Страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

501. Во сколько раз отличается плотность метана ($\text{CH}_4$) от плотности кислорода ($\text{O}_2$) при одинаковых условиях?

Дано:

Газ 1: метан (CH₄)

Газ 2: кислород (O₂)

Условия для обоих газов одинаковы, то есть давление $p$ и температура $T$ постоянны и равны для обоих газов.

$p_1 = p_2 = p$

$T_1 = T_2 = T$

Найти:

Отношение плотностей $\frac{\rho_{O_2}}{\rho_{CH_4}}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

где $p$ — давление, $V$ — объём, $\nu$ — количество вещества (число молей), $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Количество вещества $\nu$ можно выразить через массу газа $m$ и его молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Плотность вещества $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим плотность из нашего уравнения:

$p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \implies p = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда формула для плотности газа:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

Запишем это уравнение для метана (CH₄) и кислорода (O₂):

$\rho_{CH_4} = \frac{p M_{CH_4}}{RT}$

$\rho_{O_2} = \frac{p M_{O_2}}{RT}$

Поскольку по условию задачи давление $p$ и температура $T$ для обоих газов одинаковы, мы можем найти отношение их плотностей, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{\rho_{O_2}}{\rho_{CH_4}} = \frac{\frac{p M_{O_2}}{RT}}{\frac{p M_{CH_4}}{RT}} = \frac{M_{O_2}}{M_{CH_4}}$

Таким образом, отношение плотностей газов при одинаковых условиях равно отношению их молярных масс.

Рассчитаем молярные массы метана и кислорода, используя относительные атомные массы элементов из периодической таблицы (C ≈ 12, H ≈ 1, O ≈ 16):

Молярная масса метана (CH₄):

$M_{CH_4} = M(C) + 4 \cdot M(H) = 12 + 4 \cdot 1 = 16$ г/моль.

Молярная масса кислорода (O₂):

$M_{O_2} = 2 \cdot M(O) = 2 \cdot 16 = 32$ г/моль.

Теперь найдем отношение плотностей:

$\frac{\rho_{O_2}}{\rho_{CH_4}} = \frac{32 \text{ г/моль}}{16 \text{ г/моль}} = 2$

Это означает, что плотность кислорода в 2 раза больше плотности метана.

Ответ: Плотность кислорода в 2 раза больше плотности метана при одинаковых условиях.

502. Зная плотность воздуха при нормальных условиях, найти молярную массу воздуха.

Дано

Плотность воздуха при нормальных условиях: $\rho = 1,293$ кг/м$^3$
Температура при нормальных условиях: $T_0 = 0^\circ$C
Давление при нормальных условиях: $P_0 = 1$ атм
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,314$ Дж/(моль$\cdot$К)

Перевод данных в систему СИ:
$P_0 = 1 \text{ атм} = 101325$ Па
$T_0 = 0^\circ\text{C} = 273,15$ К

Найти:

Молярная масса воздуха: $M$

Решение

Для нахождения молярной массы воздуха воспользуемся уравнением состояния идеального газа, известным как уравнение Менделеева-Клапейрона. Воздух при нормальных условиях можно с достаточной точностью считать идеальным газом.

Уравнение имеет вид: $PV = \nu RT$ где $P$ — давление, $V$ — объем, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Количество вещества $\nu$ можно выразить через массу газа $m$ и его молярную массу $M$: $\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение состояния: $PV = \frac{m}{M}RT$

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Перегруппируем члены в уравнении, чтобы выразить его через плотность: $P M = \frac{m}{V} RT \implies P M = \rho RT$

Из этого соотношения выразим искомую молярную массу $M$: $M = \frac{\rho RT}{P}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ: $M = \frac{1,293 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 273,15 \text{ К}}{101325 \text{ Па}}$

Выполним расчет: $M \approx \frac{2933,31}{101325} \approx 0,02895 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Округлим полученный результат. Часто молярную массу для удобства выражают в граммах на моль ($1$ кг/моль $= 1000$ г/моль). $M \approx 0,029 \text{ кг/моль} = 29 \text{ г/моль}$

Ответ: молярная масса воздуха составляет приблизительно $0,029$ кг/моль.

503. На поверхности Венеры температура и атмосферное давление соответственно равны 750 К и 9120 кПа. Найти плотность атмосферы у поверхности планеты, считая, что она состоит из углекислого газа.

Дано:

Найти:

Решение:

Для определения плотности атмосферы будем считать ее идеальным газом и воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$p V = \frac{m}{M} R T$

где $p$ — давление газа, $V$ — его объём, $m$ — масса, $M$ — молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется по формуле:

$\rho = \frac{m}{V}$

Выразим плотность из уравнения состояния. Для этого преобразуем его:

$p = \frac{m}{V} \frac{R T}{M}$

Подставив выражение для плотности, получаем:

$p = \rho \frac{R T}{M}$

Отсюда находим формулу для вычисления плотности:

$\rho = \frac{p M}{R T}$

Найдем молярную массу углекислого газа $CO_2$. Она состоит из атомной массы углерода (C) и двух атомных масс кислорода (O). Используя таблицу Менделеева, получаем:

$M(C) \approx 12 \text{ г/моль}$

$M(O) \approx 16 \text{ г/моль}$

$M(CO_2) = M(C) + 2 \cdot M(O) = 12 + 2 \cdot 16 = 44 \text{ г/моль}$

Переведем молярную массу в систему СИ:

$M = 44 \text{ г/моль} = 0.044 \text{ кг/моль}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для плотности:

$\rho = \frac{9.12 \times 10^6 \text{ Па} \cdot 0.044 \text{ кг/моль}}{8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 750 \text{ К}}$

$\rho = \frac{401280}{6232.5} \approx 64.38 \text{ кг/м}^3$

Округлим результат до одного знака после запятой.

$\rho \approx 64.4 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность атмосферы у поверхности Венеры равна примерно $64.4 \text{ кг/м}^3$.

504. Какова при нормальных условиях плотность смеси газов, состоящей из азота ($N_2$) массой 56 г и углекислого газа ($CO_2$) массой 44 г?

Дано:

Найти:

Решение:

Плотность ($\rho$) вещества или смеси определяется как отношение массы ($m$) к объему ($V$). Для нашей смеси газов формула выглядит так:

$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}}$

1. Сначала найдем общую массу смеси. Она равна сумме масс составляющих ее газов:

$m_{смеси} = m(N_2) + m(CO_2) = 56 \text{ г} + 44 \text{ г} = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

2. Далее найдем общий объем, который занимает эта смесь газов при нормальных условиях (н.у.). Нормальные условия — это температура $0^\circ \text{C}$ ($273.15 \text{ К}$) и давление $1 \text{ атм}$ ($101325 \text{ Па}$). Согласно закону Авогадро, при нормальных условиях $1$ моль любого идеального газа занимает объем, равный молярному объему $V_m = 22.4 \text{ л/моль}$.

Общий объем смеси можно найти, умножив общее количество вещества смеси ($\nu_{смеси}$) на молярный объем:

$V_{смеси} = \nu_{смеси} \cdot V_m$

Чтобы найти общее количество вещества, нужно сложить количества веществ каждого газа в смеси:

$\nu_{смеси} = \nu(N_2) + \nu(CO_2)$

3. Рассчитаем количество вещества ($\nu$) для каждого газа по формуле $\nu = m/M$, где $M$ — молярная масса.

Молярная масса молекулярного азота ($N_2$):

$M(N_2) = 2 \cdot 14.007 \frac{\text{г}}{\text{моль}} \approx 28 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Количество вещества азота:

$\nu(N_2) = \frac{m(N_2)}{M(N_2)} = \frac{56 \text{ г}}{28 \text{ г/моль}} = 2 \text{ моль}$

Молярная масса углекислого газа ($CO_2$):

$M(CO_2) = 12.011 + 2 \cdot 15.999 \frac{\text{г}}{\text{моль}} \approx 44 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Количество вещества углекислого газа:

$\nu(CO_2) = \frac{m(CO_2)}{M(CO_2)} = \frac{44 \text{ г}}{44 \text{ г/моль}} = 1 \text{ моль}$

4. Теперь найдем общее количество вещества в смеси:

$\nu_{смеси} = 2 \text{ моль} + 1 \text{ моль} = 3 \text{ моль}$

5. Зная общее количество вещества, вычислим общий объем смеси при н.у.:

$V_{смеси} = 3 \text{ моль} \cdot 22.4 \frac{\text{л}}{\text{моль}} = 67.2 \text{ л}$

Переведем объем в единицы СИ (кубические метры), зная, что $1 \text{ л} = 10^{-3} \text{ м}^3$:

$V_{смеси} = 67.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.0672 \text{ м}^3$

6. Наконец, можем рассчитать плотность смеси, разделив общую массу на общий объем:

$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{0.1 \text{ кг}}{0.0672 \text{ м}^3} \approx 1.488095... \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ:

плотность смеси газов при нормальных условиях составляет примерно $1.49 \text{ кг/м}^3$.

505. В комнате площадью $S = 20 \text{ м}^2$ и высотой $h = 2,5 \text{ м}$ температура воздуха повысилась с $T_1 = 288 \text{ К}$ до $T_2 = 298 \text{ К}$. Давление постоянно и равно $p = 100 \text{ кПа}$. На какую величину $\Delta m$ уменьшилась масса воздуха в комнате?

Дано:

$S = 20 \text{ м}^2$

$h = 2,5 \text{ м}$

$T_1 = 288 \text{ К}$

$T_2 = 298 \text{ К}$

$p = 100 \text{ кПа}$

Молярная масса воздуха $M \approx 0,029 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Перевод в систему СИ:

$p = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta m$

Решение:

Поскольку комната не является герметичной (иначе при нагревании росло бы давление), при повышении температуры часть воздуха выходит наружу. Это позволяет давлению внутри комнаты оставаться постоянным и равным атмосферному. В результате масса воздуха в комнате уменьшается.

1. Сначала найдем объем комнаты $V$, умножив ее площадь на высоту:

$V = S \cdot h = 20 \text{ м}^2 \cdot 2,5 \text{ м} = 50 \text{ м}^3$

2. Для нахождения массы воздуха воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = nRT$

где $n$ — количество вещества, которое можно выразить через массу $m$ и молярную массу $M$ как $n = \frac{m}{M}$.

Подставим это в уравнение:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Из этого уравнения выразим массу воздуха $m$ в комнате:

$m = \frac{pVM}{RT}$

3. Рассчитаем начальную массу воздуха $m_1$ в комнате при температуре $T_1 = 288 \text{ К}$:

$m_1 = \frac{pVM}{RT_1}$

4. Рассчитаем конечную массу воздуха $m_2$ в комнате после нагрева до температуры $T_2 = 298 \text{ К}$:

$m_2 = \frac{pVM}{RT_2}$

5. Уменьшение массы воздуха $\Delta m$ равно разности между начальной и конечной массами:

$\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{pVM}{RT_1} - \frac{pVM}{RT_2}$

Вынесем общие множители за скобки для удобства расчетов:

$\Delta m = \frac{pVM}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{pVM}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу и выполним вычисления:

$\Delta m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 50 \text{ м}^3 \cdot 0,029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} \left( \frac{298 \text{ К} - 288 \text{ К}}{288 \text{ К} \cdot 298 \text{ К}} \right)$

$\Delta m = \frac{145000}{8,31} \left( \frac{10}{85824} \right) \text{ кг}$

$\Delta m \approx 17448,86 \cdot 0,0001165 \text{ кг} \approx 2,033 \text{ кг}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: масса воздуха в комнате уменьшилась на величину $\Delta m \approx 2,03$ кг.

506*. Шар объёмом $V = 0,1 \text{ м}^3$, сделанный из тонкой бумаги, наполняют горячим воздухом, имеющим температуру $T_2 = 340 \text{ К}$. Температура окружающего воздуха $T_1 = 290 \text{ К}$. Давление воздуха $p$ внутри шара и атмосферное давление одинаковы и равны $100 \text{ кПа}$. При каком значении массы $m$ бумажной оболочки шар будет подниматься?

Дано:

$V = 0,1 \text{ м}^3$
$T_2 = 340 \text{ К}$ (температура горячего воздуха)
$T_1 = 290 \text{ К}$ (температура окружающего воздуха)
$p = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
Молярная масса воздуха $\mu \approx 0,029 \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

При каком значении массы $m$ шар будет подниматься.

Решение:

Шар будет подниматься, если действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ будет больше суммарной силы тяжести, действующей на оболочку шара ($F_{g, \text{об}}$) и на горячий воздух внутри него ($F_{g, \text{возд}}$). Предельным случаем, при котором шар только начнет подниматься, является равенство этих сил.

Запишем условие начала подъема:
$F_A = F_{g, \text{об}} + F_{g, \text{возд}}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного шаром окружающего воздуха:
$F_A = \rho_1 V g$
где $\rho_1$ — плотность окружающего (холодного) воздуха, $V$ — объем шара, $g$ — ускорение свободного падения.

Сила тяжести оболочки:
$F_{g, \text{об}} = m g$
где $m$ — искомая масса оболочки.

Сила тяжести горячего воздуха внутри шара:
$F_{g, \text{возд}} = m_2 g = \rho_2 V g$
где $m_2$ — масса, а $\rho_2$ — плотность горячего воздуха внутри шара.

Подставим выражения для сил в условие равновесия:
$\rho_1 V g = m g + \rho_2 V g$
Сократив на $g$, получим выражение для предельной массы оболочки:
$m = \rho_1 V - \rho_2 V = (\rho_1 - \rho_2)V$

Плотности холодного ($\rho_1$) и горячего ($\rho_2$) воздуха найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона). Из уравнения $p V = \frac{m_{газа}}{\mu} R T$ следует, что плотность газа $\rho = \frac{m_{газа}}{V} = \frac{p\mu}{RT}$.
Плотность окружающего воздуха:
$\rho_1 = \frac{p\mu}{RT_1}$
Плотность горячего воздуха внутри шара:
$\rho_2 = \frac{p\mu}{RT_2}$

Подставим выражения для плотностей в формулу для массы оболочки:
$m = \left( \frac{p\mu}{RT_1} - \frac{p\mu}{RT_2} \right) V = \frac{p\mu V}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

Подставим числовые значения и произведем расчет предельной массы:
$m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 0,029 \text{ кг/моль} \cdot 0,1 \text{ м}^3}{8,31 \text{ Дж/(моль·К)}} \left( \frac{1}{290 \text{ К}} - \frac{1}{340 \text{ К}} \right)$
$m = \frac{290}{8,31} \left( \frac{340 - 290}{290 \cdot 340} \right) = \frac{290}{8,31} \cdot \frac{50}{98600}$
$m \approx 34,9 \cdot 0,000507 \approx 0,0177 \text{ кг}$

Это предельная масса оболочки. Шар будет подниматься, если масса его оболочки будет меньше этого значения.

Ответ: Шар будет подниматься при массе бумажной оболочки $m < 0,0177 \text{ кг}$ (то есть, меньше $17,7 \text{ г}$).

507. Газ при давлении 0,2 МПа и температуре 15 °С имеет объём 5 л. Чему равен объём газа этой массы при нормальных условиях?

Дано:

$p_1 = 0,2 \text{ МПа}$
$t_1 = 15 \text{ °C}$
$V_1 = 5 \text{ л}$
Конечное состояние газа — нормальные условия (н.у.).

Перевод в систему СИ и определение параметров для н.у.:
$p_1 = 0,2 \cdot 10^6 \text{ Па} = 200000 \text{ Па}$
$T_1 = 15 + 273 = 288 \text{ К}$
$V_1 = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Нормальное давление $p_2 = 101325 \text{ Па}$
Нормальная температура $T_2 = 0 + 273 = 273 \text{ К}$

Найти:

$V_2$

Решение:

Поскольку в задаче указано, что масса газа не меняется ($m = \text{const}$), для описания перехода газа из одного состояния в другое можно использовать объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона для двух состояний):$$ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} $$где $p$, $V$ и $T$ — давление, объем и абсолютная температура газа соответственно, а индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному состояниям.

Выразим из этого уравнения искомый объем $V_2$ газа при нормальных условиях:$$ V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} $$

Подставим в формулу числовые значения в системе СИ:$$ V_2 = (5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot \frac{200000 \text{ Па}}{101325 \text{ Па}} \cdot \frac{273 \text{ К}}{288 \text{ К}} $$

Произведем вычисления:$$ V_2 \approx 5 \cdot 10^{-3} \cdot 1,9738 \cdot 0,9479 \approx 0,009355 \text{ м}^3 $$

Для наглядности переведем полученный результат из кубических метров в литры, зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$:$$ V_2 \approx 0,009355 \cdot 1000 \text{ л} = 9,355 \text{ л} $$Округляя результат до сотых, получаем $V_2 \approx 9,36 \text{ л}$.

Ответ: объем газа этой массы при нормальных условиях равен $9,36 \text{ л}$.

508. Какое давление рабочей смеси устанавливается в цилиндрах двигателя автомобиля ЗИЛ-130, если к концу такта сжатия температура повышается с 50 до 250 °C, а объём уменьшается с 0,75 до 0,12 л? Первоначальное давление равно 80 кПа.

Дано:

$t_1 = 50 °C$
$t_2 = 250 °C$
$V_1 = 0,75$ л
$V_2 = 0,12$ л
$p_1 = 80$ кПа

Перевод в систему СИ:
$T_1 = t_1 + 273,15 = 50 + 273,15 = 323,15$ К
$T_2 = t_2 + 273,15 = 250 + 273,15 = 523,15$ К
$V_1 = 0,75 \text{ л} = 0,75 \times 10^{-3} \text{ м}^3$
$V_2 = 0,12 \text{ л} = 0,12 \times 10^{-3} \text{ м}^3$
$p_1 = 80 \text{ кПа} = 80 \times 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$p_2$

Решение:

Процесс сжатия рабочей смеси в цилиндре двигателя можно описать, используя объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона), так как масса газа остается постоянной. Этот закон связывает давление, объем и температуру газа в двух состояниях.

Запишем уравнение состояния для идеального газа для начального (1) и конечного (2) состояний:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Из этого уравнения выразим конечное давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Для удобства вычислений можно оставить давление в килопаскалях, а объемы в литрах, так как их отношение безразмерно. Температуру необходимо использовать в кельвинах.

$p_2 = 80 \text{ кПа} \cdot \frac{0,75 \text{ л}}{0,12 \text{ л}} \cdot \frac{523,15 \text{ К}}{323,15 \text{ К}}$

$p_2 = 80 \cdot 6,25 \cdot 1,6188... \text{ кПа}$

$p_2 = 500 \cdot 1,6188... \text{ кПа} \approx 809,4$ кПа

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность.

$p_2 \approx 810$ кПа

Ответ: давление рабочей смеси устанавливается примерно $810$ кПа.

509. Метан подают по газопроводу при давлении 405,2 кПа и температуре 300 К, причём через поперечное сечение трубы площадью 8 $\text{см}^2$ за 20 мин проходит 8,4 кг газа. Определить скорость протекания газа по трубе.

Дано:

Давление, $p = 405,2 \text{ кПа} = 405,2 \cdot 10^3 \text{ Па}$
Температура, $T = 300 \text{ К}$
Площадь поперечного сечения, $S = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
Время, $t = 20 \text{ мин} = 1200 \text{ с}$
Масса газа, $m = 8,4 \text{ кг}$
Газ: метан (CH₄)
Молярная масса метана, $M = 16 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Скорость протекания газа, $v$.

Решение:

Масса газа $m$, которая проходит через поперечное сечение трубы $S$ за время $t$, связана со скоростью потока $v$ и плотностью газа $\rho$. Объем газа $V$, прошедшего через сечение за время $t$, равен произведению площади сечения на расстояние, которое прошел газ ($L=v \cdot t$):

$V = S \cdot v \cdot t$

Масса этого объема газа вычисляется по формуле:

$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot v \cdot t$

Из этого соотношения мы можем выразить искомую скорость $v$:

$v = \frac{m}{\rho S t}$

Плотность газа $\rho$ при заданных давлении и температуре можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$p V = \frac{m}{M} R T$

Поскольку плотность по определению равна $\rho = \frac{m}{V}$, мы можем преобразовать уравнение состояния для выражения плотности:

$p = \frac{m}{V} \frac{R T}{M} \implies p = \rho \frac{R T}{M}$

Отсюда находим выражение для плотности:

$\rho = \frac{p M}{R T}$

Теперь подставим полученное выражение для плотности в формулу для скорости:

$v = \frac{m}{(\frac{p M}{R T}) S t} = \frac{m R T}{p M S t}$

Подставим числовые значения из условия задачи в итоговую формулу для расчета скорости:

$v = \frac{8,4 \text{ кг} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{405,2 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 16 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 1200 \text{ с}}$

Выполним вычисления:

$v = \frac{20941,2}{6223,872} \approx 3,365 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точными данными в условии), получаем:

$v \approx 3,4 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 3,4 \text{ м/с}$.

Определить скорость пролетания газа по трубе.

510. В цилиндре дизельного двигателя автомобиля КАМАЗ-5320 температура воздуха в начале такта сжатия была 50 °C. Найти температуру воздуха в конце такта, если его объём уменьшается в 17 раз, а давление возрастает в 50 раз.

Дано:

$t_1 = 50 \text{ °C}$

$\frac{V_1}{V_2} = 17$

$\frac{p_2}{p_1} = 50$

$T_1 = 50 + 273 = 323 \text{ К}$

Найти:

$t_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся объединенным газовым законом, который связывает параметры состояния идеального газа (давление, объем и температуру). Процесс сжатия воздуха в цилиндре можно описать этим законом, так как масса воздуха остается постоянной. Формула объединенного газового закона имеет вид:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Здесь $p_1, V_1, T_1$ — начальные давление, объем и абсолютная температура воздуха, а $p_2, V_2, T_2$ — конечные параметры. Важно отметить, что температура в этой формуле должна быть выражена в Кельвинах (К).

Начальная температура воздуха дана в градусах Цельсия, переведем ее в Кельвины:

$T_1 = t_1 + 273 = 50 + 273 = 323 \text{ К}$

Выразим конечную температуру $T_2$ из уравнения объединенного газового закона:

$T_2 = \frac{p_2 V_2 T_1}{p_1 V_1}$

Перегруппируем множители для удобства подстановки известных соотношений:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{V_2}{V_1}$

Из условия задачи нам известно, что объем уменьшается в 17 раз, то есть $\frac{V_1}{V_2} = 17$, откуда следует, что $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{17}$. Давление возрастает в 50 раз, то есть $\frac{p_2}{p_1} = 50$.

Подставим известные значения в формулу для $T_2$:

$T_2 = 323 \text{ К} \cdot 50 \cdot \frac{1}{17}$

Произведем вычисления:

$T_2 = \frac{323 \cdot 50}{17} = 19 \cdot 50 = 950 \text{ К}$

Мы нашли конечную температуру в Кельвинах. Чтобы получить ответ в градусах Цельсия, как было дано в условии, выполним обратное преобразование:

$t_2 = T_2 - 273 = 950 - 273 = 677 \text{ °C}$

Ответ: 677 °C.