Номер 533, страница 72 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

533. До какой температуры при нормальном атмосферном давлении надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности азота при нормальных условиях?

Дано:

Давление кислорода и азота равно нормальному атмосферному давлению: $P_{O_2} = P_{N_2} = P_{н.у.} = 101325$ Па.

Азот находится при нормальных условиях, следовательно, его температура $T_{N_2} = T_{н.у.} = 0$ °C.

По условию задачи, плотность нагретого кислорода должна стать равной плотности азота при нормальных условиях: $\rho_{O_2} = \rho_{N_2}$.

Молярная масса кислорода ($O_2$): $M_{O_2} = 0.032$ кг/моль.

Молярная масса азота ($N_2$): $M_{N_2} = 0.028$ кг/моль.

Универсальная газовая постоянная: $R = 8.31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$T_{O_2}$ — конечная температура кислорода.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $P$ — давление газа, $V$ — его объем, $m$ — масса, $M$ — молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим плотность из уравнения состояния:

$P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \Rightarrow P = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда формула для плотности:

$\rho = \frac{PM}{RT}$

Запишем выражения для плотности азота при нормальных условиях и для плотности кислорода при искомой температуре $T_{O_2}$ и нормальном давлении.

Плотность азота:

$\rho_{N_2} = \frac{P_{н.у.} M_{N_2}}{R T_{н.у.}}$

Плотность кислорода:

$\rho_{O_2} = \frac{P_{н.у.} M_{O_2}}{R T_{O_2}}$

Согласно условию задачи, плотности должны быть равны: $\rho_{O_2} = \rho_{N_2}$.

$\frac{P_{н.у.} M_{O_2}}{R T_{O_2}} = \frac{P_{н.у.} M_{N_2}}{R T_{н.у.}}$

Сократим одинаковые множители ($P_{н.у.}$ и $R$) в обеих частях уравнения:

$\frac{M_{O_2}}{T_{O_2}} = \frac{M_{N_2}}{T_{н.у.}}$

Выразим искомую температуру $T_{O_2}$:

$T_{O_2} = T_{н.у.} \frac{M_{O_2}}{M_{N_2}}$

Подставим числовые значения:

$T_{O_2} = 273 \text{ К} \cdot \frac{0.032 \text{ кг/моль}}{0.028 \text{ кг/моль}} = 273 \cdot \frac{32}{28} = 273 \cdot \frac{8}{7} \text{ К}$

$T_{O_2} = 39 \cdot 8 = 312 \text{ К}$

Переведем температуру в градусы Цельсия:

$t_{O_2} = T_{O_2} - 273 = 312 - 273 = 39$ °C.

Ответ: кислород надо нагреть до температуры $312 \text{ К}$ или $39 \text{ °C}$.