Страница 56 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

388. Бензовоз массой 5 т подходит к подъёму длиной 200 м и высотой 4 м со скоростью 15 м/с. В конце подъёма его скорость уменьшилась до 5 м/с. Коэффициент сопротивления равен 0,09. Найти:

а) изменение потенциальной энергии бензовоза;

б) изменение кинетической энергии;

в) работу силы сопротивления;

г) работу силы тяги;

д) силу тяги бензовоза.

Дано:

$m = 5$ т
$L = 200$ м
$h = 4$ м
$v_1 = 15$ м/с
$v_2 = 5$ м/с
$\mu = 0,09$
$g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$m = 5 \cdot 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

Найти:

а) $\Delta E_p$ - изменение потенциальной энергии
б) $\Delta E_k$ - изменение кинетической энергии
в) $A_{сопр}$ - работа силы сопротивления
г) $A_{тяги}$ - работа силы тяги
д) $F_{тяги}$ - сила тяги

Решение:

а) изменение потенциальной энергии бензовоза

Изменение потенциальной энергии тела при подъеме на высоту $h$ вычисляется по формуле $\Delta E_p = mgh$. Примем начальную высоту равной нулю.

$\Delta E_p = 5000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 4 \text{ м} = 196000 \text{ Дж} = 196 \text{ кДж}$.

Ответ: изменение потенциальной энергии составляет 196 кДж.

б) изменение кинетической энергии

Изменение кинетической энергии равно разности конечной и начальной кинетических энергий: $\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$.

$\Delta E_k = \frac{5000 \text{ кг} \cdot ((5 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 - (15 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2)}{2} = \frac{5000 \cdot (25 - 225)}{2} = \frac{5000 \cdot (-200)}{2} = -500000 \text{ Дж} = -500 \text{ кДж}$.

Ответ: изменение кинетической энергии составляет -500 кДж.

в) работу силы сопротивления

Работа силы сопротивления отрицательна, так как эта сила направлена против движения: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot L$. Сила сопротивления $F_{сопр}$ (в данном случае, в основном, сила трения качения) пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$: $F_{сопр} = \mu N$. На наклонной плоскости $N = mg\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона. Найдем синус угла наклона: $\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{4}{200} = 0,02$. Так как угол $\alpha$ очень мал, то $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} \approx 1$. Поэтому можно с достаточной точностью принять, что сила нормальной реакции равна силе тяжести: $N \approx mg$.

$F_{сопр} \approx \mu mg = 0,09 \cdot 5000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 4410 \text{ Н}$.

Тогда работа силы сопротивления равна:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot L = -4410 \text{ Н} \cdot 200 \text{ м} = -882000 \text{ Дж} = -882 \text{ кДж}$.

Ответ: работа силы сопротивления равна -882 кДж.

г) работу силы тяги

Согласно теореме об изменении полной механической энергии, работа внешних неконсервативных сил (в данном случае, силы тяги и силы сопротивления) равна изменению полной механической энергии системы: $A_{тяги} + A_{сопр} = \Delta E_p + \Delta E_k$.

Отсюда можем выразить работу силы тяги:

$A_{тяги} = \Delta E_p + \Delta E_k - A_{сопр}$.

$A_{тяги} = 196000 \text{ Дж} + (-500000 \text{ Дж}) - (-882000 \text{ Дж}) = 196000 - 500000 + 882000 = 578000 \text{ Дж} = 578 \text{ кДж}$.

Ответ: работа силы тяги равна 578 кДж.

д) силу тяги бензовоза

Работа постоянной силы тяги вычисляется по формуле $A_{тяги} = F_{тяги} \cdot L$. Будем считать, что сила тяги бензовоза была постоянной на всем протяжении подъёма. Тогда ее можно найти, разделив работу силы тяги на пройденный путь:

$F_{тяги} = \frac{A_{тяги}}{L}$.

$F_{тяги} = \frac{578000 \text{ Дж}}{200 \text{ м}} = 2890 \text{ Н} = 2,89 \text{ кН}$.

Ответ: сила тяги бензовоза равна 2890 Н или 2,89 кН.

389. Парашютист массой $80 \text{ кг}$ отделился от неподвижно висящего вертолёта и, пролетев до раскрытия парашюта $200 \text{ м}$, приобрёл скорость $50 \text{ м/с}$. Найти работу силы сопротивления воздуха на этом пути.

Дано:

масса парашютиста, $m = 80$ кг

пройденный путь (высота падения), $h = 200$ м

начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (так как вертолёт неподвижен)

конечная скорость, $v = 50$ м/с

ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об изменении полной механической энергии. Согласно этой теореме, изменение полной механической энергии системы равно работе всех внешних и непотенциальных (диссипативных) сил. В данном случае единственной такой силой является сила сопротивления воздуха.

Изменение полной механической энергии $\Delta E_{мех}$ равно работе силы сопротивления $A_{сопр}$:
$A_{сопр} = \Delta E_{мех} = E_{мех, 2} - E_{мех, 1}$

Полная механическая энергия $E_{мех}$ складывается из кинетической энергии $E_к$ и потенциальной энергии $E_п$:
$E_{мех} = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение парашютиста после падения на 200 м.

1. Начальная полная механическая энергия (в момент отделения от вертолёта).
Начальная высота $h_1 = 200$ м, начальная скорость $v_0 = 0$ м/с.
$E_{мех, 1} = E_{к, 1} + E_{п, 1} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_1 = \frac{80 \cdot 0^2}{2} + 80 \cdot 10 \cdot 200 = 0 + 160000 = 160000 \text{ Дж}$

2. Конечная полная механическая энергия (пролетев 200 м).
Конечная высота $h_2 = 0$ м, конечная скорость $v = 50$ м/с.
$E_{мех, 2} = E_{к, 2} + E_{п, 2} = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 = \frac{80 \cdot 50^2}{2} + 80 \cdot 10 \cdot 0 = \frac{80 \cdot 2500}{2} + 0 = 40 \cdot 2500 = 100000 \text{ Дж}$

3. Теперь найдем работу силы сопротивления воздуха.
$A_{сопр} = E_{мех, 2} - E_{мех, 1} = 100000 \text{ Дж} - 160000 \text{ Дж} = -60000 \text{ Дж}$

Работу можно выразить в килоджоулях:
$A_{сопр} = -60 \text{ кДж}$

Знак "минус" показывает, что работа силы сопротивления воздуха отрицательна. Это означает, что сила сопротивления направлена против вектора перемещения парашютиста и "забирает" часть его механической энергии, превращая ее во внутреннюю энергию (тепло).

Ответ: работа силы сопротивления воздуха на этом пути равна $-60000 \text{ Дж}$ (или $-60 \text{ кДж}$).

390. Пуля массой 9,6 г вылетает из ствола пулемета со скоростью 825 м/с. Через 100 м скорость пули уменьшается до 746 м/с, а через 200 м — до 675 м/с. Найти работу силы сопротивления воздуха на первых и вторых ста метрах пути.

Дано:

Масса пули: $m = 9,6 \text{ г} = 9,6 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,0096 \text{ кг}$
Начальная скорость пули: $v_0 = 825 \text{ м/с}$
Скорость пули через 100 м: $v_1 = 746 \text{ м/с}$
Скорость пули через 200 м: $v_2 = 675 \text{ м/с}$
Первый участок пути: $\Delta s_1 = 100 \text{ м}$
Второй участок пути: $\Delta s_2 = 200 \text{ м} - 100 \text{ м} = 100 \text{ м}$

Найти:

$A_1$ — работа силы сопротивления на первых 100 м пути.
$A_2$ — работа силы сопротивления на вторых 100 м пути.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершаемая всеми силами, действующими на тело, равна изменению его кинетической энергии. В данном случае на пулю в горизонтальном направлении действует только сила сопротивления воздуха. Таким образом, работа силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$ равна изменению кинетической энергии пули $\Delta E_k$.

Формула для изменения кинетической энергии: $A_{сопр} = \Delta E_k = E_{k_{конечная}} - E_{k_{начальная}} = \frac{m v_{конечная}^2}{2} - \frac{m v_{начальная}^2}{2} = \frac{m(v_{конечная}^2 - v_{начальная}^2)}{2}$

Работа силы сопротивления воздуха на первых ста метрах пути

На этом участке начальная скорость $v_{начальная} = v_0 = 825 \text{ м/с}$, а конечная скорость $v_{конечная} = v_1 = 746 \text{ м/с}$.

$A_1 = \frac{m(v_1^2 - v_0^2)}{2}$

$A_1 = \frac{0,0096 \text{ кг} \cdot ((746 \text{ м/с})^2 - (825 \text{ м/с})^2)}{2} = \frac{0,0096 \cdot (556516 - 680625)}{2} = \frac{0,0096 \cdot (-124109)}{2} \approx -595,7 \text{ Дж}$

Работа силы сопротивления отрицательна, так как сила направлена против движения пули.

Ответ: работа силы сопротивления воздуха на первых ста метрах пути равна приблизительно $-595,7$ Дж.

Работа силы сопротивления воздуха на вторых ста метрах пути

Этот участок пути находится в интервале от 100 м до 200 м. Начальная скорость для этого участка $v_{начальная} = v_1 = 746 \text{ м/с}$, а конечная скорость $v_{конечная} = v_2 = 675 \text{ м/с}$.

$A_2 = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$

$A_2 = \frac{0,0096 \text{ кг} \cdot ((675 \text{ м/с})^2 - (746 \text{ м/с})^2)}{2} = \frac{0,0096 \cdot (455625 - 556516)}{2} = \frac{0,0096 \cdot (-100891)}{2} \approx -484,3 \text{ Дж}$

Ответ: работа силы сопротивления воздуха на вторых ста метрах пути равна приблизительно $-484,3$ Дж.

391. Самолёт массой 2 т движется в горизонтальном направлении со скоростью 50 м/с. Находясь на высоте 420 м, он переходит на снижение при выключенном двигателе и достигает дорожки аэродрома со скоростью 30 м/с. Определить работу силы сопротивления воздуха во время планирующего полёта.

Дано:

Масса самолёта, $m = 2 \text{ т}$
Начальная скорость, $v_1 = 50 \text{ м/с}$
Начальная высота, $h_1 = 420 \text{ м}$
Конечная скорость, $v_2 = 30 \text{ м/с}$
Конечная высота (уровень аэродрома), $h_2 = 0 \text{ м}$

Найти:

Работу силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении полной механической энергии. Согласно этой теореме, изменение полной механической энергии тела равно работе внешних непотенциальных сил. В данном случае единственной такой силой является сила сопротивления воздуха (двигатель выключен, работа силы тяги равна нулю).

$A_{сопр} = \Delta E = E_2 - E_1$

Здесь $E_1$ — полная механическая энергия самолёта в начальном состоянии (на высоте $h_1$ со скоростью $v_1$), а $E_2$ — полная механическая энергия в конечном состоянии (на высоте $h_2$ со скоростью $v_2$).

Полная механическая энергия является суммой кинетической энергии ($E_k = \frac{mv^2}{2}$) и потенциальной энергии ($E_p = mgh$).

Начальная полная энергия самолёта: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1$

Конечная полная энергия самолёта (на земле, $h_2 = 0$): $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 = \frac{mv_2^2}{2}$

Следовательно, работа силы сопротивления воздуха: $A_{сопр} = E_2 - E_1 = \frac{mv_2^2}{2} - \left( \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 \right) = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2} - mgh_1$

Подставим числовые значения. Ускорение свободного падения $g$ примем равным $10 \text{ м/с}^2$.

$A_{сопр} = \frac{2000 \text{ кг} \cdot ((30 \text{ м/с})^2 - (50 \text{ м/с})^2)}{2} - 2000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 420 \text{ м}$

$A_{сопр} = 1000 \cdot (900 - 2500) - 8400000$

$A_{сопр} = 1000 \cdot (-1600) - 8400000$

$A_{сопр} = -1600000 \text{ Дж} - 8400000 \text{ Дж} = -10000000 \text{ Дж}$

Работу можно выразить в мегаджоулях (МДж): $A_{сопр} = -10 \text{ МДж}$

Отрицательное значение работы означает, что сила сопротивления воздуха направлена против вектора перемещения самолёта и тормозит его движение.

Ответ: работа силы сопротивления воздуха равна $-10000000 \text{ Дж}$ или $-10 \text{ МДж}$.

392. Санки с седоком общей массой 100 кг съезжают с горы высотой 8 м и длиной 100 м. Какова средняя сила сопротивления движению санок, если в конце горы они развили скорость 10 м/с, а начальная скорость равна нулю?

Дано:

$m = 100$ кг
$h = 8$ м
$L = 100$ м
$v_0 = 0$ м/с
$v_f = 10$ м/с

Найти:

$F_{сопр}$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи применим теорему об изменении полной механической энергии. Изменение полной механической энергии системы (санки с седоком) равно работе, совершенной неконсервативными силами, в данном случае — силой сопротивления.

Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ равна разности между начальной и конечной полной механической энергией:

$A_{сопр} = E_{начальная} - E_{конечная}$

Начальная полная механическая энергия $E_{начальная}$ санок на вершине горы состоит из их потенциальной энергии $E_{p1}$ и кинетической энергии $E_{k1}$:

$E_{начальная} = E_{p1} + E_{k1} = mgh + \frac{mv_0^2}{2}$

Поскольку санки начинают движение из состояния покоя, их начальная скорость $v_0 = 0$. Следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k1} = 0$, и вся начальная энергия является потенциальной:

$E_{начальная} = mgh$

Конечная полная механическая энергия $E_{конечная}$ санок у подножия горы состоит из их потенциальной энергии $E_{p2}$ и кинетической энергии $E_{k2}$. Примем уровень подножия горы за нулевой уровень высоты, тогда $h_{конечная} = 0$ и $E_{p2} = 0$.

$E_{конечная} = E_{p2} + E_{k2} = 0 + \frac{mv_f^2}{2} = \frac{mv_f^2}{2}$

Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ также может быть выражена через саму силу и пройденный путь $L$ (длину склона):

$A_{сопр} = F_{сопр} \cdot L$

Приравнивая два выражения для работы силы сопротивления, получаем:

$F_{сопр} \cdot L = mgh - \frac{mv_f^2}{2}$

Отсюда можно выразить искомую среднюю силу сопротивления:

$F_{сопр} = \frac{mgh - \frac{1}{2}mv_f^2}{L}$

Подставим числовые значения в формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$F_{сопр} = \frac{100 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 8 \text{ м} - \frac{1}{2} \cdot 100 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2}{100 \text{ м}}$

$F_{сопр} = \frac{8000 \text{ Дж} - \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 100 \text{ Дж}}{100 \text{ м}}$

$F_{сопр} = \frac{8000 \text{ Дж} - 5000 \text{ Дж}}{100 \text{ м}}$

$F_{сопр} = \frac{3000 \text{ Дж}}{100 \text{ м}} = 30 \text{ Н}$

Ответ: средняя сила сопротивления движению санок равна 30 Н.