Номер 445, страница 62 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

445. Когда наблюдатель воспринимает по звуку, что самолёт находится в зените, он видит его под углом $\alpha = 73^\circ$ к горизонту. С какой скоростью летит самолёт?

Дано:

Угол, под которым наблюдатель видит самолёт к горизонту: $\alpha = 73^\circ$

Скорость звука в воздухе (примем стандартное значение): $c \approx 340 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость самолёта: $v$

Решение:

Когда наблюдатель слышит звук от самолёта, который в момент излучения звука находился в зените (точка А, прямо над наблюдателем), сам самолёт за время распространения звука успевает переместиться в другую точку (B). Это происходит из-за конечной скорости звука. Мы можем считать, что свет от самолёта до наблюдателя доходит мгновенно.

Пусть H — высота полёта самолёта. Время $t$, за которое звук от точки А доходит до наблюдателя O, находящегося на земле, равно: $t = \frac{H}{c}$ где $c$ — скорость звука.

За это же время $t$ самолёт, летящий с постоянной горизонтальной скоростью $v$, пролетит расстояние $S$ от точки А до точки B: $S = v \cdot t = v \frac{H}{c}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где O — наблюдатель, A — положение самолёта в зените, B — положение самолёта в момент, когда звук дошёл до наблюдателя. Угол при вершине A прямой ($\angle OAB = 90^\circ$), так как высота OA перпендикулярна горизонтальному пути самолёта AB.

Угол $\alpha = 73^\circ$, данный в условии, — это угол между линией горизонта и направлением на самолёт в точке B (линия OB). Угол $\theta$ внутри нашего треугольника при вершине O ($\angle AOB$) связан с углом $\alpha$ следующим соотношением, так как направление на зенит (OA) перпендикулярно горизонту: $\theta = 90^\circ - \alpha$

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике AOB имеем: $\tan(\theta) = \frac{AB}{OA} = \frac{S}{H}$

Подставим в это уравнение ранее полученное выражение для $S$: $\tan(\theta) = \frac{v \frac{H}{c}}{H}$

Высота H сокращается, и мы получаем простое соотношение: $\tan(\theta) = \frac{v}{c}$

Отсюда можно выразить искомую скорость самолёта $v$: $v = c \cdot \tan(\theta)$

Теперь подставим числовые значения. Сначала найдём угол $\theta$: $\theta = 90^\circ - 73^\circ = 17^\circ$

Рассчитаем скорость самолёта: $v = 340 \text{ м/с} \cdot \tan(17^\circ) \approx 340 \text{ м/с} \cdot 0.3057 \approx 103.94 \text{ м/с}$

Округлим полученное значение.

Ответ: скорость самолёта составляет примерно $104 \text{ м/с}$.