Номер 506, страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

24. Уравнения состояния идеального газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 506, страница 69.

Условие.

506*. Шар объёмом $V = 0,1 \text{ м}^3$, сделанный из тонкой бумаги, наполняют горячим воздухом, имеющим температуру $T_2 = 340 \text{ К}$. Температура окружающего воздуха $T_1 = 290 \text{ К}$. Давление воздуха $p$ внутри шара и атмосферное давление одинаковы и равны $100 \text{ кПа}$. При каком значении массы $m$ бумажной оболочки шар будет подниматься?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$V = 0,1 \text{ м}^3$
$T_2 = 340 \text{ К}$ (температура горячего воздуха)
$T_1 = 290 \text{ К}$ (температура окружающего воздуха)
$p = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
Молярная масса воздуха $\mu \approx 0,029 \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

При каком значении массы $m$ шар будет подниматься.

Решение:

Шар будет подниматься, если действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ будет больше суммарной силы тяжести, действующей на оболочку шара ($F_{g, \text{об}}$) и на горячий воздух внутри него ($F_{g, \text{возд}}$). Предельным случаем, при котором шар только начнет подниматься, является равенство этих сил.

Запишем условие начала подъема:
$F_A = F_{g, \text{об}} + F_{g, \text{возд}}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного шаром окружающего воздуха:
$F_A = \rho_1 V g$
где $\rho_1$ — плотность окружающего (холодного) воздуха, $V$ — объем шара, $g$ — ускорение свободного падения.

Сила тяжести оболочки:
$F_{g, \text{об}} = m g$
где $m$ — искомая масса оболочки.

Сила тяжести горячего воздуха внутри шара:
$F_{g, \text{возд}} = m_2 g = \rho_2 V g$
где $m_2$ — масса, а $\rho_2$ — плотность горячего воздуха внутри шара.

Подставим выражения для сил в условие равновесия:
$\rho_1 V g = m g + \rho_2 V g$
Сократив на $g$, получим выражение для предельной массы оболочки:
$m = \rho_1 V - \rho_2 V = (\rho_1 - \rho_2)V$

Плотности холодного ($\rho_1$) и горячего ($\rho_2$) воздуха найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона). Из уравнения $p V = \frac{m_{газа}}{\mu} R T$ следует, что плотность газа $\rho = \frac{m_{газа}}{V} = \frac{p\mu}{RT}$.
Плотность окружающего воздуха:
$\rho_1 = \frac{p\mu}{RT_1}$
Плотность горячего воздуха внутри шара:
$\rho_2 = \frac{p\mu}{RT_2}$

Подставим выражения для плотностей в формулу для массы оболочки:
$m = \left( \frac{p\mu}{RT_1} - \frac{p\mu}{RT_2} \right) V = \frac{p\mu V}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

Подставим числовые значения и произведем расчет предельной массы:
$m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 0,029 \text{ кг/моль} \cdot 0,1 \text{ м}^3}{8,31 \text{ Дж/(моль·К)}} \left( \frac{1}{290 \text{ К}} - \frac{1}{340 \text{ К}} \right)$
$m = \frac{290}{8,31} \left( \frac{340 - 290}{290 \cdot 340} \right) = \frac{290}{8,31} \cdot \frac{50}{98600}$
$m \approx 34,9 \cdot 0,000507 \approx 0,0177 \text{ кг}$

Это предельная масса оболочки. Шар будет подниматься, если масса его оболочки будет меньше этого значения.

Ответ: Шар будет подниматься при массе бумажной оболочки $m < 0,0177 \text{ кг}$ (то есть, меньше $17,7 \text{ г}$).