Номер 542, страница 73 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

542. На рисунке 61 представлены две изохоры для газа одной и той же массы. Как относятся объёмы газа, если углы наклона изохор к оси абсцисс равны $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $?

Дано:

Газ одной и той же массы: m = const
Изохорные процессы: V = const
График в координатах p-T
Угол наклона первой изохоры к оси T: α₁
Угол наклона второй изохоры к оси T: α₂
Объем газа, соответствующий первой изохоре: V₁
Объем газа, соответствующий второй изохоре: V₂

Найти:

Отношение объемов $V_1/V_2$.

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = \frac{m}{M}RT$ где p — давление, V — объём, m — масса газа, M — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура.

Поскольку процессы являются изохорными (объём V постоянен), уравнение можно представить в виде зависимости давления от температуры: $p = (\frac{mR}{MV})T$

Так как масса газа m, его молярная масса M и универсальная газовая постоянная R являются постоянными величинами, то для каждого изохорного процесса коэффициент $(\frac{mR}{MV})$ является константой. Это уравнение имеет вид линейной функции $y = kx$, где $y = p$, $x = T$. Угловой коэффициент k этой прямой, который равен тангенсу угла наклона графика к оси абсцисс (оси температур T), определяется как: $k = \tan(\alpha) = \frac{mR}{MV}$

Из этого соотношения можно выразить объём газа V: $V = \frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha)}$

Для первой изохоры, которая имеет объём $V_1$ и угол наклона $\alpha_1$, справедливо соотношение: $V_1 = \frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_1)}$

Для второй изохоры, которая имеет объём $V_2$ и угол наклона $\alpha_2$, справедливо соотношение: $V_2 = \frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_2)}$

Чтобы найти, как относятся объёмы, найдём их отношение $\frac{V_1}{V_2}$: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_1)}}{\frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_2)}}$

Сократив одинаковые множители $\frac{mR}{M}$, получим искомое отношение: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\tan(\alpha_1)}{1/\tan(\alpha_2)} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$

Таким образом, отношение объёмов обратно пропорционально отношению тангенсов углов наклона их изохор. Из графика видно, что чем больше угол наклона, тем меньше объём.

Ответ:

Отношение объёмов газов равно обратному отношению тангенсов углов наклона их изохор к оси температур: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$.