Номер 540, страница 73 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

540. Бутылка, наполненная газом, плотно закрыта пробкой площадью сечения $2.5 \text{ см}^2$. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из бутылки, если сила трения, удерживающая пробку, $12 \text{ Н}$? Первоначальное давление воздуха в бутылке и наружное давление одинаковы и равны $100 \text{ кПа}$, а начальная температура равна $-3 \text{ °С}$.

Дано:

Площадь сечения пробки $S = 2,5 \, \text{см}^2 = 2,5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2$
Сила трения, удерживающая пробку $F_{тр} = 12 \, \text{Н}$
Первоначальное давление воздуха в бутылке $p_1 = 100 \, \text{кПа} = 10^5 \, \text{Па}$
Наружное (атмосферное) давление $p_{атм} = 100 \, \text{кПа} = 10^5 \, \text{Па}$
Начальная температура $t_1 = -3°C$

Найти:

Температуру $t_2$, до которой надо нагреть газ.

Решение:

Пробка вылетит из бутылки, когда сила давления газа изнутри ($F_2$) станет равной сумме сил, действующих на нее снаружи — силе атмосферного давления ($F_{атм}$) и силе трения ($F_{тр}$). Запишем условие для момента, когда пробка начинает движение:

$F_2 = F_{атм} + F_{тр}$

Сила давления ($F$) связана с давлением ($p$) и площадью ($S$), на которую оно действует, по формуле $F = p \cdot S$. Пусть $p_2$ — это давление газа в бутылке в момент вылета пробки. Тогда условие равновесия сил можно записать так:

$p_2 \cdot S = p_{атм} \cdot S + F_{тр}$

Из этого уравнения выразим давление $p_2$:

$p_2 = p_{атм} + \frac{F_{тр}}{S}$

Подставим числовые значения в СИ и рассчитаем $p_2$:

$p_2 = 10^5 \, \text{Па} + \frac{12 \, \text{Н}}{2,5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2} = 10^5 \, \text{Па} + 48000 \, \text{Па} = 148000 \, \text{Па}$

Поскольку газ нагревается в плотно закрытой бутылке, его объем можно считать постоянным ($V = \text{const}$). Этот процесс является изохорным. Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, который связывает давление и температуру газа:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Здесь температуры $T_1$ и $T_2$ должны быть выражены в абсолютной шкале (Кельвинах). Переведем начальную температуру в Кельвины:

$T_1 = t_1 + 273 = -3 + 273 = 270 \, \text{К}$

Теперь выразим конечную температуру $T_2$ из закона Шарля:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1}$

Подставим известные значения и вычислим $T_2$:

$T_2 = 270 \, \text{К} \cdot \frac{148000 \, \text{Па}}{10^5 \, \text{Па}} = 270 \cdot 1,48 \, \text{К} = 399,6 \, \text{К}$

Наконец, переведем конечную температуру обратно в градусы Цельсия:

$t_2 = T_2 - 273 = 399,6 - 273 = 126,6°C$

Ответ: для того чтобы пробка вылетела, газ в бутылке надо нагреть до температуры $126,6°C$.