Номер 312, страница 46 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

312*. С каким ускорением $a$ движется система, изображённая на рисунке 43, если $m = 1 \text{ кг}$ и коэффициент трения $\mu = 0,2$? Какова сила натяжения нити $F_{\text{н}1}$, связывающей тела I и II, и сила натяжения нити $F_{\text{н}2}$, связывающей тела II и III?

Рис. 43

Дано:

Масса тела I: $m_1 = m = 1$ кг
Масса тела II: $m_2 = m = 1$ кг
Масса тела III: $m_3 = 2m = 2 \cdot 1 = 2$ кг
Коэффициент трения скольжения: $μ = 0,2$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$a - ?$ (ускорение системы)
$F_{н1} - ?$ (сила натяжения нити между телами I и II)
$F_{н2} - ?$ (сила натяжения нити между телами II и III)

Решение:

На систему тел действуют силы тяжести и сила трения. Так как сила тяжести, действующая на тело III ($P_3 = m_3 g = 2mg$), больше силы тяжести, действующей на тело I ($P_1 = m_1 g = mg$), то тело III будет опускаться вниз, увлекая за собой тело II вправо, а тело I будет подниматься вверх. Предполагая нити невесомыми и нерастяжимыми, а блоки идеальными (без массы и трения), все три тела будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекции на направление их движения.

1. Для тела I (массой $m$), движущегося вертикально вверх:

$m\vec{a} = \vec{F}_{н1} + m\vec{g}$

В проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$ma = F_{н1} - mg$ (1)

2. Для тела III (массой $2m$), движущегося вертикально вниз:

$2m\vec{a} = \vec{F}_{н2} + 2m\vec{g}$

В проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$2ma = 2mg - F_{н2}$ (2)

3. Для тела II (массой $m$), движущегося горизонтально вправо:

$m\vec{a} = \vec{F}_{н2} + \vec{F}_{н1} + \vec{F}_{тр} + \vec{N} + m\vec{g}$

В проекции на горизонтальную ось OX, направленную вправо:

$ma = F_{н2} - F_{н1} - F_{тр}$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна $F_{тр} = \mu N$. Из проекции на вертикальную ось для тела II ($OY: 0 = N - mg$) следует, что сила нормальной реакции опоры $N=mg$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение движения для тела II:

$ma = F_{н2} - F_{н1} - \mu mg$ (3)

С каким ускорением a движется система

Для нахождения ускорения $a$ решим систему уравнений (1), (2) и (3). Для этого выразим силы натяжения $F_{н1}$ и $F_{н2}$ из уравнений (1) и (2) и подставим их в уравнение (3).

Из (1): $F_{н1} = ma + mg$

Из (2): $F_{н2} = 2mg - 2ma$

Подставляем полученные выражения в уравнение (3):

$ma = (2mg - 2ma) - (ma + mg) - \mu mg$

$ma = 2mg - 2ma - ma - mg - \mu mg$

Теперь соберем все слагаемые, содержащие ускорение $a$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$ma + 2ma + ma = 2mg - mg - \mu mg$

$4ma = mg - \mu mg$

$4ma = mg(1 - \mu)$

Сокращаем на массу $m$ и выражаем ускорение $a$:

$a = \frac{g(1 - \mu)}{4}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8 \text{ м/с²} \cdot (1 - 0,2)}{4} = \frac{9,8 \cdot 0,8}{4} = \frac{7,84}{4} = 1,96 \text{ м/с²}$

Ответ: $a = 1,96$ м/с².

Какова сила натяжения нити F_н1, связывающей тела I и II

Силу натяжения $F_{н1}$ найдем из уравнения (1), подставив в него найденное значение ускорения $a$.

$F_{н1} = m(a + g)$

$F_{н1} = 1 \text{ кг} \cdot (1,96 \text{ м/с²} + 9,8 \text{ м/с²}) = 1 \cdot 11,76 = 11,76 \text{ Н}$

Ответ: $F_{н1} = 11,76$ Н.

и сила натяжения нити F_н2, связывающей тела II и III

Силу натяжения $F_{н2}$ найдем из уравнения (2), подставив в него значение ускорения $a$.

$F_{н2} = 2m(g - a)$

$F_{н2} = 2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с²} - 1,96 \text{ м/с²}) = 2 \cdot 7,84 = 15,68 \text{ Н}$

Ответ: $F_{н2} = 15,68$ Н.