Страница 62 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

437. Мальчик несёт на коромысле вёдра с водой, период собственных колебаний которых 1,6 с. При какой скорости движения мальчика вода начнёт особенно сильно выплёскиваться, если длина его шага 60 см?

Дано:

Период собственных колебаний вёдер, $T_0 = 1,6$ с
Длина шага, $L = 60$ см

$L = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$

Найти:

Скорость движения мальчика, $v$

Решение:

Вода в вёдрах будет выплёскиваться особенно сильно при наступлении явления резонанса. Резонанс возникает, когда частота внешней вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. Эквивалентное условие — равенство периодов: период вынуждающей силы $T$ должен быть равен периоду собственных колебаний $T_0$.

В данной задаче колебательной системой являются вёдра с водой, а внешней периодической силой — шаги мальчика, которые раскачивают коромысло.

Следовательно, для наступления резонанса период шагов мальчика $T$ должен быть равен периоду собственных колебаний вёдер $T_0$:

$T = T_0 = 1,6 \text{ с}$

Скорость движения мальчика $v$ можно найти, зная длину его шага $L$ и время, за которое он делает один шаг (период шагов $T$). Скорость равна отношению пройденного пути ко времени:

$v = \frac{L}{T}$

Подставим в эту формулу значения длины шага и периода, при котором наступает резонанс:

$v = \frac{0,6 \text{ м}}{1,6 \text{ с}} = 0,375 \text{ м/с}$

Таким образом, при скорости $0,375$ м/с каждый шаг мальчика будет поддерживать и усиливать колебания воды в вёдрах, что приведёт к её сильному выплёскиванию.

Ответ: скорость движения мальчика, при которой вода начнёт особенно сильно выплёскиваться, составляет $0,375$ м/с.

438. По поверхности воды в озере волна распространяется со скоростью 6 м/с. Каковы период и частота колебаний бакена, если длина волны 3 м?

Дано:

Скорость распространения волны $v = 6$ м/с
Длина волны $\lambda = 3$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний $T$ - ?
Частота колебаний $\nu$ - ?

Решение:

Бакена колеблется с той же частотой и периодом, что и волна, проходящая мимо него. Связь между скоростью волны $v$, ее длиной $\lambda$ и периодом колебаний $T$ выражается формулой:

$v = \frac{\lambda}{T}$

Из этой формулы мы можем выразить период колебаний $T$:

$T = \frac{\lambda}{v}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{3 \text{ м}}{6 \text{ м/с}} = 0,5 \text{ с}$

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду $T$:

$\nu = \frac{1}{T}$

Теперь найдем частоту колебаний бакена:

$\nu = \frac{1}{0,5 \text{ с}} = 2 \text{ Гц}$

Ответ: период колебаний бакена $T = 0,5$ с, частота колебаний $\nu = 2$ Гц.

439. Рыболов заметил, что за 10 с поплавок совершил на волнах 20 колебаний, а расстояние между соседними гребнями волн 1,2 м. Какова скорость распространения волн?

Дано:

Время наблюдения, $t = 10 \text{ с}$
Число колебаний, $N = 20$
Расстояние между соседними гребнями (длина волны), $\lambda = 1,2 \text{ м}$

Найти:

Скорость распространения волн, $v$.

Решение:

Скорость распространения волны $v$ связана с ее длиной $\lambda$ и частотой колебаний $\nu$ через основное волновое уравнение:

$v = \lambda \cdot \nu$

Длина волны $\lambda$ по определению равна расстоянию между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе. В данном случае это расстояние между соседними гребнями, которое дано в условии:

$\lambda = 1,2 \text{ м}$

Частота колебаний $\nu$ — это количество полных колебаний $N$, совершаемых за единицу времени $t$. Мы можем вычислить ее по данным из задачи:

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим числовые значения:

$\nu = \frac{20}{10 \text{ с}} = 2 \text{ Гц}$

Теперь, зная длину волны и частоту, мы можем найти скорость распространения волн, подставив эти значения в исходную формулу:

$v = 1,2 \text{ м} \cdot 2 \text{ Гц} = 2,4 \text{ м/с}$

Ответ: скорость распространения волн равна $2,4 \text{ м/с}$.

440. На озере в безветренную погоду с лодки бросили тя-жёлый якорь. От места бросания якоря пошли волны. Чело-век, стоящий на берегу, заметил, что волна дошла до него че-рез 50 с, расстояние между соседними гребнями волн 0,5 м, а за 5 с было 20 всплесков о берег. Как далеко от берега нахо-дилась лодка?

Дано:

$t_{1} = 50 \text{ с}$

$\lambda = 0,5 \text{ м}$

$t_{2} = 5 \text{ с}$

$N = 20$

Найти:

$S$

Решение:

Расстояние $S$, которое прошла волна от лодки до берега, можно найти по формуле для равномерного движения, зная скорость распространения волны $v$ и время ее движения $t_{1}$:

$S = v \cdot t_{1}$

Скорость распространения волны $v$ связана с ее длиной $\lambda$ и частотой $\nu$ следующим соотношением:

$v = \lambda \cdot \nu$

Длина волны $\lambda$ нам известна из условия — это расстояние между соседними гребнями, которое равно $0,5$ м.

Частоту волны $\nu$ можно найти, зная, что за время $t_{2} = 5$ с было $N = 20$ всплесков о берег. Частота — это количество колебаний (всплесков) за единицу времени. Рассчитаем ее:

$\nu = \frac{N}{t_{2}} = \frac{20}{5 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$

Теперь, зная длину и частоту волны, мы можем вычислить ее скорость:

$v = \lambda \cdot \nu = 0,5 \text{ м} \cdot 4 \text{ Гц} = 2 \text{ м/с}$

Наконец, подставим найденную скорость в формулу для расстояния, чтобы определить, как далеко от берега находилась лодка:

$S = v \cdot t_{1} = 2 \text{ м/с} \cdot 50 \text{ с} = 100 \text{ м}$

Ответ: лодка находилась на расстоянии 100 м от берега.

441. На поверхности воды распространяется волна со скоростью 2,4 м/с при частоте колебаний 2 Гц. Какова разность фаз в точках, лежащих на одном луче и отстоящих друг от друга на 10, 60, 90, 120 и 140 см?

Дано:

Скорость распространения волны, $v = 2,4 \text{ м/с}$
Частота колебаний, $\nu = 2 \text{ Гц}$
Расстояния между точками:
$\Delta x_1 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
$\Delta x_2 = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$
$\Delta x_3 = 90 \text{ см} = 0,9 \text{ м}$
$\Delta x_4 = 120 \text{ см} = 1,2 \text{ м}$
$\Delta x_5 = 140 \text{ см} = 1,4 \text{ м}$

Найти:

Разность фаз $\Delta \phi$ для каждого из расстояний $\Delta x$.

Решение:

Разность фаз $\Delta \phi$ колебаний в двух точках, расстояние между которыми равно $\Delta x$, определяется по формуле:$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$где $\lambda$ — длина волны.

Длина волны связана со скоростью ее распространения $v$ и частотой колебаний $\nu$ соотношением:$\lambda = \frac{v}{\nu}$

Сначала вычислим длину волны:$\lambda = \frac{2,4 \text{ м/с}}{2 \text{ Гц}} = 1,2 \text{ м}$

Теперь, зная длину волны, можно рассчитать разность фаз для каждого заданного расстояния.

Для расстояния 10 см:
$\Delta x_1 = 0,1 \text{ м}$
$\Delta \phi_1 = \frac{2\pi}{1,2 \text{ м}} \cdot 0,1 \text{ м} = \frac{0,2\pi}{1,2} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ рад.

Ответ: разность фаз составляет $\frac{\pi}{6}$ рад.

Для расстояния 60 см:
$\Delta x_2 = 0,6 \text{ м}$
$\Delta \phi_2 = \frac{2\pi}{1,2 \text{ м}} \cdot 0,6 \text{ м} = \frac{1,2\pi}{1,2} = \pi$ рад.

Ответ: разность фаз составляет $\pi$ рад.

Для расстояния 90 см:
$\Delta x_3 = 0,9 \text{ м}$
$\Delta \phi_3 = \frac{2\pi}{1,2 \text{ м}} \cdot 0,9 \text{ м} = \frac{1,8\pi}{1,2} = \frac{18\pi}{12} = \frac{3\pi}{2}$ рад.

Ответ: разность фаз составляет $\frac{3\pi}{2}$ рад.

Для расстояния 120 см:
$\Delta x_4 = 1,2 \text{ м}$
$\Delta \phi_4 = \frac{2\pi}{1,2 \text{ м}} \cdot 1,2 \text{ м} = 2\pi$ рад.

Ответ: разность фаз составляет $2\pi$ рад.

Для расстояния 140 см:
$\Delta x_5 = 1,4 \text{ м}$
$\Delta \phi_5 = \frac{2\pi}{1,2 \text{ м}} \cdot 1,4 \text{ м} = \frac{2,8\pi}{1,2} = \frac{28\pi}{12} = \frac{7\pi}{3}$ рад.

Ответ: разность фаз составляет $\frac{7\pi}{3}$ рад.

442. Длина звуковой волны в воздухе для самого низкого мужского голоса достигает 4,3 м, а для самого высокого женского голоса 25 см. Найти частоты колебаний этих голосов.

Дано:

Длина звуковой волны для самого низкого мужского голоса, $ \lambda_м = 4,3 \text{ м} $

Длина звуковой волны для самого высокого женского голоса, $ \lambda_ж = 25 \text{ см} $

Скорость звука в воздухе (справочное значение), $ v \approx 340 \text{ м/с} $

Найти:

Частоту колебаний мужского голоса — $ \nu_м $

Частоту колебаний женского голоса — $ \nu_ж $

Решение:

Для нахождения частоты колебаний воспользуемся формулой, связывающей скорость распространения волны $ v $, её длину $ \lambda $ и частоту $ \nu $:

$ v = \lambda \cdot \nu $

Выразим из этой формулы искомую частоту $ \nu $:

$ \nu = \frac{v}{\lambda} $

Так как скорость звука в воздухе не указана в условии, примем её стандартное табличное значение при нормальных условиях: $ v = 340 \text{ м/с} $.

Частота колебаний для самого низкого мужского голоса

Подставим в формулу значения для мужского голоса:

$ \nu_м = \frac{v}{\lambda_м} = \frac{340 \text{ м/с}}{4,3 \text{ м}} \approx 79,07 \text{ Гц} $

Округлим полученный результат до целого значения: $ \nu_м \approx 79 \text{ Гц} $.

Частота колебаний для самого высокого женского голоса

Подставим в формулу значения для женского голоса, используя длину волны, переведенную в метры:

$ \nu_ж = \frac{v}{\lambda_ж} = \frac{340 \text{ м/с}}{0,25 \text{ м}} = 1360 \text{ Гц} $

Ответ: частота колебаний для самого низкого мужского голоса составляет примерно $79$ Гц, для самого высокого женского голоса — $1360$ Гц.

443. Частотный диапазон рояля от 90 до 9000 Гц. Найти диапазон длин звуковых волн в воздухе.

Дано:

Минимальная частота, $\nu_{min} = 90$ Гц
Максимальная частота, $\nu_{max} = 9000$ Гц
Скорость звука в воздухе (примем стандартное значение при 20°C), $v = 343$ м/с

Найти:

Диапазон длин звуковых волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Длина звуковой волны $\lambda$ связана с ее частотой $\nu$ и скоростью распространения в среде $v$ следующей формулой: $$ \lambda = \frac{v}{\nu} $$ Из этой формулы видно, что длина волны и частота обратно пропорциональны. Это означает, что минимальной частоте будет соответствовать максимальная длина волны, а максимальной частоте — минимальная длина волны.

Найдем максимальную длину волны $\lambda_{max}$, которая соответствует минимальной частоте $\nu_{min}$: $$ \lambda_{max} = \frac{v}{\nu_{min}} = \frac{343 \text{ м/с}}{90 \text{ Гц}} \approx 3,81 \text{ м} $$

Теперь найдем минимальную длину волны $\lambda_{min}$, которая соответствует максимальной частоте $\nu_{max}$: $$ \lambda_{min} = \frac{v}{\nu_{max}} = \frac{343 \text{ м/с}}{9000 \text{ Гц}} \approx 0,0381 \text{ м} $$

Следовательно, диапазон длин звуковых волн, создаваемых роялем в воздухе, находится в пределах от 0,0381 м до 3,81 м.

Ответ: диапазон длин звуковых волн в воздухе составляет от 0,0381 м до 3,81 м.

444. Во время грозы человек услышал гром через 15 с после вспышки молнии. Как далеко от него произошёл разряд?

Дано:

Время задержки между вспышкой и громом, $t = 15$ с

Скорость звука в воздухе (примем среднее значение), $v_{звука} \approx 340$ м/с

Найти:

Расстояние до разряда, $L$

Решение:

Свет от вспышки молнии распространяется с огромной скоростью (около $300 000$ км/с), поэтому можно считать, что наблюдатель видит вспышку практически в тот же момент, когда она происходит. Звук грома распространяется значительно медленнее, со скоростью звука. Поэтому время, которое проходит между моментом, когда человек видит молнию, и моментом, когда слышит гром, — это время, за которое звук преодолевает расстояние от места удара молнии до человека.

Для нахождения этого расстояния можно использовать формулу равномерного прямолинейного движения:

$L = v \cdot t$

где $L$ — расстояние, $v$ — скорость (в нашем случае — скорость звука), $t$ — время.

Подставим данные в формулу:

$L = 340 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 15 \text{ с} = 5100 \text{ м}$

Для удобства восприятия можно перевести метры в километры, зная, что $1$ км = $1000$ м:

$5100 \text{ м} = 5,1 \text{ км}$

Ответ: разряд произошёл на расстоянии $5100$ метров (или $5,1$ километра) от человека.

445. Когда наблюдатель воспринимает по звуку, что самолёт находится в зените, он видит его под углом $\alpha = 73^\circ$ к горизонту. С какой скоростью летит самолёт?

Дано:

Угол, под которым наблюдатель видит самолёт к горизонту: $\alpha = 73^\circ$

Скорость звука в воздухе (примем стандартное значение): $c \approx 340 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость самолёта: $v$

Решение:

Когда наблюдатель слышит звук от самолёта, который в момент излучения звука находился в зените (точка А, прямо над наблюдателем), сам самолёт за время распространения звука успевает переместиться в другую точку (B). Это происходит из-за конечной скорости звука. Мы можем считать, что свет от самолёта до наблюдателя доходит мгновенно.

Пусть H — высота полёта самолёта. Время $t$, за которое звук от точки А доходит до наблюдателя O, находящегося на земле, равно: $t = \frac{H}{c}$ где $c$ — скорость звука.

За это же время $t$ самолёт, летящий с постоянной горизонтальной скоростью $v$, пролетит расстояние $S$ от точки А до точки B: $S = v \cdot t = v \frac{H}{c}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где O — наблюдатель, A — положение самолёта в зените, B — положение самолёта в момент, когда звук дошёл до наблюдателя. Угол при вершине A прямой ($\angle OAB = 90^\circ$), так как высота OA перпендикулярна горизонтальному пути самолёта AB.

Угол $\alpha = 73^\circ$, данный в условии, — это угол между линией горизонта и направлением на самолёт в точке B (линия OB). Угол $\theta$ внутри нашего треугольника при вершине O ($\angle AOB$) связан с углом $\alpha$ следующим соотношением, так как направление на зенит (OA) перпендикулярно горизонту: $\theta = 90^\circ - \alpha$

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике AOB имеем: $\tan(\theta) = \frac{AB}{OA} = \frac{S}{H}$

Подставим в это уравнение ранее полученное выражение для $S$: $\tan(\theta) = \frac{v \frac{H}{c}}{H}$

Высота H сокращается, и мы получаем простое соотношение: $\tan(\theta) = \frac{v}{c}$

Отсюда можно выразить искомую скорость самолёта $v$: $v = c \cdot \tan(\theta)$

Теперь подставим числовые значения. Сначала найдём угол $\theta$: $\theta = 90^\circ - 73^\circ = 17^\circ$

Рассчитаем скорость самолёта: $v = 340 \text{ м/с} \cdot \tan(17^\circ) \approx 340 \text{ м/с} \cdot 0.3057 \approx 103.94 \text{ м/с}$

Округлим полученное значение.

Ответ: скорость самолёта составляет примерно $104 \text{ м/с}$.

446. Мотоциклист, движущийся по прямолинейному участку дороги, увидел, как человек, стоящий у дороги, ударил стержнем по висящему рельсу, а через 2 с услышал звук. С какой скоростью двигался мотоциклист, если он проехал мимо человека через 36 с после начала наблюдения?

Дано:

Найти:

Решение:

Пусть в начальный момент времени ($t=0$), когда мотоциклист увидел удар, расстояние между ним и человеком составляло $L$. Мы можем считать, что мотоциклист увидел удар мгновенно, так как скорость света значительно больше скорости звука и скорости мотоциклиста.

Мотоциклист услышал звук через время $t_1 = 2 \text{ с}$. За это время звук, распространяясь от человека, и мотоциклист, двигаясь навстречу звуку, вместе покрыли начальное расстояние $L$.

Расстояние, которое прошел звук за время $t_1$: $S_з = v_з \cdot t_1$.
Расстояние, которое проехал мотоциклист за время $t_1$: $S_м = v_м \cdot t_1$.
Сумма этих расстояний равна начальному расстоянию $L$:

$L = S_з + S_м = v_з \cdot t_1 + v_м \cdot t_1 = (v_з + v_м) \cdot t_1$

С другой стороны, из условия известно, что мотоциклист проехал всё расстояние $L$ до человека за время $t_2 = 36 \text{ с}$, двигаясь со своей скоростью $v_м$. Значит, расстояние $L$ также можно выразить формулой:

$L = v_м \cdot t_2$

Так как левые части обоих уравнений равны ($L$), мы можем приравнять их правые части:

$(v_з + v_м) \cdot t_1 = v_м \cdot t_2$

Теперь решим это уравнение относительно неизвестной скорости мотоциклиста $v_м$:

$v_з \cdot t_1 + v_м \cdot t_1 = v_м \cdot t_2$
$v_з \cdot t_1 = v_м \cdot t_2 - v_м \cdot t_1$
$v_з \cdot t_1 = v_м (t_2 - t_1)$
$v_м = \frac{v_з \cdot t_1}{t_2 - t_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_м = \frac{340 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с}}{36 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{680 \text{ м}}{34 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Ответ: скорость мотоциклиста равна 20 м/с.

447. Звук взрыва, произведённого в воде вблизи поверх- ности, приборы, установленные на корабле и принимающие звук по воде, зарегистрировали на 45 с раньше, чем он при- шёл по воздуху. На каком расстоянии от корабля произошёл взрыв?

Дано:

Разница во времени регистрации звука, $\Delta t = 45 \text{ с}$

Скорость звука в воздухе, $v_{воздух} \approx 340 \text{ м/с}$ (справочное значение)

Скорость звука в воде, $v_{вода} \approx 1500 \text{ м/с}$ (справочное значение для морской воды)

Найти:

Расстояние от корабля до взрыва, $S$

Решение:

Звук от взрыва распространяется до корабля двумя путями: по воздуху и по воде. Расстояние $S$, которое проходит звук в обоих случаях, одинаково.

Время, за которое звук доходит до корабля по воздуху, можно выразить формулой:

$t_{воздух} = \frac{S}{v_{воздух}}$

Время, за которое звук доходит до корабля по воде, выражается аналогично:

$t_{вода} = \frac{S}{v_{вода}}$

По условию задачи, звук по воде пришел на $\Delta t = 45 \text{ с}$ раньше, чем по воздуху. Это означает, что время движения звука по воздуху больше времени движения по воде на 45 секунд:

$t_{воздух} - t_{вода} = \Delta t$

Подставим в это уравнение выражения для $t_{воздух}$ и $t_{вода}$:

$\frac{S}{v_{воздух}} - \frac{S}{v_{вода}} = \Delta t$

Вынесем расстояние $S$ за скобки:

$S \cdot \left(\frac{1}{v_{воздух}} - \frac{1}{v_{вода}}\right) = \Delta t$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$S \cdot \left(\frac{v_{вода} - v_{воздух}}{v_{воздух} \cdot v_{вода}}\right) = \Delta t$

Теперь выразим искомое расстояние $S$:

$S = \frac{\Delta t \cdot v_{воздух} \cdot v_{вода}}{v_{вода} - v_{воздух}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$S = \frac{45 \text{ с} \cdot 340 \text{ м/с} \cdot 1500 \text{ м/с}}{1500 \text{ м/с} - 340 \text{ м/с}}$

$S = \frac{45 \cdot 510000}{1160} \text{ м} = \frac{22950000}{1160} \text{ м} \approx 19784,5 \text{ м}$

Выразим расстояние в километрах, округлив до десятых:

$19784,5 \text{ м} \approx 19,8 \text{ км}$

Ответ: расстояние от корабля до взрыва составляет примерно 19,8 км.