Страница 68 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

493. Какое количество вещества содержится в газе, если при давлении 200 кПа и температуре 240 К его объём равен 40 л?

Дано:

Давление $P = 200 \text{ кПа} = 200 \cdot 10^3 \text{ Па} = 2 \cdot 10^5 \text{ Па}$
Температура $T = 240 \text{ К}$
Объём $V = 40 \text{ л} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.04 \text{ м}^3$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Количество вещества $\nu$.

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона, которое связывает давление, объём, температуру и количество вещества газа. Формула имеет вид:

$PV = \nu RT$

где $P$ — давление газа, $V$ — его объём, $\nu$ — количество вещества, $T$ — абсолютная температура, а $R$ — универсальная газовая постоянная.

Чтобы найти количество вещества $\nu$, выразим его из этого уравнения:

$\nu = \frac{PV}{RT}$

Теперь подставим в полученную формулу значения величин из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$\nu = \frac{2 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0.04 \text{ м}^3}{8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 240 \text{ К}}$

Произведем вычисления. Сначала вычислим значение в числителе:

$2 \cdot 10^5 \cdot 0.04 = 8000 \text{ Дж}$

Затем вычислим значение в знаменателе:

$8.31 \cdot 240 = 1994.4 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\nu = \frac{8000}{1994.4} \approx 4.011 \text{ моль}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: количество вещества в газе составляет приблизительно 4.01 моль.

494. Каково давление сжатого воздуха, находящегося в баллоне вместимостью $20 \text{ л}$ при температуре $12 \, \degree\text{C}$, если масса этого воздуха $2 \text{ кг}$?

Дано:

Вместимость баллона (объем): $V = 20 \text{ л}$

Температура воздуха: $t = 12 \text{ °C}$

Масса воздуха: $m = 2 \text{ кг}$

Переведем данные в систему СИ:

Объем: $V = 20 \text{ л} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.02 \text{ м}^3$

Температура: $T = t + 273 = 12 + 273 = 285 \text{ К}$

Масса: $m = 2 \text{ кг}$ (уже в СИ)

Для решения задачи нам также понадобятся справочные данные:

Молярная масса воздуха: $M \approx 0.029 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Давление сжатого воздуха: $p$

Решение:

Для нахождения давления воздуха воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

где $\nu$ - количество вещества, которое можно выразить через массу $m$ и молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение состояния газа:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Из этого уравнения выразим искомое давление $p$:

$p = \frac{mRT}{MV}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$p = \frac{2 \text{ кг} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 285 \text{ К}}{0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 0.02 \text{ м}^3}$

$p = \frac{4736.7}{0.00058} \text{ Па} \approx 8166724 \text{ Па}$

Результат можно выразить в мегапаскалях (МПа), зная, что $1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}$:

$p \approx 8.17 \text{ МПа}$

Ответ: давление сжатого воздуха в баллоне составляет примерно $8.17 \text{ МПа}$.

495. В баллоне вместимостью 25 л находится смесь газов, состоящая из аргона (Ar) массой 20 г и гелия (He) массой 2 г при температуре 301 К. Найти давление смеси газов на стенки сосуда.

495. Дано:
Объем баллона $V = 25 \text{ л} = 25 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Масса аргона $m_{Ar} = 20 \text{ г} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
Масса гелия $m_{He} = 2 \text{ г} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
Температура смеси $T = 301 \text{ К}$
Молярная масса аргона (Ar) $M_{Ar} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса гелия (He) $M_{He} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:
Давление смеси газов $p$.

Решение:
Для нахождения давления смеси идеальных газов воспользуемся законом Дальтона, согласно которому общее давление смеси равно сумме парциальных давлений ее компонентов. Однако удобнее использовать объединенную форму уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для всей смеси:
$p V = \nu_{общ} R T$
где $\nu_{общ}$ — общее количество вещества газов в смеси. Общее количество вещества равно сумме количеств вещества каждого газа:
$\nu_{общ} = \nu_{Ar} + \nu_{He}$
Количество вещества ($\nu$) для каждого газа найдем по формуле $\nu = \frac{m}{M}$, где $m$ — масса газа, а $M$ — его молярная масса.
Рассчитаем количество вещества для аргона:
$\nu_{Ar} = \frac{m_{Ar}}{M_{Ar}} = \frac{20 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{40 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 0.5 \text{ моль}$
Рассчитаем количество вещества для гелия:
$\nu_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 0.5 \text{ моль}$
Теперь найдем общее количество вещества в смеси:
$\nu_{общ} = 0.5 \text{ моль} + 0.5 \text{ моль} = 1 \text{ моль}$
Из уравнения состояния идеального газа выразим давление $p$:
$p = \frac{\nu_{общ} R T}{V}$
Подставим числовые значения в формулу:
$p = \frac{1 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 301 \text{ К}}{25 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = \frac{2501.31}{0.025} \text{ Па} \approx 100052.4 \text{ Па}$
Округлим результат и выразим его в килопаскалях (кПа):
$p \approx 100 \text{ кПа}$

Ответ: $100 \text{ кПа}$.

496. Найти массу природного горючего газа объёмом 64 $м^3$, считая, что объём указан при нормальных условиях. Молярную массу природного горючего газа считать равной молярной массе метана ($CH_4$).

Дано:

Объем природного газа $V = 64 \text{ м}^3$.
Условия нормальные (н.у.).
Молярная масса природного газа $M$ равна молярной массе метана (CH₄).

Найти:

Массу газа $m$.

Решение:

Масса газа $m$ связана с его количеством вещества $\nu$ и молярной массой $M$ по формуле: $m = \nu \cdot M$.

Количество вещества газа $\nu$, находящегося при нормальных условиях, определяется как отношение его объема $V$ к молярному объему $V_m$: $\nu = \frac{V}{V_m}$.

Объединим эти две формулы, чтобы выразить массу через известные величины: $m = \frac{V}{V_m} \cdot M$.

Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу и произведем расчет: $m = \frac{64 \text{ м}^3}{22.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3/\text{моль}} \cdot 16 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$.

$m = \frac{64 \cdot 16 \cdot 10^{-3}}{22.4 \cdot 10^{-3}} \text{ кг} = \frac{64 \cdot 16}{22.4} \text{ кг} = \frac{1024}{22.4} \text{ кг} \approx 45.714 \text{ кг}$.

Округляя результат до десятых, получаем:

Ответ: $m \approx 45.7 \text{ кг}$.

497. Воздух объёмом 1,45 $м^3$, находящийся при температуре 20 $^\circ C$ и давлении 100 кПа, перевели в жидкое состояние. Какой объём займёт жидкий воздух, если его плотность 861 $кг/м^3$?

Дано:

Объем газообразного воздуха, $V_1 = 1,45 \text{ м}^3$

Температура воздуха, $t_1 = 20 \text{ °C}$

Давление воздуха, $p_1 = 100 \text{ кПа}$

Плотность жидкого воздуха, $\rho_2 = 861 \text{ кг/м}^3$

Справочные данные:

Молярная масса воздуха, $M \approx 0,029 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,314 \text{ Дж/(моль·К)}$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 20 + 273,15 = 293,15 \text{ К}$
$p_1 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Объем жидкого воздуха, $V_2$.

Решение:

При конденсации (переводе в жидкое состояние) масса воздуха остается неизменной. Сначала найдем массу воздуха $m$, когда он находится в газообразном состоянии. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона), считая воздух идеальным газом:

$p_1 V_1 = \nu R T_1$

где $\nu$ — количество вещества. Количество вещества можно выразить через массу газа $m$ и его молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение состояния:

$p_1 V_1 = \frac{m}{M} R T_1$

Из этого уравнения выразим массу воздуха $m$:

$m = \frac{p_1 V_1 M}{R T_1}$

Масса жидкого воздуха будет такой же. Зная плотность жидкого воздуха $\rho_2$, можно найти его объем $V_2$ по формуле:

$V_2 = \frac{m}{\rho_2}$

Теперь подставим выражение для массы $m$ в формулу для объема $V_2$:

$V_2 = \frac{p_1 V_1 M}{R T_1 \rho_2}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу и произведем расчеты:

$m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 1,45 \text{ м}^3 \cdot 0,029 \text{ кг/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 293,15 \text{ К}} \approx \frac{4205}{2437,15} \approx 1,725 \text{ кг}$

Теперь найдем объем жидкого воздуха:

$V_2 = \frac{1,725 \text{ кг}}{861 \text{ кг/м}^3} \approx 0,002003 \text{ м}^3$

Для наглядности можно перевести этот объем в литры, зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000$ литров:

$V_2 \approx 0,002003 \text{ м}^3 \cdot 1000 \frac{\text{л}}{\text{м}^3} \approx 2,0 \text{ л}$

Ответ: объем жидкого воздуха составит приблизительно $0,002 \text{ м}^3$ или $2,0 \text{ л}$.

498. В одинаковых баллонах при одинаковой температуре находятся водород ($H_2$) и углекислый газ ($CO_2$). Массы газов одинаковы. Какой из газов производит большее давление на стенки баллона и во сколько раз?

Дано:

Газ 1: водород (H₂)
Газ 2: углекислый газ (CO₂)
$V_1 = V_2 = V$ (объемы баллонов одинаковы)
$T_1 = T_2 = T$ (температуры газов одинаковы)
$m_1 = m_2 = m$ (массы газов одинаковы)
Молярная масса водорода $M_1 = M(H_2) = 2 \cdot 1 \frac{г}{моль} = 2 \frac{г}{моль} = 2 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$
Молярная масса углекислого газа $M_2 = M(CO_2) = 12 + 2 \cdot 16 = 44 \frac{г}{моль} = 44 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$

Найти:

Какой газ производит большее давление и во сколько раз? Найти отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$p V = \frac{m}{M} R T$

где $p$ – давление газа, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для водорода (индекс 1) и для углекислого газа (индекс 2):

Для водорода: $p_1 V_1 = \frac{m_1}{M_1} R T_1$

Для углекислого газа: $p_2 V_2 = \frac{m_2}{M_2} R T_2$

По условию задачи объемы, массы и температуры газов одинаковы: $V_1=V_2=V$, $m_1=m_2=m$, $T_1=T_2=T$. Подставим эти значения в уравнения:

$p_1 V = \frac{m}{M_1} R T$

$p_2 V = \frac{m}{M_2} R T$

Чтобы найти, какой газ создает большее давление и во сколько раз, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{p_1 V}{p_2 V} = \frac{\frac{m}{M_1} R T}{\frac{m}{M_2} R T}$

Сократим одинаковые величины ($V$, $m$, $R$, $T$):

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\frac{1}{M_1}}{\frac{1}{M_2}} = \frac{M_2}{M_1}$

Из этого соотношения видно, что давление газа обратно пропорционально его молярной массе при одинаковых массе, объеме и температуре. Так как молярная масса водорода ($M_1$) меньше молярной массы углекислого газа ($M_2$), то давление водорода ($p_1$) будет больше давления углекислого газа ($p_2$).

Теперь найдем, во сколько раз давление водорода больше. Подставим числовые значения молярных масс:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{44 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}}{2 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}} = 22$

Ответ: Давление водорода больше давления углекислого газа в 22 раза.

499. На рисунке 57 приведена изотерма для 1 моль газа при температуре 260 К. Построить на этом же чертеже изотермы:

а) для 1 моль газа при 390 К;

б) для 2 моль газа при 260 К.

а) для 1 моль газа при 390 К;

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT$. Изотерма представляет собой график зависимости давления $p$ от объема $V$ при постоянной температуре $T$ и количестве вещества $\nu$. Для изотермического процесса $pV = \text{const}$, что является уравнением гиперболы в координатах $(V, p)$.

Исходный график (обозначим его параметры индексом 0) построен для $\nu_0 = 1 \text{ моль}$ и $T_0 = 260 \text{ К}$. Для него справедливо соотношение $p_0V = \nu_0 R T_0 = 1 \cdot R \cdot 260 = 260R$.

Новая изотерма (индекс 1) строится для $\nu_1 = 1 \text{ моль}$ и $T_1 = 390 \text{ К}$. Для нее уравнение состояния имеет вид $p_1V = \nu_1 R T_1 = 1 \cdot R \cdot 390 = 390R$.

Чтобы определить, как расположена новая изотерма относительно старой, сравним давления газов при одинаковом объеме $V$. Для этого разделим уравнение для нового состояния на уравнение для исходного:

$\frac{p_1V}{p_0V} = \frac{390R}{260R} = \frac{39}{26} = \frac{3}{2} = 1.5$

Отсюда получаем, что $p_1 = 1.5 p_0$. Это значит, что для построения новой изотермы нужно для каждой точки исходного графика взять то же значение объема $V$, а значение давления $p$ умножить на 1.5. Новая гипербола будет расположена "выше" исходной.

Ответ: новая изотерма — это гипербола, расположенная выше исходной. Для любого значения объема $V$ давление на ней в 1.5 раза больше, чем на исходной изотерме.

б) для 2 моль газа при 260 К.

В этом случае (индекс 2) количество вещества $\nu_2 = 2 \text{ моль}$, а температура $T_2 = 260 \text{ К}$. Уравнение состояния для этой изотермы:

$p_2V = \nu_2 R T_2 = 2 \cdot R \cdot 260 = 520R$.

Сравним это состояние с исходным ($\nu_0 = 1 \text{ моль}, T_0 = 260 \text{ К}$), для которого $p_0V = 260R$. При одинаковом объеме $V$ имеем:

$\frac{p_2V}{p_0V} = \frac{520R}{260R} = 2$

Следовательно, $p_2 = 2 p_0$. Давление на этой изотерме при любом объеме будет в 2 раза больше, чем на исходной. Этот график также является гиперболой и будет расположен выше исходного графика и выше графика из пункта а).

Ответ: новая изотерма — это гипербола, расположенная выше исходной. Для любого значения объема $V$ давление на ней в 2 раза больше, чем на исходной изотерме.

500*. Дано:
Начальная температура газа: $t_1 = 15 \ ^\circ\text{C}$
Доля вышедшего из баллона газа: $40\%$
Понижение температуры: $\Delta t = 8 \ ^\circ\text{C}$
Объем баллона постоянен: $V = \text{const}$

Перевод в систему СИ и вычисление конечных параметров:
Начальная абсолютная температура: $T_1 = 15 + 273 = 288 \text{ К}$
Конечная температура в градусах Цельсия: $t_2 = t_1 - \Delta t = 15 - 8 = 7 \ ^\circ\text{C}$
Конечная абсолютная температура: $T_2 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$
Если начальное количество вещества газа было $\nu_1$, то после того как 40% газа вышло, осталось: $\nu_2 = \nu_1 - 0.4\nu_1 = 0.6\nu_1$

Найти:
Отношение начального давления к конечному $\frac{p_1}{p_2}$.

Решение:
Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний газа в баллоне.
Начальное состояние (индекс 1): $p_1V = \nu_1RT_1$
Конечное состояние (индекс 2): $p_2V = \nu_2RT_2$
Чтобы найти, во сколько раз уменьшилось давление, найдем отношение $\frac{p_1}{p_2}$. Для этого разделим первое уравнение на второе:
$\frac{p_1V}{p_2V} = \frac{\nu_1RT_1}{\nu_2RT_2}$
Сократив объем $V$ и универсальную газовую постоянную $R$, получим:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\nu_1T_1}{\nu_2T_2}$
Подставим в это соотношение значения температур и выражение для $\nu_2$:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\nu_1 \cdot 288 \text{ К}}{0.6\nu_1 \cdot 280 \text{ К}}$
Сократим $\nu_1$ и выполним вычисления:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{288}{0.6 \cdot 280} = \frac{288}{168}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{288}{168} = \frac{144}{84} = \frac{72}{42} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7}$
$\frac{12}{7} \approx 1.714$

Ответ: давление газа уменьшится в $\frac{12}{7}$ раза, или примерно в 1.71 раза.

500*. В баллоне находится газ при температуре 15 °С. Во сколько раз уменьшится давление газа, если 40% его выйдет из баллона, а температура при этом понизится на 8 °С?

Дано:

$t_1 = 15 \text{ °C}$

$\text{доля вышедшего газа} = 40\% = 0.4$

$\Delta t = 8 \text{ °C}$

$V = \text{const}$

Найти:

$\frac{p_1}{p_2}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Запишем уравнение для начального состояния газа (индекс 1):

$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$

Запишем уравнение для конечного состояния газа (индекс 2), после того как часть газа вышла и температура изменилась. Объем баллона $V$ и молярная масса газа $M$ остаются неизменными.

$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилось давление, нужно найти отношение начального давления $p_1$ к конечному $p_2$. Для этого разделим первое уравнение на второе:

$\frac{p_1 V}{p_2 V} = \frac{\frac{m_1}{M} R T_1}{\frac{m_2}{M} R T_2}$

Сократим одинаковые величины ($V$, $M$, $R$):

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2}$

Подставим известные соотношения и значения температур:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 \cdot 288 \text{ К}}{0.6 m_1 \cdot 280 \text{ К}}$

Сократим массу $m_1$ и выполним вычисления:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{288}{0.6 \cdot 280} = \frac{288}{168}$

Сократим дробь:

$\frac{288}{168} = \frac{144}{84} = \frac{72}{42} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7}$

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{12}{7} \approx 1.714$

Ответ: давление газа уменьшится в $\frac{12}{7}$ раза, или примерно в 1.71 раза.