Страница 51 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

350. Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной 2 м и массой 100 кг поставить вертикально?

Дано:

Длина однородного стержня $L = 2$ м

Масса стержня $m = 100$ кг

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Работу $A$.

Решение:

Работа, которую необходимо совершить для поднятия тела в поле тяжести, равна изменению его потенциальной энергии (при условии, что кинетическая энергия тела в начале и в конце равна нулю).

Работа вычисляется по формуле:

$A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

где $E_{p1}$ — начальная потенциальная энергия стержня, а $E_{p2}$ — его конечная потенциальная энергия.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли определяется как $E_p = mgh$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$), а $h$ — высота центра масс тела над нулевым уровнем.

Примем поверхность земли за нулевой уровень высоты ($h=0$).

1. Начальное состояние: стержень лежит на земле. Так как стержень однородный, его центр масс находится в его геометрическом центре. Когда стержень лежит на земле, высота его центра масс над нулевым уровнем равна нулю (пренебрегая толщиной стержня). Следовательно, начальная высота центра масс $h_1 = 0$.

Начальная потенциальная энергия стержня:

$E_{p1} = mgh_1 = 100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0 \text{ м} = 0 \text{ Дж}$

2. Конечное состояние: стержень стоит вертикально. В этом положении центр масс стержня находится на середине его длины $L$.

Конечная высота центра масс:

$h_2 = \frac{L}{2} = \frac{2 \text{ м}}{2} = 1 \text{ м}$

Конечная потенциальная энергия стержня:

$E_{p2} = mgh_2 = 100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} = 980 \text{ Дж}$

3. Работа: Теперь мы можем вычислить работу как разность конечной и начальной потенциальной энергии.

$A = E_{p2} - E_{p1} = 980 \text{ Дж} - 0 \text{ Дж} = 980 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы поставить стержень вертикально, надо совершить работу $980$ Дж.

351. На рисунке 46 приведён график зависимости удлинения пружины от растягивающей силы. Определить потенциальную энергию пружины, растянутой на 8 см. Указать физический смысл тангенса угла $\alpha$ и площади треугольника под участком 0А графика.

Определение потенциальной энергии пружины, растянутой на 8 см

Дано:

График зависимости растягивающей силы $F_x$ от удлинения пружины $x$.
Удлинение пружины $x_1 = 8$ см.

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Потенциальную энергию пружины $E_p$.

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле: $E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её удлинение.

Жёсткость пружины $k$ можно определить из графика. Согласно закону Гука, $F_x = kx$. Следовательно, жёсткость является коэффициентом пропорциональности между силой и удлинением. На графике она равна тангенсу угла наклона прямой к оси удлинения.

Выберем на графике точку А, соответствующую максимальному растяжению. Её координаты: $x_A = 10$ см и $F_{xA} = 1000$ Н.

Переведём удлинение в СИ: $x_A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Рассчитаем жёсткость пружины: $k = \frac{F_{xA}}{x_A} = \frac{1000 \text{ Н}}{0.1 \text{ м}} = 10000 \text{ Н/м}$.

Теперь можем найти потенциальную энергию пружины, растянутой на $x_1 = 8$ см ($0.08$ м): $E_p = \frac{k x_1^2}{2} = \frac{10000 \text{ Н/м} \cdot (0.08 \text{ м})^2}{2} = \frac{10000 \cdot 0.0064}{2} = \frac{64}{2} = 32 \text{ Дж}$.

Ответ: потенциальная энергия пружины, растянутой на 8 см, равна 32 Дж.

Физический смысл тангенса угла α

Тангенс угла наклона $\alpha$ графика к оси удлинений ($x$) определяется как отношение противолежащего катета (изменение силы $\Delta F_x$) к прилежащему катету (изменение удлинения $\Delta x$): $\tan \alpha = \frac{\Delta F_x}{\Delta x}$.

Это отношение, согласно закону Гука ($F_x = kx$), является коэффициентом жёсткости пружины $k$. Таким образом, тангенс угла наклона графика к оси абсцисс численно равен жёсткости пружины. Он показывает, какую силу необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на единицу длины.

Ответ: физический смысл тангенса угла $\alpha$ – это жёсткость пружины ($k$).

Физический смысл площади треугольника под участком 0А графика

Площадь фигуры под графиком зависимости силы от перемещения (в данном случае удлинения) численно равна работе, совершаемой этой силой.

Площадь прямоугольного треугольника под участком 0А равна $S = \frac{1}{2} \cdot x_A \cdot F_{xA}$, где $x_A$ и $F_{xA}$ – удлинение и сила в точке А. Эта площадь представляет собой работу $W$ внешней силы по растяжению пружины от состояния покоя до удлинения $x_A$.

Согласно закону сохранения энергии, работа, совершённая над пружиной, переходит в её потенциальную энергию. Таким образом, площадь треугольника под графиком 0А представляет собой потенциальную энергию $E_p$, запасённую в пружине при её растяжении на величину $x_A$.

Ответ: физический смысл площади треугольника под участком 0А – это работа внешней силы по растяжению пружины, которая равна потенциальной энергии, запасенной пружиной при ее растяжении на величину, соответствующую точке А.

352. К концу сжатия пружины детского пружинного пистолета на 3 см приложенная к ней сила была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой пружины.

Дано:

Величина сжатия пружины $\Delta x = 3$ см

Приложенная сила $F = 20$ Н

Перевод данных в систему СИ:

$\Delta x = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Потенциальную энергию сжатой пружины $E_p$.

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела, такого как пружина, определяется по формуле:

$E_p = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$

где $k$ – это жесткость пружины, а $\Delta x$ – величина ее деформации (в данном случае, сжатия).

Сила упругости, возникающая в пружине при деформации, описывается законом Гука:

$F = k \Delta x$

Из условия задачи нам дана сила $F$, приложенная к пружине при ее максимальном сжатии на величину $\Delta x$. По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю силе упругости.

Из закона Гука мы можем выразить коэффициент жесткости пружины $k$:

$k = \frac{F}{\Delta x}$

Теперь подставим полученное выражение для $k$ в формулу для потенциальной энергии:

$E_p = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{F}{\Delta x}\right) \cdot (\Delta x)^2 = \frac{F \Delta x}{2}$

Эта формула позволяет нам рассчитать потенциальную энергию, используя только данные из условия задачи. Подставим числовые значения (в системе СИ):

$E_p = \frac{20 \text{ Н} \cdot 0.03 \text{ м}}{2} = \frac{0.6 \text{ Дж}}{2} = 0.3 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия сжатой пружины равна $0.3$ Дж.

353. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину жёсткостью $40 \, \text{кН/м}$ на $0,5 \, \text{см}$?

Дано:

Переведем данные в систему СИ:

Найти:

Решение:

Работа, которую необходимо совершить для растяжения пружины, равна потенциальной энергии, которую приобретет пружина в результате этого растяжения. Предполагается, что начальное растяжение пружины равно нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле:

$E_п = \frac{kx^2}{2}$

Работа $A$ будет равна этой потенциальной энергии:

$A = E_п = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её удлинение.

Подставим значения в систему СИ в формулу и произведем вычисления:

$A = \frac{40000 \text{ Н/м} \cdot (0,005 \text{ м})^2}{2} = \frac{40000 \cdot 0,000025}{2} \text{ Дж}$

$A = \frac{1}{2} \text{ Дж} = 0,5 \text{ Дж}$

Ответ: для того чтобы растянуть пружину, надо совершить работу, равную 0,5 Дж.

354. Для растяжения пружины на 4 мм необходимо совершить работу 0,02 Дж. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см?

Дано:
Растяжение пружины в первом случае, $x_1 = 4$ мм
Работа, совершенная в первом случае, $A_1 = 0,02$ Дж
Растяжение пружины во втором случае, $x_2 = 4$ см

Переведем все величины в систему СИ:
$x_1 = 4 \text{ мм} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,004 \text{ м}$
$x_2 = 4 \text{ см} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,04 \text{ м}$
$A_1 = 0,02 \text{ Дж}$

Найти:
Работу, которую надо совершить во втором случае, $A_2$.

Решение:
Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна изменению ее потенциальной энергии. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле закона Гука:
$A = E_p = \frac{kx^2}{2}$
где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее растяжение (удлинение).

Для первого случая можем записать:
$A_1 = \frac{kx_1^2}{2}$

Для второго случая:
$A_2 = \frac{kx_2^2}{2}$

Поскольку пружина одна и та же, ее жесткость $k$ в обоих случаях одинакова. Мы можем найти отношение работы во втором случае к работе в первом, разделив второе уравнение на первое:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{\frac{kx_2^2}{2}}{\frac{kx_1^2}{2}}$

Сократив одинаковые множители $\frac{k}{2}$, получим, что работа пропорциональна квадрату растяжения:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{x_2^2}{x_1^2} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$

Из этого соотношения выразим искомую работу $A_2$:
$A_2 = A_1 \cdot \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Рассчитаем отношение растяжений:
$\frac{x_2}{x_1} = \frac{0,04 \text{ м}}{0,004 \text{ м}} = 10$
Теперь рассчитаем работу $A_2$:
$A_2 = 0,02 \text{ Дж} \cdot (10)^2 = 0,02 \text{ Дж} \cdot 100 = 2 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы растянуть пружину на 4 см, надо совершить работу 2 Дж.

355. Сравнить работы, которые совершает человек, растягивая пружину динамометра от 0 до 10 Н, от 10 до 20 Н, от 20 до 30 Н.

Дано:

Растяжение пружины динамометра происходит на трех участках с изменением силы:

Участок 1: от $F_0 = 0$ Н до $F_1 = 10$ Н

Участок 2: от $F_1 = 10$ Н до $F_2 = 20$ Н

Участок 3: от $F_2 = 20$ Н до $F_3 = 30$ Н

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Сравнить работы $A_1, A_2, A_3$, совершаемые человеком на каждом из трех участков.

Решение:

Работа, совершаемая человеком при растяжении пружины, идет на увеличение ее потенциальной энергии. Сила, которую прикладывает человек, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости пружины. Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна удлинению пружины: $F = kx$, где $k$ – жесткость пружины, а $x$ – ее удлинение.

Работа переменной силы при растяжении пружины от удлинения $x_{начальное}$ до $x_{конечное}$ равна изменению потенциальной энергии пружины:

$A = \Delta E_p = E_{p, конечное} - E_{p, начальное} = \frac{k x_{конечное}^2}{2} - \frac{k x_{начальное}^2}{2}$

Выразим удлинение $x$ через силу $F$ из закона Гука: $x = \frac{F}{k}$. Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = \frac{k (\frac{F_{конечная}}{k})^2}{2} - \frac{k (\frac{F_{начальная}}{k})^2}{2} = \frac{F_{конечная}^2}{2k} - \frac{F_{начальная}^2}{2k}$

Теперь рассчитаем работу для каждого из заданных интервалов сил.

от 0 до 10 Н

Работа $A_1$, совершаемая при растяжении пружины, когда приложенная сила изменяется от $F_0 = 0$ Н до $F_1 = 10$ Н:

$A_1 = \frac{F_1^2 - F_0^2}{2k} = \frac{10^2 - 0^2}{2k} = \frac{100}{2k} = \frac{50}{k}$

от 10 до 20 Н

Работа $A_2$, совершаемая при растяжении пружины, когда приложенная сила изменяется от $F_1 = 10$ Н до $F_2 = 20$ Н:

$A_2 = \frac{F_2^2 - F_1^2}{2k} = \frac{20^2 - 10^2}{2k} = \frac{400 - 100}{2k} = \frac{300}{2k} = \frac{150}{k}$

от 20 до 30 Н

Работа $A_3$, совершаемая при растяжении пружины, когда приложенная сила изменяется от $F_2 = 20$ Н до $F_3 = 30$ Н:

$A_3 = \frac{F_3^2 - F_2^2}{2k} = \frac{30^2 - 20^2}{2k} = \frac{900 - 400}{2k} = \frac{500}{2k} = \frac{250}{k}$

Теперь сравним полученные значения работ:

$A_1 = \frac{50}{k}$

$A_2 = \frac{150}{k} = 3 \cdot (\frac{50}{k}) = 3A_1$

$A_3 = \frac{250}{k} = 5 \cdot (\frac{50}{k}) = 5A_1$

Таким образом, мы видим, что $A_1 < A_2 < A_3$, и их соотношение составляет:

$A_1 : A_2 : A_3 = \frac{50}{k} : \frac{150}{k} : \frac{250}{k} = 50 : 150 : 250 = 1 : 3 : 5$

Это означает, что на втором участке совершается в 3 раза большая работа, чем на первом, а на третьем – в 5 раз большая работа, чем на первом. Это объясняется тем, что для растяжения уже растянутой пружины на ту же величину удлинения требуется приложить большую силу, а значит, совершить большую работу.

Ответ:

Работа, совершаемая человеком при растяжении пружины, на каждом последующем участке возрастает ($A_1 < A_2 < A_3$). Работы, совершенные на трех участках, соотносятся как $1 : 3 : 5$.

356. Жёсткость пружины динамометра, рассчитанного на $40\text{ Н}$, равна $500\text{ Н/м}$. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от середины шкалы до последнего деления?

Дано:

Максимальная сила $F_{max} = 40$ Н

Жёсткость пружины $k = 500$ Н/м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу $A$

Решение:

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна изменению её потенциальной энергии. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её удлинение от положения равновесия.

Работа по растяжению пружины от начального удлинения $x_1$ до конечного удлинения $x_2$ равна разности потенциальных энергий в конечном и начальном состояниях:

$A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2} = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2)$

Найдём конечное и начальное удлинения, используя закон Гука $F = kx$.

Конечное состояние пружины (последнее деление шкалы) соответствует максимальной силе $F_{max} = 40$ Н. Конечное удлинение $x_2$ составляет:

$x_2 = \frac{F_{max}}{k} = \frac{40 \text{ Н}}{500 \text{ Н/м}} = 0.08 \text{ м}$

Начальное состояние пружины (середина шкалы) соответствует силе $F_1$, равной половине максимальной:

$F_1 = \frac{F_{max}}{2} = \frac{40 \text{ Н}}{2} = 20 \text{ Н}$

Начальное удлинение $x_1$ при этой силе равно:

$x_1 = \frac{F_1}{k} = \frac{20 \text{ Н}}{500 \text{ Н/м}} = 0.04 \text{ м}$

Теперь вычислим работу $A$, подставив найденные значения в формулу:

$A = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2) = \frac{500}{2} \cdot ((0.08)^2 - (0.04)^2)$

$A = 250 \cdot (0.0064 - 0.0016) = 250 \cdot 0.0048 = 1.2 \text{ Дж}$

Ответ: 1.2 Дж.