Страница 59 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

411. Грузик, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найти период и частоту колебаний.

Дано:

Время колебаний, $t = 8$ с
Число колебаний, $N = 32$

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Период колебаний, $T$ - ?
Частоту колебаний, $\nu$ - ?

Решение:

Период колебаний

Период колебаний ($T$) — это физическая величина, равная времени одного полного колебания. Для его нахождения необходимо общее время колебаний ($t$) разделить на число совершённых за это время колебаний ($N$).

Формула для расчёта периода:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T = \frac{8 \text{ с}}{32} = 0.25 \text{ с}$

Ответ: период колебаний равен $0.25$ с.

Частота колебаний

Частота колебаний ($\nu$) — это физическая величина, равная числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Чтобы найти частоту, нужно число колебаний ($N$) разделить на время ($t$), за которое они произошли.

Формула для расчёта частоты:

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим числовые значения:

$\nu = \frac{32}{8 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$

Также частоту можно найти как величину, обратную периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.25 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$

Ответ: частота колебаний равна $4$ Гц.

412. Частота колебаний крыльев комара $600 \text{ Гц}$, а период колебаний крыльев шмеля $5 \text{ мс}$. Какое из насекомых сделает при полёте больше взмахов крыльями за $1 \text{ мин}$ и на сколько?

Дано:

Частота колебаний крыльев комара $ν_к = 600 \text{ Гц}$

Период колебаний крыльев шмеля $T_ш = 5 \text{ мс}$

Время полета $t = 1 \text{ мин}$

$T_ш = 5 \text{ мс} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.005 \text{ с}$
$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Какое насекомое сделает больше взмахов и на сколько?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассчитать количество взмахов крыльями ($N$) для каждого насекомого за указанный промежуток времени ($t$). Количество взмахов связано с частотой ($ν$) и периодом ($T$) колебаний следующими формулами:

$N = ν \cdot t$

$N = \frac{t}{T}$

1. Рассчитаем количество взмахов для комара ($N_к$), используя известную частоту:

$N_к = ν_к \cdot t = 600 \text{ Гц} \cdot 60 \text{ с} = 36000$ взмахов.

2. Рассчитаем количество взмахов для шмеля ($N_ш$). Для этого можно сначала найти частоту колебаний ($ν_ш = \frac{1}{T_ш}$), а затем использовать первую формулу, либо сразу использовать вторую формулу с периодом. Второй способ короче:

$N_ш = \frac{t}{T_ш} = \frac{60 \text{ с}}{0.005 \text{ с}} = 12000$ взмахов.

3. Теперь сравним полученные результаты:

$N_к = 36000$ взмахов
$N_ш = 12000$ взмахов

Поскольку $36000 > 12000$, комар совершает больше взмахов крыльями.

4. Чтобы определить, на сколько больше, найдем разность между количеством взмахов:

$\Delta N = N_к - N_ш = 36000 - 12000 = 24000$ взмахов.

Ответ: за 1 минуту комар сделает больше взмахов крыльями, чем шмель, на 24000.

413¹. Амплитуда колебаний точки струны 1 мм, частота 1 кГц. Какой путь пройдёт точка за 0,2 с?

Дано:

Найти:

Решение:

Точка на струне совершает колебательное движение. За один полный период колебаний точка проходит путь, равный четырем амплитудам. Это происходит потому, что точка движется от положения равновесия до одного крайнего положения (путь $A$), затем обратно к положению равновесия (путь $A$), далее до другого крайнего положения (путь $A$) и, наконец, возвращается в исходное положение равновесия (путь $A$).

Путь, проходимый за одно полное колебание ($S_0$), равен:

$S_0 = 4A$

Чтобы найти общий путь, необходимо определить, сколько полных колебаний ($N$) совершит точка за заданное время $t$. Количество колебаний можно найти, умножив частоту $f$ на время $t$:

$N = f \cdot t$

Подставим числовые значения:

$N = 1000 \text{ Гц} \cdot 0,2 \text{ с} = 200$

За $0,2$ секунды точка совершит ровно 200 полных колебаний. Общий пройденный путь $S$ будет равен произведению количества колебаний $N$ на путь, проходимый за одно колебание $S_0$.

$S = N \cdot S_0 = N \cdot 4A$

Теперь подставим все известные значения в итоговую формулу, используя данные в системе СИ:

$S = 200 \cdot 4 \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}) = 800 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,8 \text{ м}$

Ответ: за 0,2 с точка пройдёт путь 0,8 м.

414. Крылья пчелы, летящей за нектаром, колеблются с частотой $v_1 = 420$ Гц, а при полёте обратно (с нектаром) — $v_2 = 300$ Гц. За нектаром пчела летит со скоростью $v_1 = 7$ м/с, а обратно со скоростью $v_2 = 6$ м/с. При полёте в каком направлении пчела сделает больше взмахов крыльями и на сколько $(\Delta n)$, если расстояние от улья до цветочного поля $s = 500$ м?

Дано:

Частота колебаний крыльев при полете за нектаром, $\nu_1 = 420$ Гц
Частота колебаний крыльев при полете с нектаром, $\nu_2 = 300$ Гц
Скорость полета за нектаром, $v_1 = 7$ м/с
Скорость полета с нектаром, $v_2 = 6$ м/с
Расстояние от улья до поля, $s = 500$ м

Найти:

В каком направлении пчела сделает больше взмахов и на сколько ($\Delta n$)?

Решение:

Чтобы определить общее количество взмахов крыльями ($n$) за время полета ($t$), необходимо умножить частоту колебаний ($\nu$) на это время.

$n = \nu \cdot t$

Время полета можно найти, разделив расстояние ($s$) на скорость ($v$).

$t = \frac{s}{v}$

Объединив две формулы, получим выражение для расчета общего числа взмахов:

$n = \nu \cdot \frac{s}{v}$

1. Рассчитаем количество взмахов ($n_1$) при полете за нектаром (вперед).

Время полета за нектаром:

$t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{500 \text{ м}}{7 \text{ м/с}}$

Количество взмахов крыльями за это время:

$n_1 = \nu_1 \cdot t_1 = 420 \text{ Гц} \cdot \frac{500}{7} \text{ с} = \frac{420 \cdot 500}{7} = 60 \cdot 500 = 30000$ взмахов.

2. Рассчитаем количество взмахов ($n_2$) при полете обратно с нектаром.

Время полета с нектаром:

$t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{500 \text{ м}}{6 \text{ м/с}}$

Количество взмахов крыльями за это время:

$n_2 = \nu_2 \cdot t_2 = 300 \text{ Гц} \cdot \frac{500}{6} \text{ с} = \frac{300 \cdot 500}{6} = 50 \cdot 500 = 25000$ взмахов.

3. Сравним полученные значения.

$n_1 = 30000$ взмахов, $n_2 = 25000$ взмахов.

Так как $n_1 > n_2$, пчела делает больше взмахов крыльями при полете за нектаром.

4. Найдем, на сколько больше взмахов было сделано.

$\Delta n = n_1 - n_2 = 30000 - 25000 = 5000$ взмахов.

Ответ: пчела сделает больше взмахов крыльями при полете за нектаром (от улья до цветочного поля). Разница в количестве взмахов составляет 5000.

415. Как привести в колебания маятник стенных часов, сообщив ему:

а) потенциальную энергию;

б) кинетическую энергию?

Решение

Колебания маятника представляют собой процесс периодического превращения энергии из одного вида в другой: потенциальной в кинетическую и обратно. В крайних точках траектории, где высота подъема максимальна, маятник на мгновение останавливается, и его энергия полностью является потенциальной ($E_п = mgh$). В нижней точке траектории (положении равновесия) высота минимальна (можно принять за ноль), а скорость максимальна, поэтому энергия маятника полностью кинетическая ($E_к = \frac{mv^2}{2}$). Чтобы привести маятник в колебание, нужно сообщить ему начальный запас механической энергии.

а) сообщив ему потенциальную энергию

Чтобы сообщить маятнику потенциальную энергию, необходимо совершить работу против силы тяжести, подняв его на некоторую высоту относительно положения равновесия. Практически это означает, что нужно отвести маятник в сторону от его вертикального положения и удержать. В этой крайней точке его скорость равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. Если затем отпустить маятник без начального толчка, он начнет двигаться под действием силы тяжести, и его потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую. Так начнутся колебания.

Ответ: Необходимо отклонить маятник от положения равновесия на некоторый угол и отпустить его.

б) сообщив ему кинетическую энергию

Чтобы сообщить маятнику кинетическую энергию, необходимо придать ему начальную скорость. Это можно сделать, когда маятник находится в своем самом нижнем положении — положении равновесия, где его потенциальная энергия минимальна. Короткий толчок или удар по маятнику в этом положении придаст ему скорость. За счет приобретенной кинетической энергии маятник начнет подниматься, превращая ее в потенциальную, и таким образом придет в колебательное движение.

Ответ: Необходимо толкнуть маятник в тот момент, когда он находится в положении равновесия.

416. На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закреплённый на пружине жёсткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?

Дано:

$m = 640 \, \text{г} = 0,64 \, \text{кг}$
$k = 0,4 \, \text{кН/м} = 400 \, \text{Н/м}$
$v = 1 \, \text{м/с}$

Найти:

$x$ - ?

Решение:

Данная задача решается с использованием закона сохранения механической энергии. В системе "груз-пружина" при отсутствии трения полная механическая энергия остается постоянной.

Когда груз отводят от положения равновесия на искомое расстояние $x$ (это будет амплитуда колебаний), его скорость равна нулю. В этой крайней точке вся энергия системы представляет собой потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Она вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Когда груз проходит положение равновесия, его смещение от этой точки равно нулю ($x=0$), поэтому потенциальная энергия пружины также равна нулю. В этот момент вся энергия системы переходит в кинетическую энергию груза, которая достигает своего максимального значения, так как скорость максимальна. Кинетическая энергия вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия в точке максимального отклонения равна максимальной кинетической энергии в положении равновесия:

$E_p = E_k$

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы упростить уравнение:

$kx^2 = mv^2$

Теперь выразим из этого уравнения искомое расстояние $x$:

$x^2 = \frac{mv^2}{k}$

$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ и произведем вычисления:

$x = \sqrt{\frac{0,64 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м/с})^2}{400 \, \text{Н/м}}} = \sqrt{\frac{0,64}{400}} \, \text{м} = \sqrt{0,0016} \, \text{м} = 0,04 \, \text{м}$

Таким образом, чтобы груз проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с, его необходимо отвести на расстояние 0,04 м. Это расстояние также можно выразить в сантиметрах: $0,04 \, \text{м} = 4 \, \text{см}$.

Ответ: груз надо отвести от положения равновесия на расстояние 0,04 м (или 4 см).

417. Какова масса груза, колеблющегося на пружине жёсткостью $0,5 \, \text{кН}/\text{м}$, если при амплитуде колебаний $6 \, \text{см}$ он имеет максимальную скорость $3 \, \text{м}/\text{с}$?

Дано:

Жесткость пружины $k = 0,5 \text{ кН/м} = 0,5 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 500 \text{ Н/м}$

Амплитуда колебаний $A = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

Максимальная скорость $v_{max} = 3 \text{ м/с}$

Найти:

Массу груза $m$.

Решение:

При гармонических колебаниях пружинного маятника полная механическая энергия системы сохраняется. Полная энергия системы равна максимальной потенциальной энергии в точках максимального отклонения (амплитудных точках) и равна максимальной кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия.

Максимальная потенциальная энергия пружины достигается при максимальном растяжении (или сжатии), равном амплитуде $A$, и вычисляется по формуле:

$E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Максимальная кинетическая энергия груза достигается при прохождении положения равновесия, где скорость груза максимальна ($v_{max}$):

$E_{k_{max}} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

По закону сохранения энергии, эти максимальные значения равны друг другу:

$E_{p_{max}} = E_{k_{max}}$

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$kA^2 = mv_{max}^2$

Из этого соотношения выразим искомую массу груза $m$:

$m = \frac{kA^2}{v_{max}^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и произведем вычисления:

$m = \frac{500 \text{ Н/м} \cdot (0,06 \text{ м})^2}{(3 \text{ м/с})^2} = \frac{500 \cdot 0,0036}{9} = \frac{1,8}{9} = 0,2 \text{ кг}$

Ответ: масса груза равна 0,2 кг.

418. Первый шар колеблется на пружине, имеющей жёсткость в 4 раза большую, чем жёсткость пружины, на которой колеблется второй шар такой же массы. Какой из шаров надо дальше отвести от положения равновесия и во сколько раз, чтобы их максимальные скорости были одинаковы?

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ (массы шаров одинаковы)
$k_1 = 4k_2$ (жесткость первой пружины в 4 раза больше жесткости второй)
$v_{max1} = v_{max2}$ (максимальные скорости шаров равны)

Найти:

Какой из шаров надо дальше отвести от положения равновесия и во сколько раз?

Решение:

Колебания шара на пружине являются гармоническими. Полная механическая энергия такой системы сохраняется. В крайнем положении, когда смещение от положения равновесия максимально и равно амплитуде $A$, скорость шара равна нулю, и вся энергия системы сосредоточена в виде потенциальной энергии упруго деформированной пружины:

$E = E_{p_{max}} = \frac{k A^2}{2}$

При прохождении положения равновесия ($x=0$), потенциальная энергия пружины равна нулю, а скорость шара достигает своего максимального значения $v_{max}$. В этот момент вся энергия системы является кинетической:

$E = E_{k_{max}} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической энергии:

$\frac{k A^2}{2} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Из этого равенства выразим максимальную скорость $v_{max}$:

$k A^2 = m v_{max}^2$

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Запишем данное выражение для первого и второго шаров, обозначив их амплитуды как $A_1$ и $A_2$ соответственно:

$v_{max1} = A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$

$v_{max2} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m_2}}$

По условию задачи, массы шаров одинаковы ($m_1 = m_2 = m$) и их максимальные скорости равны ($v_{max1} = v_{max2}$). Приравняем правые части уравнений:

$A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$

Можно сократить на $\sqrt{m}$, так как масса не равна нулю:

$A_1 \sqrt{k_1} = A_2 \sqrt{k_2}$

Теперь подставим известное из условия соотношение жесткостей пружин $k_1 = 4 k_2$:

$A_1 \sqrt{4 k_2} = A_2 \sqrt{k_2}$

$A_1 \cdot 2 \sqrt{k_2} = A_2 \sqrt{k_2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{k_2}$ (так как жесткость не равна нулю), чтобы найти соотношение между амплитудами:

$2 A_1 = A_2$

Полученное соотношение $\frac{A_2}{A_1} = 2$ показывает, что амплитуда колебаний второго шара (на пружине с меньшей жесткостью $k_2$) должна быть в 2 раза больше амплитуды колебаний первого шара (на пружине с большей жесткостью $k_1$).

Ответ: для того чтобы максимальные скорости шаров были одинаковы, второй шар (который колеблется на пружине с меньшей жесткостью) надо отвести от положения равновесия в 2 раза дальше, чем первый шар.