma_c$ Подставив выражение для центростремительного ускорения $a_c = \frac{v^2}{R}$, получим: $N \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$ (2)

Теперь подставим выражение для $N$ из уравнения (1) в уравнение (2): $\frac{mg}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$

Упростим полученное выражение. Зная, что $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$, и сократив массу $m$, получаем: $g \tan(\alpha) = \frac{v^2}{R}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$: $v^2 = gR \tan(\alpha)$ $v = \sqrt{gR \tan(\alpha)}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу: $v = \sqrt{9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 40 \, \text{м} \cdot \tan(40^\circ)}$

Значение тангенса угла $40^\circ$ приблизительно равно $0.839$. $v \approx \sqrt{9.8 \cdot 40 \cdot 0.839} = \sqrt{392 \cdot 0.839} = \sqrt{328.888}$ $v \approx 18.14$ м/с

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: такой наклон рассчитан на скорость езды примерно 18,1 м/с.