Номер 306, страница 45 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

306. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами $m$ и $2m$. Какова будет сила натяжения нити, если:

а) поддерживать ладонью груз большей массы, не давая системе двигаться;

б) удерживать меньший груз;

в) освободить систему?

Дано:

Масса первого груза: $m_1 = m$
Масса второго груза: $m_2 = 2m$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Силу натяжения нити $T$ в случаях а), б), в).

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх. Будем считать нить и блок идеальными (невесомыми и без трения), поэтому сила натяжения $T$ будет одинакова по всей длине нити.

а) поддерживать ладонью груз большей массы, не давая системе двигаться

В этом случае система находится в равновесии, то есть ускорение всех ее частей равно нулю ($a=0$). Рассмотрим силы, действующие на меньший груз массой $m$. На него действуют сила тяжести $F_{g1} = mg$ (вниз) и сила натяжения нити $T_a$ (вверх). Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, получим:
$T_a - mg = 0$
Отсюда находим силу натяжения нити:
$T_a = mg$
Для проверки можно рассмотреть и второй груз массой $2m$. На него действуют сила тяжести $F_{g2} = 2mg$ (вниз), сила натяжения $T_a$ (вверх) и поддерживающая сила со стороны ладони $F_{л}$ (вверх). Условие равновесия для этого груза:
$T_a + F_{л} - 2mg = 0$
Подставив найденное значение $T_a = mg$, получим: $mg + F_{л} - 2mg = 0$, откуда $F_{л} = mg$. Результат не противоречив.

Ответ: $T = mg$.

б) удерживать меньший груз

Система снова находится в состоянии покоя ($a=0$). В этом случае больший груз массой $2m$ свободно висит на нити. Рассмотрим силы, действующие на него: сила тяжести $F_{g2} = 2mg$ (вниз) и сила натяжения нити $T_b$ (вверх). Условие равновесия для этого груза:
$T_b - 2mg = 0$
Отсюда находим силу натяжения нити:
$T_b = 2mg$
Чтобы система находилась в равновесии, к меньшему грузу должна быть приложена удерживающая сила $F_{у}$. Так как сила натяжения $T_b=2mg$ больше силы тяжести $mg$, удерживающая сила должна быть направлена вниз.

Ответ: $T = 2mg$.

в) освободить систему

Когда систему освобождают, она приходит в движение с ускорением $a$. Так как $2m > m$, груз большей массы будет двигаться вниз, а груз меньшей массы — вверх. Величина ускорения для обоих грузов будет одинаковой. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось (направим ее вверх для обоих грузов). Пусть сила натяжения нити в этом случае равна $T_c$.
Для груза массой $m$, движущегося вверх (проекция ускорения $a_1 = +a$):
$T_c - mg = ma$ (1)
Для груза массой $2m$, движущегося вниз (проекция ускорения $a_2 = -a$):
$T_c - 2mg = 2m(-a)$
$T_c - 2mg = -2ma$ (2)
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $T_c$ и $a$. Сложим уравнение (1) и (2), чтобы исключить $ma$:
$(T_c - mg) + (T_c - 2mg) = ma + (-2ma)$
Для решения относительно $T_c$ удобнее выразить $ma$ из первого уравнения ($ma = T_c - mg$) и подставить во второе:
$T_c - 2mg = -2(T_c - mg)$
$T_c - 2mg = -2T_c + 2mg$
$T_c + 2T_c = 2mg + 2mg$
$3T_c = 4mg$
$T_c = \frac{4}{3}mg$

Ответ: $T = \frac{4}{3}mg$.