Страница 72 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

526. Какова плотность сжатого воздуха при температуре $0^\circ \text{C}$ в камере колеса автомобиля, если он находится под давлением $0.17 \text{ МПа}$ (избыточным над атмосферным)?

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Для нахождения плотности воздуха воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ – абсолютное давление газа, $V$ – его объем, $m$ – масса, $M$ – молярная масса, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Плотность газа определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим плотность из уравнения состояния:

$p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M}$

$p = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда формула для плотности:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

В задаче дано избыточное давление $p_{изб}$ – это давление сверх атмосферного. Абсолютное давление $p$ в камере колеса равно сумме избыточного и атмосферного давлений:

$p = p_{изб} + p_{атм}$

Подставим числовые значения:

$p = 1.7 \cdot 10^5\ Па + 1 \cdot 10^5\ Па = 2.7 \cdot 10^5\ Па$

Теперь мы можем рассчитать плотность сжатого воздуха:

$\rho = \frac{2.7 \cdot 10^5\ Па \cdot 0.029\ кг/моль}{8.31\ Дж/(моль \cdot К) \cdot 273\ К} \approx \frac{7830}{2269.83}\ кг/м^3 \approx 3.45\ кг/м^3$

Ответ: плотность сжатого воздуха в камере колеса составляет приблизительно $3.45\ кг/м^3$.

527. Какой объём займёт газ при температуре 77 °C, если при температуре 27 °C его объём был 6 л?

Дано:

$t_1 = 27$ °C
$V_1 = 6$ л
$t_2 = 77$ °C
$p = \text{const}$ (процесс изобарный)

$T_1 = 27 + 273 = 300$ К
$V_1 = 6 \times 10^{-3}$ м$^3$
$T_2 = 77 + 273 = 350$ К

Найти:

$V_2$

Решение:

Поскольку процесс происходит при постоянном давлении (изобарный процесс), мы можем применить закон Гей-Люссака. Этот закон гласит, что для данной массы газа при постоянном давлении отношение объёма к абсолютной температуре является постоянной величиной.

Математически это выражается формулой:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

где $V_1$ и $T_1$ — начальные объём и абсолютная температура, а $V_2$ и $T_2$ — конечные объём и абсолютная температура. Температура должна быть выражена в Кельвинах (К).

Переведём заданные температуры из шкалы Цельсия в шкалу Кельвина:

$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300$ К

$T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350$ К

Теперь выразим искомый объём $V_2$ из формулы закона Гей-Люссака:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим известные значения в формулу. Можно проводить вычисления, оставив объём в литрах, так как единицы измерения температуры (Кельвины) сократятся, и результат для объёма получится в тех же единицах, в которых он был дан изначально (литры).

$V_2 = 6 \text{ л} \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}$

$V_2 = 6 \cdot \frac{35}{30} = 6 \cdot \frac{7}{6} = 7$ л

Таким образом, при температуре 77 °C газ займёт объём 7 литров.

Ответ: 7 л.

528. В классе был показан такой опыт. Стеклянный баллон (рис. 60, а), в который вставлена открытая с обоих концов трубка, нагревался на спиртовке. Затем конец трубки был опущен в воду. Вода начала подниматься по трубке и бить фонтанчиком (рис. 60, б). До какой температуры был нагрет воздух, если в баллон вошла вода, заполнившая его на 20 % ? Температура воздуха в классе 20 °С.

Рис. 60

Будем считать, что давление воздуха в баллоне в процессе нагревания и после остывания равно атмосферному, так как баллон соединен с атмосферой. Процесс охлаждения воздуха в колбе можно считать изобарным.

Дано:

$V_{воды} = 20\% V_{баллона} = 0.2 V$
$t_2 = 20 \,^{\circ}\text{C}$

$T_2 = 20 + 273 = 293 \, \text{К}$

Найти:

$t_1$

Решение:

При нагревании воздух в баллоне расширяется и часть его выходит наружу. Давление внутри баллона остается равным атмосферному. Обозначим искомую температуру нагретого воздуха как $T_1$. В этот момент весь объем баллона $V_1 = V$ был занят воздухом при температуре $T_1$.

Когда конец трубки опускают в воду, баллон и воздух внутри него начинают остывать до температуры в классе $T_2$. При остывании давление воздуха внутри падает, и под действием внешнего атмосферного давления вода засасывается в баллон до тех пор, пока давление внутри снова не сравняется с атмосферным (пренебрегая гидростатическим давлением столба воды и давлением насыщенных паров).

По условию, вода заполнила 20% объема баллона. Следовательно, оставшийся в баллоне воздух при температуре $T_2$ занял объем: $V_2 = V - 0.2V = 0.8V$

Масса воздуха, которая осталась в баллоне, при температуре $T_1$ занимала весь объем $V_1 = V$. При остывании до температуры $T_2$ эта же масса воздуха стала занимать объем $V_2 = 0.8V$.

Поскольку процесс охлаждения воздуха происходит при постоянном давлении (изобарный процесс), мы можем применить закон Гей-Люссака: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Выразим отсюда искомую температуру $T_1$: $T_1 = T_2 \cdot \frac{V_1}{V_2}$

Подставим известные значения: $T_1 = 293 \, \text{К} \cdot \frac{V}{0.8V} = \frac{293}{0.8} \, \text{К} = 366.25 \, \text{К}$

Теперь переведем температуру из кельвинов в градусы Цельсия: $t_1 = T_1 - 273 = 366.25 - 273 = 93.25 \,^{\circ}\text{C}$

Ответ: воздух был нагрет до температуры $93.25 \,^{\circ}\text{C}$.

529. При увеличении абсолютной температуры в 1,4 раза объём газа увеличился на $40 \text{ см}^3$. Найти первоначальный объём газа.

Дано:

Отношение конечной и начальной абсолютных температур: $T_2 / T_1 = 1,4$
Увеличение объёма газа: $\Delta V = 40 \text{ см}^3$

$ \Delta V = 40 \text{ см}^3 = 40 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 40 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 4 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 $

Найти:

Первоначальный объём газа $V_1$.

Решение:

Так как в условии задачи не указано изменение давления, будем считать процесс изобарным, то есть происходящим при постоянном давлении ($p = \text{const}$). Для изобарного процесса применяется закон Гей-Люссака, который устанавливает прямую пропорциональность между объёмом и абсолютной температурой газа:

$ \frac{V}{T} = \text{const} $

Это соотношение можно записать для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа:

$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $

Из условия задачи нам известно, что:

Конечная температура $T_2$ в 1,4 раза больше начальной $T_1$:

$ T_2 = 1,4 \cdot T_1 $

Конечный объём $V_2$ больше начального $V_1$ на величину $\Delta V$:

$ V_2 = V_1 + \Delta V $

Подставим эти выражения в уравнение закона Гей-Люссака:

$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_1 + \Delta V}{1,4 \cdot T_1} $

Поскольку $T_1$ находится в знаменателе обеих частей уравнения и не равна нулю (так как это абсолютная температура), мы можем на нее сократить:

$ V_1 = \frac{V_1 + \Delta V}{1,4} $

Для решения этого уравнения относительно $V_1$, умножим обе части на 1,4:

$ 1,4 \cdot V_1 = V_1 + \Delta V $

Перенесем $V_1$ из правой части в левую:

$ 1,4 \cdot V_1 - V_1 = \Delta V $

$ 0,4 \cdot V_1 = \Delta V $

Теперь выразим искомый первоначальный объём $V_1$:

$ V_1 = \frac{\Delta V}{0,4} $

Подставим в полученную формулу числовое значение $\Delta V = 40 \text{ см}^3$:

$ V_1 = \frac{40 \text{ см}^3}{0,4} = 100 \text{ см}^3 $

Ответ: первоначальный объём газа равен $100 \text{ см}^3$.

530. Температура воздуха в цилиндре (см. рис. 58) 7 °С. На сколько переместится поршень при нагревании воздуха на 20 К, если $l = 14 \text{ см}$?

Дано:

Найти:

Решение:

Поскольку поршень в цилиндре может перемещаться свободно, давление воздуха внутри цилиндра будет оставаться постоянным в процессе нагревания. Такой процесс называется изобарным.

Для изобарного процесса применим закон Гей-Люссака, который устанавливает прямую пропорциональность между объемом газа и его абсолютной температурой:

$\frac{V}{T} = \text{const}$

Запишем это соотношение для начального (1) и конечного (2) состояний воздуха в цилиндре:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Объем воздуха в цилиндре можно выразить через площадь поперечного сечения поршня $S$ и длину столба воздуха $l$: $V = S \cdot l$. Подставим это в уравнение:

$\frac{S \cdot l_1}{T_1} = \frac{S \cdot l_2}{T_2}$

Сократив площадь $S$, получим соотношение между длинами и абсолютными температурами:

$\frac{l_1}{T_1} = \frac{l_2}{T_2}$

Перемещение поршня $\Delta l$ — это разница между конечной и начальной длиной столба воздуха: $\Delta l = l_2 - l_1$.

Из соотношения выше выразим конечную длину $l_2$:

$l_2 = l_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Теперь найдем перемещение $\Delta l$:

$\Delta l = l_2 - l_1 = l_1 \frac{T_2}{T_1} - l_1 = l_1 \left( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right) = l_1 \frac{T_2 - T_1}{T_1}$

Разность температур $T_2 - T_1$ — это и есть данное в условии изменение температуры $\Delta T$. Таким образом, итоговая формула для расчета:

$\Delta l = \frac{l_1 \Delta T}{T_1}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta l = \frac{0.14 \, \text{м} \cdot 20 \, \text{К}}{280 \, \text{К}} = \frac{0.14 \cdot 1}{14} \, \text{м} = 0.01 \, \text{м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.01 \, \text{м} = 1 \, \text{см}$.

Ответ: поршень переместится на $1 \, \text{см}$.

531. Какова была начальная температура воздуха, если при нагревании его на 3 К объём увеличился на 1% от первоначального?

Дано:

Изменение температуры, $\Delta T = 3 \text{ К}$
Увеличение объема, $\frac{\Delta V}{V_1} = 1\% = 0.01$
Процесс изобарный, $p = \text{const}$

Найти:

Начальная температура, $T_1$

Решение:

Поскольку процесс нагревания воздуха происходит при постоянном давлении (изобарный процесс), мы можем использовать закон Гей-Люссака, который связывает объем и абсолютную температуру идеального газа:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Где $V_1$ и $T_1$ — начальные объем и температура, а $V_2$ и $T_2$ — конечные объем и температура.

Из условий задачи нам известно, что:

Конечная температура $T_2$ равна начальной температуре плюс изменение температуры:

$T_2 = T_1 + \Delta T = T_1 + 3 \text{ К}$

Конечный объем $V_2$ увеличился на 1% от первоначального объема $V_1$:

$V_2 = V_1 + 0.01 V_1 = 1.01 V_1$

Подставим эти выражения в уравнение закона Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{1.01 V_1}{T_1 + 3}$

Сократим $V_1$ в обеих частях уравнения, так как $V_1 \neq 0$:

$\frac{1}{T_1} = \frac{1.01}{T_1 + 3}$

Теперь решим это уравнение относительно $T_1$. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (T_1 + 3) = 1.01 \cdot T_1$

$T_1 + 3 = 1.01 T_1$

Перенесем члены с $T_1$ в одну сторону:

$3 = 1.01 T_1 - T_1$

$3 = (1.01 - 1) T_1$

$3 = 0.01 T_1$

Отсюда находим начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{3}{0.01} = 300 \text{ К}$

Ответ: начальная температура воздуха была 300 К.

532. Какова зависимость между плотностью газа и абсолютной температурой при изобарном процессе?

Решение

Для того чтобы определить зависимость между плотностью газа и абсолютной температурой при изобарном процессе, воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $P$ – давление газа, $V$ – его объем, $m$ – масса, $M$ – молярная масса, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $T$ – абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение его массы к объему:

$\rho = \frac{m}{V}$

Из этой формулы можно выразить объем: $V = \frac{m}{\rho}$.

Теперь подставим это выражение для объема в уравнение состояния идеального газа:

$P \left(\frac{m}{\rho}\right) = \frac{m}{M}RT$

Поскольку масса газа $m$ в процессе не изменяется, мы можем сократить её в обеих частях уравнения:

$\frac{P}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Выразим плотность $\rho$ из полученного соотношения:

$\rho = \frac{PM}{RT}$

Изобарный процесс — это процесс, который происходит при постоянном давлении ($P = \text{const}$). Также молярная масса газа $M$ и универсальная газовая постоянная $R$ являются постоянными величинами. Следовательно, вся дробь $\frac{PM}{R}$ является константой.

Таким образом, мы видим, что плотность газа $\rho$ обратно пропорциональна абсолютной температуре $T$:

$\rho \propto \frac{1}{T}$

Это означает, что при постоянном давлении с увеличением абсолютной температуры плотность газа уменьшается, а с уменьшением температуры — увеличивается.

Ответ: При изобарном процессе плотность газа обратно пропорциональна его абсолютной температуре.

533. До какой температуры при нормальном атмосферном давлении надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности азота при нормальных условиях?

Дано:

Давление кислорода и азота равно нормальному атмосферному давлению: $P_{O_2} = P_{N_2} = P_{н.у.} = 101325$ Па.

Азот находится при нормальных условиях, следовательно, его температура $T_{N_2} = T_{н.у.} = 0$ °C.

По условию задачи, плотность нагретого кислорода должна стать равной плотности азота при нормальных условиях: $\rho_{O_2} = \rho_{N_2}$.

Молярная масса кислорода ($O_2$): $M_{O_2} = 0.032$ кг/моль.

Молярная масса азота ($N_2$): $M_{N_2} = 0.028$ кг/моль.

Универсальная газовая постоянная: $R = 8.31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$T_{O_2}$ — конечная температура кислорода.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $P$ — давление газа, $V$ — его объем, $m$ — масса, $M$ — молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим плотность из уравнения состояния:

$P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \Rightarrow P = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда формула для плотности:

$\rho = \frac{PM}{RT}$

Запишем выражения для плотности азота при нормальных условиях и для плотности кислорода при искомой температуре $T_{O_2}$ и нормальном давлении.

Плотность азота:

$\rho_{N_2} = \frac{P_{н.у.} M_{N_2}}{R T_{н.у.}}$

Плотность кислорода:

$\rho_{O_2} = \frac{P_{н.у.} M_{O_2}}{R T_{O_2}}$

Согласно условию задачи, плотности должны быть равны: $\rho_{O_2} = \rho_{N_2}$.

$\frac{P_{н.у.} M_{O_2}}{R T_{O_2}} = \frac{P_{н.у.} M_{N_2}}{R T_{н.у.}}$

Сократим одинаковые множители ($P_{н.у.}$ и $R$) в обеих частях уравнения:

$\frac{M_{O_2}}{T_{O_2}} = \frac{M_{N_2}}{T_{н.у.}}$

Выразим искомую температуру $T_{O_2}$:

$T_{O_2} = T_{н.у.} \frac{M_{O_2}}{M_{N_2}}$

Подставим числовые значения:

$T_{O_2} = 273 \text{ К} \cdot \frac{0.032 \text{ кг/моль}}{0.028 \text{ кг/моль}} = 273 \cdot \frac{32}{28} = 273 \cdot \frac{8}{7} \text{ К}$

$T_{O_2} = 39 \cdot 8 = 312 \text{ К}$

Переведем температуру в градусы Цельсия:

$t_{O_2} = T_{O_2} - 273 = 312 - 273 = 39$ °C.

Ответ: кислород надо нагреть до температуры $312 \text{ К}$ или $39 \text{ °C}$.

534. Почему аэростаты окрашивают в серебристый цвет?

Решение

Аэростаты окрашивают в серебристый цвет с целью терморегуляции, то есть для поддержания как можно более стабильной температуры подъемного газа внутри оболочки. Это напрямую связано с тем, как разные поверхности взаимодействуют с тепловым излучением.

Серебристые, блестящие поверхности обладают высокой отражательной способностью. Это означает, что они отражают большую часть падающего на них солнечного света и, следовательно, поглощают очень мало тепловой энергии. В дневное время, когда аэростат подвергается интенсивному солнечному излучению, темная поверхность сильно бы нагревалась. Нагрев оболочки привел бы к нагреву находящегося внутри газа (гелия, водорода или воздуха). Согласно газовым законам (в частности, закону Шарля), при увеличении температуры газа возрастает его давление ($P/T = \text{const}$). Это создало бы избыточное давление на оболочку, что опасно и могло бы привести к ее разрыву. Серебристый цвет предотвращает этот перегрев, отражая солнечное излучение.

С другой стороны, серебристые поверхности являются плохими излучателями тепла. Ночью или при попадании в тень облака аэростат начинает остывать, отдавая тепло в более холодное окружающее пространство. Тело с темной поверхностью излучает тепло гораздо эффективнее и остыло бы очень быстро. Охлаждение подъемного газа привело бы к уменьшению его объема и увеличению плотности, что, в свою очередь, уменьшило бы выталкивающую силу Архимеда и вызвало бы снижение аэростата. Поскольку серебристая поверхность излучает тепло слабо, она замедляет процесс остывания газа, помогая поддерживать высоту и стабильность полета в условиях отсутствия солнечного света. Таким образом, серебристая окраска оболочки аэростата позволяет минимизировать теплообмен с окружающей средой, защищая газ от сильного нагрева днем и быстрого остывания ночью.

Ответ:

Аэростаты окрашивают в серебристый цвет, чтобы уменьшить поглощение тепла от солнечных лучей и предотвратить перегрев подъемного газа, а также чтобы замедлить потерю тепла за счет излучения и предотвратить чрезмерное охлаждение газа. Это помогает поддерживать стабильную температуру и давление газа, обеспечивая безопасность и управляемость полета.