Страница 73 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

535. Возьмите стакан (лучше тонкостенный) и поместите его в горячую воду. Вытащите его из воды и опрокиньте вверх дном на клеёнку стола, слегка придавив. Через несколько минут попробуйте снять стакан с клеёнки. Почему это трудно сделать?

Решение

Этот эффект объясняется законами термодинамики и свойствами газов.

1. Когда стакан помещают в горячую воду, он сам и воздух внутри него нагреваются. Согласно газовым законам, при нагревании воздух расширяется.

2. Когда горячий стакан переворачивают и ставят на гладкую поверхность клеёнки, под ним оказывается запертым определенный объем горячего воздуха. Если края стакана смочены водой, это помогает создать герметичное соединение.

3. Со временем стакан и запертый в нем воздух начинают остывать, передавая тепло столу и окружающей среде. Для газа, находящегося в постоянном объеме (объем стакана), его давление прямо пропорционально абсолютной температуре. Это следует из уравнения состояния идеального газа или, в частном случае, из закона Шарля: $ \frac{p}{T} = \text{const} $.

4. По мере того как температура $T$ воздуха внутри стакана падает, его давление $p$ также уменьшается. Кроме того, если в стакане был горячий влажный воздух (пар от воды), то при остывании водяной пар конденсируется на стенках стакана, превращаясь в жидкость. Этот переход из газообразного состояния в жидкое вызывает еще более значительное падение давления внутри.

5. В результате давление внутри стакана ($p_{вн}$) становится значительно ниже, чем атмосферное давление снаружи ($p_{атм}$). Возникает разность давлений $\Delta p = p_{атм} - p_{вн}$. Эта разность давлений создает силу, которая действует на внешнюю поверхность дна стакана и прижимает его к столу. Величина этой силы равна произведению разности давлений на площадь отверстия стакана $S$: $F = \Delta p \cdot S$. Чтобы поднять стакан, необходимо преодолеть эту силу, что и оказывается трудным.

Ответ:

Снять стакан с клеёнки трудно из-за разности давлений. Горячий воздух, запертый под стаканом, при остывании сжимается, и его давление падает. Также конденсируется водяной пар, что еще больше снижает давление. Внешнее атмосферное давление становится больше давления под стаканом и прижимает его к поверхности клеёнки.

536. При температуре 27 °C давление газа в закрытом сосуде было 75 кПа. Каким будет давление при температуре −13 °C?

Дано:

$t_1 = 27 \text{ °C}$
$p_1 = 75 \text{ кПа}$
$t_2 = -13 \text{ °C}$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$p_1 = 75 \text{ кПа} = 75 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$T_2 = -13 + 273 = 260 \text{ К}$

Найти:

$p_2$

Решение:

Поскольку газ находится в закрытом сосуде, его объем остается постоянным ($V = \text{const}$). Процесс изменения состояния газа при постоянном объеме называется изохорным. Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, согласно которому отношение давления газа к его абсолютной температуре является величиной постоянной:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Это означает, что для начального и конечного состояний газа можно записать следующее соотношение:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

В данном законе температура должна быть выражена в абсолютной шкале температур (в кельвинах).

Выразим из формулы конечное давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим в формулу числовые значения. Давление $p_1$ можно оставить в килопаскалях (кПа), в этом случае результат для $p_2$ также будет в кПа.

$p_2 = 75 \text{ кПа} \cdot \frac{260 \text{ К}}{300 \text{ К}} = 75 \cdot \frac{26}{30} = \frac{75 \cdot 26}{30} \text{ кПа}$

Выполним вычисления:

$p_2 = \frac{75}{30} \cdot 26 = \frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 15} \cdot 26 = \frac{5}{2} \cdot 26 = 5 \cdot 13 = 65 \text{ кПа}$

Ответ: давление газа при температуре $-13 \text{ °C}$ будет равно $65 \text{ кПа}$.

537. В нерабочем состоянии при температуре $7^\circ C$ давление газа в колбе газополной электрической лампы накаливания равно $80\, \text{кПа}$. Найти температуру газа в горящей лампе, если давление в рабочем режиме возрастает до $100\, \text{кПа}$.

Дано:

$t_1 = 7 \text{ °C}$
$p_1 = 80 \text{ кПа}$
$p_2 = 100 \text{ кПа}$

$T_1 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$
$p_1 = 80 \cdot 10^3 \text{ Па}$
$p_2 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$t_2$

Решение:

Газ в колбе электрической лампы находится в замкнутом объеме, который можно считать постоянным ($V = \text{const}$). Процесс нагревания газа при постоянном объеме является изохорным. Для такого процесса применим закон Шарля, который устанавливает прямую пропорциональность между давлением и абсолютной температурой газа при постоянном объеме.

Математически закон Шарля выражается формулой:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Запишем это соотношение для начального (нерабочее состояние) и конечного (рабочее состояние) состояний газа:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

где $p_1$ и $T_1$ – начальные давление и абсолютная температура, а $p_2$ и $T_2$ – конечные давление и абсолютная температура.

Выразим из этого уравнения искомую конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1}$

Подставим известные значения. Для удобства расчетов можно использовать давление в килопаскалях, так как в соотношении $\frac{p_2}{p_1}$ единицы измерения сокращаются. Температуру необходимо использовать в кельвинах.

$T_2 = 280 \text{ К} \cdot \frac{100 \text{ кПа}}{80 \text{ кПа}} = 280 \text{ К} \cdot 1.25 = 350 \text{ К}$

Мы получили значение температуры в кельвинах. Чтобы перевести его в градусы Цельсия, используем обратное преобразование:

$t_2 = T_2 - 273$

$t_2 = 350 - 273 = 77 \text{ °C}$

Ответ: температура газа в горящей лампе составляет $77 \text{ °C}$.

538. Давление воздуха в автомобильной камере при температуре $-13\ ^{\circ}\text{C}$ было $160\ \text{кПа}$ (избыточное над атмосферным). Каким стало давление, если в результате длительного движения автомобиля воздух в камере нагрелся до $37\ ^{\circ}\text{C}$?

Дано:

$t_1 = -13$ °С

$p_{изб1} = 160$ кПа

$t_2 = 37$ °С

Примем нормальное атмосферное давление $p_{атм} \approx 100$ кПа.

Найти:

$p_{изб2}$

Решение:

Процесс нагревания воздуха в автомобильной камере можно считать изохорным, так как объем камеры практически не изменяется ($V = \text{const}$). Для изохорного процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

где $p$ – это абсолютное давление газа, а $T$ – его абсолютная температура в кельвинах.

Следовательно, для начального и конечного состояний газа можно записать:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

В этом уравнении используются абсолютные давления. Начальное абсолютное давление $p_1$ равно сумме избыточного давления $p_{изб1}$ и атмосферного давления $p_{атм}$.

$p_1 = p_{изб1} + p_{атм} = 160 \text{ кПа} + 100 \text{ кПа} = 260 \text{ кПа}$

Теперь выразим из закона Шарля конечное абсолютное давление $p_2$ и подставим известные значения, переведенные в систему СИ:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 260\text{ кПа} \cdot \frac{310\text{ К}}{260\text{ К}} = 310\text{ кПа}$

Найденное значение $p_2$ является конечным абсолютным давлением. Поскольку исходное давление было дано как избыточное, найдем конечное избыточное давление $p_{изб2}$:

$p_{изб2} = p_2 - p_{атм}$

$p_{изб2} = 310\text{ кПа} - 100\text{ кПа} = 210\text{ кПа}$

Ответ: избыточное давление воздуха в камере стало 210 кПа.

539. При какой температуре находился газ в закрытом сосуде, если при нагревании его на 140 К давление возросло в 1,5 раза?

Дано:

Процесс изохорный: $V = \text{const}$
Изменение температуры: $\Delta T = 140 \text{ К}$
Соотношение давлений: $\frac{p_2}{p_1} = 1,5$

Найти:

Начальную температуру газа $T_1$.

Решение:

Так как газ находится в закрытом сосуде, его объем в процессе нагревания остается постоянным. Такой процесс называется изохорным. Для идеального газа в изохорном процессе выполняется закон Шарля, который связывает давление и абсолютную температуру газа:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Это означает, что для двух состояний газа (до и после нагревания) справедливо соотношение:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

где $p_1$ и $T_1$ — начальные давление и температура газа, а $p_2$ и $T_2$ — конечные давление и температура.

По условию задачи, давление возросло в 1,5 раза, то есть $p_2 = 1,5 \cdot p_1$. Газ нагрели на 140 К, значит, конечная температура $T_2$ связана с начальной $T_1$ следующим образом: $T_2 = T_1 + \Delta T = T_1 + 140 \text{ К}$.

Подставим эти выражения в уравнение закона Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{1,5 \cdot p_1}{T_1 + 140}$

Так как начальное давление $p_1$ не равно нулю, мы можем сократить его в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{T_1} = \frac{1,5}{T_1 + 140}$

Используя свойство пропорции, получим:

$1 \cdot (T_1 + 140) = 1,5 \cdot T_1$

$T_1 + 140 = 1,5 \cdot T_1$

Перенесем слагаемые с $T_1$ в одну сторону:

$140 = 1,5 \cdot T_1 - T_1$

$140 = 0,5 \cdot T_1$

Отсюда находим начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{140}{0,5} = 280 \text{ К}$

Ответ: начальная температура газа была 280 К.

540. Бутылка, наполненная газом, плотно закрыта пробкой площадью сечения $2.5 \text{ см}^2$. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из бутылки, если сила трения, удерживающая пробку, $12 \text{ Н}$? Первоначальное давление воздуха в бутылке и наружное давление одинаковы и равны $100 \text{ кПа}$, а начальная температура равна $-3 \text{ °С}$.

Дано:

Площадь сечения пробки $S = 2,5 \, \text{см}^2 = 2,5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2$
Сила трения, удерживающая пробку $F_{тр} = 12 \, \text{Н}$
Первоначальное давление воздуха в бутылке $p_1 = 100 \, \text{кПа} = 10^5 \, \text{Па}$
Наружное (атмосферное) давление $p_{атм} = 100 \, \text{кПа} = 10^5 \, \text{Па}$
Начальная температура $t_1 = -3°C$

Найти:

Температуру $t_2$, до которой надо нагреть газ.

Решение:

Пробка вылетит из бутылки, когда сила давления газа изнутри ($F_2$) станет равной сумме сил, действующих на нее снаружи — силе атмосферного давления ($F_{атм}$) и силе трения ($F_{тр}$). Запишем условие для момента, когда пробка начинает движение:

$F_2 = F_{атм} + F_{тр}$

Сила давления ($F$) связана с давлением ($p$) и площадью ($S$), на которую оно действует, по формуле $F = p \cdot S$. Пусть $p_2$ — это давление газа в бутылке в момент вылета пробки. Тогда условие равновесия сил можно записать так:

$p_2 \cdot S = p_{атм} \cdot S + F_{тр}$

Из этого уравнения выразим давление $p_2$:

$p_2 = p_{атм} + \frac{F_{тр}}{S}$

Подставим числовые значения в СИ и рассчитаем $p_2$:

$p_2 = 10^5 \, \text{Па} + \frac{12 \, \text{Н}}{2,5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2} = 10^5 \, \text{Па} + 48000 \, \text{Па} = 148000 \, \text{Па}$

Поскольку газ нагревается в плотно закрытой бутылке, его объем можно считать постоянным ($V = \text{const}$). Этот процесс является изохорным. Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, который связывает давление и температуру газа:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Здесь температуры $T_1$ и $T_2$ должны быть выражены в абсолютной шкале (Кельвинах). Переведем начальную температуру в Кельвины:

$T_1 = t_1 + 273 = -3 + 273 = 270 \, \text{К}$

Теперь выразим конечную температуру $T_2$ из закона Шарля:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1}$

Подставим известные значения и вычислим $T_2$:

$T_2 = 270 \, \text{К} \cdot \frac{148000 \, \text{Па}}{10^5 \, \text{Па}} = 270 \cdot 1,48 \, \text{К} = 399,6 \, \text{К}$

Наконец, переведем конечную температуру обратно в градусы Цельсия:

$t_2 = T_2 - 273 = 399,6 - 273 = 126,6°C$

Ответ: для того чтобы пробка вылетела, газ в бутылке надо нагреть до температуры $126,6°C$.

541*. Чем отличаются друг от друга графики зависимости давления от абсолютной температуры для газа, нагреваемого изохорно в двух сосудах, если:

а) Одинаковы массы газа, а вместимости сосудов различны;

б) Одинаковы вместимости сосудов, а массы газа различны?

Решение

Зависимость давления $p$ от абсолютной температуры $T$ для идеального газа при изохорном процессе (когда объем $V$ постоянен) описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $m$ - масса газа, $M$ - его молярная масса, $V$ - объем сосуда, и $R$ - универсальная газовая постоянная.

Выразим из этого уравнения давление $p$:

$p = \left(\frac{mR}{MV}\right)T$

Эта зависимость является прямой пропорциональностью вида $p = kT$, где коэффициент пропорциональности (угловой коэффициент или тангенс угла наклона графика) равен $k = \frac{mR}{MV}$. Графиком такой зависимости в координатах $p(T)$ является прямая линия, проходящая через начало координат. Различие графиков для двух сосудов будет заключаться в их наклоне, который определяется коэффициентом $k$. Чем больше $k$, тем круче идет график.

а) одинаковы массы газа, а вместимости сосудов различны

В этом случае массы газа в двух сосудах одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), а объемы (вместимости) различны ($V_1 \neq V_2$). Пусть для определенности $V_1 < V_2$.

Угловые коэффициенты для графиков в первом и втором сосудах будут соответственно равны:

$k_1 = \frac{mR}{MV_1}$ и $k_2 = \frac{mR}{MV_2}$

Поскольку по условию $V_1 < V_2$, а все остальные величины в числителе и знаменателе положительны и одинаковы для обоих случаев, то $\frac{1}{V_1} > \frac{1}{V_2}$. Следовательно, $k_1 > k_2$.

Это означает, что график зависимости давления от температуры для газа в сосуде меньшего объема будет иметь больший угол наклона к оси температур. То есть, при любом значении температуры (кроме $T=0$ К) давление газа в сосуде меньшего объема будет выше.

Ответ: оба графика являются прямыми линиями, выходящими из начала координат. График для газа в сосуде меньшей вместимости имеет больший угол наклона к оси температур и, следовательно, расположен выше графика для газа в сосуде большей вместимости.

б) одинаковы вместимости сосудов, а массы газа различны

В этом случае объемы сосудов одинаковы ($V_1 = V_2 = V$), а массы газа различны ($m_1 \neq m_2$). Пусть для определенности $m_1 > m_2$.

Угловые коэффициенты для графиков будут соответственно равны:

$k_1 = \frac{m_1R}{MV}$ и $k_2 = \frac{m_2R}{MV}$

Поскольку по условию $m_1 > m_2$, а все остальные величины ($R, M, V$) одинаковы, то $k_1 > k_2$.

Это означает, что график зависимости давления от температуры для газа с большей массой будет иметь больший угол наклона к оси температур. При любом значении температуры (кроме $T=0$ К) давление газа с большей массой будет выше.

Ответ: оба графика являются прямыми линиями, выходящими из начала координат. График для газа большей массы имеет больший угол наклона к оси температур и, следовательно, расположен выше графика для газа меньшей массы.

542. На рисунке 61 представлены две изохоры для газа одной и той же массы. Как относятся объёмы газа, если углы наклона изохор к оси абсцисс равны $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $?

Дано:

Газ одной и той же массы: m = const
Изохорные процессы: V = const
График в координатах p-T
Угол наклона первой изохоры к оси T: α₁
Угол наклона второй изохоры к оси T: α₂
Объем газа, соответствующий первой изохоре: V₁
Объем газа, соответствующий второй изохоре: V₂

Найти:

Отношение объемов $V_1/V_2$.

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = \frac{m}{M}RT$ где p — давление, V — объём, m — масса газа, M — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура.

Поскольку процессы являются изохорными (объём V постоянен), уравнение можно представить в виде зависимости давления от температуры: $p = (\frac{mR}{MV})T$

Так как масса газа m, его молярная масса M и универсальная газовая постоянная R являются постоянными величинами, то для каждого изохорного процесса коэффициент $(\frac{mR}{MV})$ является константой. Это уравнение имеет вид линейной функции $y = kx$, где $y = p$, $x = T$. Угловой коэффициент k этой прямой, который равен тангенсу угла наклона графика к оси абсцисс (оси температур T), определяется как: $k = \tan(\alpha) = \frac{mR}{MV}$

Из этого соотношения можно выразить объём газа V: $V = \frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha)}$

Для первой изохоры, которая имеет объём $V_1$ и угол наклона $\alpha_1$, справедливо соотношение: $V_1 = \frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_1)}$

Для второй изохоры, которая имеет объём $V_2$ и угол наклона $\alpha_2$, справедливо соотношение: $V_2 = \frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_2)}$

Чтобы найти, как относятся объёмы, найдём их отношение $\frac{V_1}{V_2}$: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_1)}}{\frac{mR}{M \cdot \tan(\alpha_2)}}$

Сократив одинаковые множители $\frac{mR}{M}$, получим искомое отношение: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\tan(\alpha_1)}{1/\tan(\alpha_2)} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$

Таким образом, отношение объёмов обратно пропорционально отношению тангенсов углов наклона их изохор. Из графика видно, что чем больше угол наклона, тем меньше объём.

Ответ:

Отношение объёмов газов равно обратному отношению тангенсов углов наклона их изохор к оси температур: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$.

543. По графику, приведённому на рисунке 62, определить, как изменяется давление газа при переходе из состояния 1 в состояние 2.

543. Решение

Для анализа процесса, изображенного на графике в координатах V-T (объем-температура), воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \nu RT$

где $P$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура. Будем считать, что масса газа (и, следовательно, количество вещества $\nu$) в ходе процесса не изменяется.

Из уравнения состояния можно выразить объем:

$V = \left(\frac{\nu R}{P}\right)T$

Это уравнение показывает, что для процесса с постоянным давлением (изобарного процесса), зависимость $V$ от $T$ является прямой пропорциональностью. Графиком изобары в координатах V-T является прямая линия, проходящая через начало координат (точка (0, 0)). Тангенс угла наклона этой прямой к оси температур $T$ равен $k_{iso} = \frac{V}{T} = \frac{\nu R}{P}$.

Из этой формулы видно, что давление $P$ обратно пропорционально тангенсу угла наклона изобары: $P = \frac{\nu R}{k_{iso}}$. Чем больше угол наклона изобары, тем меньше давление, и наоборот.

Теперь рассмотрим заданный график. Процесс 1-2 представляет собой прямую линию, но она не проходит через начало координат. Если мысленно продолжить эту прямую до пересечения с осью объемов V (при T=0), то она пересечет ее в точке $V_0 > 0$.

Сравним давление в начальной точке 1 ($P_1$) и в конечной точке 2 ($P_2$). Для этого проведем через точки 1 и 2 изобары, то есть прямые, соединяющие эти точки с началом координат.

Тангенс угла наклона изобары, проходящей через точку 1, равен $k_1 = \frac{V_1}{T_1}$.

Тангенс угла наклона изобары, проходящей через точку 2, равен $k_2 = \frac{V_2}{T_2}$.

Из графика видно, что прямая, проходящая через начало координат и точку 1, имеет больший угол наклона, чем прямая, проходящая через начало координат и точку 2. То есть $k_1 > k_2$.

Покажем это строго. Уравнение прямой, на которой лежат точки 1 и 2, имеет вид $V = aT + b$, где $a$ - тангенс угла наклона самой линии процесса (положительный), а $b$ - отрезок, отсекаемый на оси V (также положительный, $b > 0$).

Тогда тангенс угла наклона изобары в произвольной точке на этой прямой равен:

$k_{iso} = \frac{V}{T} = \frac{aT + b}{T} = a + \frac{b}{T}$

Поскольку в процессе 1-2 температура растет ($T_2 > T_1$), а $b > 0$, то величина $\frac{b}{T}$ уменьшается. Следовательно, и весь тангенс угла наклона изобары $k_{iso}$ уменьшается при переходе от точки 1 к точке 2. Таким образом, $k_1 > k_2$.

Так как давление обратно пропорционально тангенсу угла наклона соответствующей изобары ($P \propto 1/k_{iso}$), то из неравенства $k_1 > k_2$ следует, что $P_1 < P_2$.

Следовательно, при переходе из состояния 1 в состояние 2 давление газа увеличивается.

Ответ: При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 его давление увеличивается.