Номер 543, страница 73 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

543. По графику, приведённому на рисунке 62, определить, как изменяется давление газа при переходе из состояния 1 в состояние 2.

543. Решение

Для анализа процесса, изображенного на графике в координатах V-T (объем-температура), воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \nu RT$

где $P$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура. Будем считать, что масса газа (и, следовательно, количество вещества $\nu$) в ходе процесса не изменяется.

Из уравнения состояния можно выразить объем:

$V = \left(\frac{\nu R}{P}\right)T$

Это уравнение показывает, что для процесса с постоянным давлением (изобарного процесса), зависимость $V$ от $T$ является прямой пропорциональностью. Графиком изобары в координатах V-T является прямая линия, проходящая через начало координат (точка (0, 0)). Тангенс угла наклона этой прямой к оси температур $T$ равен $k_{iso} = \frac{V}{T} = \frac{\nu R}{P}$.

Из этой формулы видно, что давление $P$ обратно пропорционально тангенсу угла наклона изобары: $P = \frac{\nu R}{k_{iso}}$. Чем больше угол наклона изобары, тем меньше давление, и наоборот.

Теперь рассмотрим заданный график. Процесс 1-2 представляет собой прямую линию, но она не проходит через начало координат. Если мысленно продолжить эту прямую до пересечения с осью объемов V (при T=0), то она пересечет ее в точке $V_0 > 0$.

Сравним давление в начальной точке 1 ($P_1$) и в конечной точке 2 ($P_2$). Для этого проведем через точки 1 и 2 изобары, то есть прямые, соединяющие эти точки с началом координат.

Тангенс угла наклона изобары, проходящей через точку 1, равен $k_1 = \frac{V_1}{T_1}$.

Тангенс угла наклона изобары, проходящей через точку 2, равен $k_2 = \frac{V_2}{T_2}$.

Из графика видно, что прямая, проходящая через начало координат и точку 1, имеет больший угол наклона, чем прямая, проходящая через начало координат и точку 2. То есть $k_1 > k_2$.

Покажем это строго. Уравнение прямой, на которой лежат точки 1 и 2, имеет вид $V = aT + b$, где $a$ - тангенс угла наклона самой линии процесса (положительный), а $b$ - отрезок, отсекаемый на оси V (также положительный, $b > 0$).

Тогда тангенс угла наклона изобары в произвольной точке на этой прямой равен:

$k_{iso} = \frac{V}{T} = \frac{aT + b}{T} = a + \frac{b}{T}$

Поскольку в процессе 1-2 температура растет ($T_2 > T_1$), а $b > 0$, то величина $\frac{b}{T}$ уменьшается. Следовательно, и весь тангенс угла наклона изобары $k_{iso}$ уменьшается при переходе от точки 1 к точке 2. Таким образом, $k_1 > k_2$.

Так как давление обратно пропорционально тангенсу угла наклона соответствующей изобары ($P \propto 1/k_{iso}$), то из неравенства $k_1 > k_2$ следует, что $P_1 < P_2$.

Следовательно, при переходе из состояния 1 в состояние 2 давление газа увеличивается.

Ответ: При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 его давление увеличивается.