Страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

463. Зная постоянную Авогадро $N_A$, плотность $\rho$ данного вещества и его молярную массу $\text{M}$, вывести формулы для расчёта числа молекул в единице массы данного вещества; в единице объёма; в теле массой $\text{m}$; в теле объёмом $\text{V}$.

Дано:

$N_A$ – постоянная Авогадро

$\rho$ – плотность вещества

$M$ – молярная масса вещества

$m$ – масса тела

$V$ – объём тела

Найти:

1. Формулу для расчёта числа молекул в единице массы.

2. Формулу для расчёта числа молекул в единице объёма.

3. Формулу для расчёта числа молекул в теле массой $m$.

4. Формулу для расчёта числа молекул в теле объёмом $V$.

Решение:

В основе решения лежат фундаментальные формулы молекулярной физики. Количество вещества $\nu$ можно определить через массу $m$ и молярную массу $M$, а также через число частиц $N$ и постоянную Авогадро $N_A$.

Количество вещества: $\nu = \frac{m}{M}$

С другой стороны: $\nu = \frac{N}{N_A}$

Приравняв оба выражения, получим ключевое соотношение:

$\frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$

Также мы будем использовать формулу для плотности вещества:

$\rho = \frac{m}{V}$

в единице массы данного вещества

Требуется найти число молекул, содержащееся в единице массы вещества, то есть отношение $\frac{N}{m}$. Для этого преобразуем основное соотношение:

$N = \frac{m \cdot N_A}{M}$

Разделив обе части равенства на массу $m$, получим:

$\frac{N}{m} = \frac{N_A}{M}$

Ответ: $\frac{N}{m} = \frac{N_A}{M}$

в единице объёма

Требуется найти число молекул в единице объёма, то есть концентрацию молекул $n = \frac{N}{V}$. Из формулы плотности выразим массу: $m = \rho V$. Подставим это выражение в формулу для числа молекул:

$N = \frac{m \cdot N_A}{M} = \frac{(\rho V) N_A}{M}$

Теперь найдём искомое отношение, разделив обе части на объём $V$:

$\frac{N}{V} = \frac{\rho N_A}{M}$

Ответ: $n = \frac{N}{V} = \frac{\rho N_A}{M}$

в теле массой $m$

Требуется найти общее число молекул $N$ в теле с заданной массой $m$. Выразим $N$ из основного соотношения:

$\frac{m}{M} = \frac{N}{N_A} \implies N = m \frac{N_A}{M}$

Ответ: $N = \frac{m N_A}{M}$

в теле объёмом $V$

Требуется найти общее число молекул $N$ в теле с заданным объёмом $V$. Для этого сначала найдём массу тела через его объём и плотность: $m = \rho V$. Затем подставим полученное выражение для массы в формулу из предыдущего пункта:

$N = \frac{m N_A}{M} = \frac{(\rho V) N_A}{M}$

Ответ: $N = \frac{\rho V N_A}{M}$

464. Предельно допустимая концентрация молекул паров ртути (Hg) в воздухе равна $3 \cdot 10^{16}$ м$^{-3}$, а ядовитого газа хлора (Cl$_{2}$) — $8,5 \cdot 10^{18}$ м$^{-3}$. Найти, при какой массе каждого из веществ в одном кубическом метре воздуха появляется опасность отравления. Почему надо быть очень осторожным при обращении со ртутью?

Найти, при какой массе каждого из веществ в одном кубическом метре воздуха появляется опасность отравления.

Дано:

Предельно допустимая концентрация молекул ртути (Hg): $n_{Hg} = 3 \cdot 10^{16} \text{ м}^{-3}$
Предельно допустимая концентрация молекул хлора ($Cl_2$): $n_{Cl_2} = 8,5 \cdot 10^{18} \text{ м}^{-3}$
Объем воздуха: $V = 1 \text{ м}^3$
Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Молярная масса ртути (из таблицы Менделеева): $M_{Hg} \approx 200,6 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса хлора ($Cl_2$): $M_{Cl_2} \approx 2 \cdot 35,5 \cdot 10^{-3} = 71 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Массу ртути $m_{Hg}$ — ?
Массу хлора $m_{Cl_2}$ — ?

Решение:

Массу вещества $m$ можно найти, зная количество вещества $\nu$ и молярную массу $M$ по формуле $m = \nu \cdot M$. Количество вещества, в свою очередь, связано с числом молекул $N$ и постоянной Авогадро $N_A$: $\nu = \frac{N}{N_A}$. Число молекул $N$ в объеме $V$ определяется через концентрацию $n$ как $N = n \cdot V$.

Объединив эти формулы, получаем выражение для массы:

$m = \frac{n \cdot V \cdot M}{N_A}$

Поскольку по условию задачи объем $V = 1 \text{ м}^3$, формула для вычисления массы в одном кубическом метре упрощается до:

$m = \frac{n \cdot M}{N_A}$

1. Вычислим предельную массу паров ртути:

$m_{Hg} = \frac{3 \cdot 10^{16} \text{ м}^{-3} \cdot 200,6 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{601,8 \cdot 10^{13}}{6,02 \cdot 10^{23}} \text{ кг} \approx 99,97 \cdot 10^{-10} \text{ кг} \approx 1 \cdot 10^{-8} \text{ кг}$

2. Вычислим предельную массу хлора:

$m_{Cl_2} = \frac{8,5 \cdot 10^{18} \text{ м}^{-3} \cdot 71 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{603,5 \cdot 10^{15}}{6,02 \cdot 10^{23}} \text{ кг} \approx 100,25 \cdot 10^{-8} \text{ кг} \approx 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Ответ: опасность отравления появляется при массе ртути $m_{Hg} \approx 1 \cdot 10^{-8}$ кг (что составляет 0,01 мг) и при массе хлора $m_{Cl_2} \approx 1 \cdot 10^{-6}$ кг (что составляет 1 мг) в одном кубическом метре воздуха.

Почему надо быть очень осторожным при обращении со ртутью?

С ртутью необходимо обращаться с чрезвычайной осторожностью из-за ее уникальных физических свойств и высокой токсичности. Во-первых, ртуть — это летучий металл, который активно испаряется уже при комнатной температуре. Ее пары не имеют ни цвета, ни запаха, поэтому человек может вдыхать их, не замечая этого, что создает скрытую угрозу отравления. Во-вторых, ртуть и ее соединения являются кумулятивными ядами, то есть они способны накапливаться в организме (в частности, в почках, печени и головном мозге) и очень медленно выводиться. Длительное воздействие даже малых концентраций паров ртути приводит к тяжелым хроническим заболеваниям, поражающим центральную нервную систему. В-третьих, пролитая ртуть легко разбивается на мелкие капли, которые раскатываются по поверхности, попадая в трещины и поры материалов. Это значительно увеличивает площадь испарения и чрезвычайно затрудняет полную очистку помещения, превращая его в постоянный источник ядовитых испарений.

Ответ: с ртутью необходимо быть очень осторожным из-за ее высокой токсичности, способности испаряться при комнатной температуре, образуя невидимые и не имеющие запаха ядовитые пары, а также из-за ее свойства накапливаться в организме, вызывая тяжелые хронические отравления.

465. Считая, что диаметр молекул водорода составляет около $2.3 \cdot 10^{-10}$ м, подсчитать, какой длины получилась бы нить, если бы все молекулы, содержащиеся в 1 мг этого газа, были расположены в один ряд вплотную друг к другу. Сопоставить длину этой нити со средним расстоянием от Земли до Луны.

Дано:

$d = 2.3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$ (диаметр молекулы водорода)
$m = 1 \text{ мг}$ (масса водорода)

Справочные данные:
$M(\text{H}_2) \approx 2 \text{ г/моль}$ (молярная масса водорода)
$N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ (постоянная Авогадро)
$L_{З-Л} \approx 384400 \text{ км}$ (среднее расстояние от Земли до Луны)

Перевод в систему СИ:
$m = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
$M(\text{H}_2) \approx 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
$L_{З-Л} \approx 3.844 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

$L$ — длину нити из молекул.
$\frac{L}{L_{З-Л}}$ — отношение длины нити к расстоянию от Земли до Луны.

Решение:

1. Сначала найдем общее число молекул водорода $N$ в массе $m$. Число молекул можно найти по формуле, связывающей массу, молярную массу и постоянную Авогадро:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Подставим значения в системе СИ:

$N = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 3.011 \cdot 10^{20}$

2. Далее рассчитаем длину нити $L$. Так как все молекулы расположены в один ряд вплотную друг к другу, общая длина будет равна произведению числа молекул $N$ на диаметр одной молекулы $d$:

$L = N \cdot d$

Подставим вычисленное число молекул и данный диаметр:

$L = (3.011 \cdot 10^{20}) \cdot (2.3 \cdot 10^{-10} \text{ м}) \approx 6.925 \cdot 10^{10} \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных: $L \approx 6.9 \cdot 10^{10} \text{ м}$ (что составляет 69 миллионов километров).

3. На последнем этапе сопоставим полученную длину $L$ со средним расстоянием от Земли до Луны $L_{З-Л}$. Для этого найдем их отношение:

$\frac{L}{L_{З-Л}} = \frac{6.925 \cdot 10^{10} \text{ м}}{3.844 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx 180$

Таким образом, длина нити из молекул водорода, содержащихся всего в 1 мг газа, превышает среднее расстояние от Земли до Луны примерно в 180 раз.

Ответ: длина получившейся нити составила бы $6.9 \cdot 10^{10} \text{ м}$; эта длина примерно в 180 раз больше среднего расстояния от Земли до Луны.

466. Находившаяся в стакане вода массой 200 г полностью испарилась за 20 сут. Сколько в среднем молекул воды вылетало с её поверхности за 1 с?

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$t = 20 \text{ сут} = 20 \times 24 \times 3600 \text{ с} = 1728000 \text{ с}$

Найти:

$n$ - ?

Решение:

Для того чтобы найти, сколько в среднем молекул воды вылетало с ее поверхности за 1 секунду, необходимо сначала определить общее число молекул в данной массе воды, а затем разделить это число на общее время испарения, выраженное в секундах.

1. Найдем общее число молекул $N$ в 200 г воды. Для этого воспользуемся формулой, связывающей массу вещества $m$, его молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$ ($N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$):

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Молярная масса воды ($H_2O$) составляет $M \approx 18 \text{ г/моль}$, что в системе СИ равно $0.018 \text{ кг/моль}$.

Подставим значения в формулу, используя данные в СИ:

$N = \frac{0.2 \text{ кг}}{0.018 \text{ кг/моль}} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 6.69 \times 10^{24} \text{ молекул}$

2. Теперь, зная общее число испарившихся молекул $N$ и общее время испарения $t$ в секундах, найдем среднее число молекул $n$, вылетающих с поверхности за 1 секунду:

$n = \frac{N}{t}$

Подставим вычисленные значения:

$n = \frac{6.69 \times 10^{24}}{1728000 \text{ с}} = \frac{6.69 \times 10^{24}}{1.728 \times 10^6 \text{ с}} \approx 3.87 \times 10^{18} \text{ с}^{-1}$

Ответ: в среднем с поверхности воды вылетало $3.87 \times 10^{18}$ молекул за 1 с.

467. В озеро, имеющее среднюю глубину 10 м и площадь поверхности 20 км$^2$, бросили кристаллик поваренной соли массой 0,01 г. Сколько молекул этой соли оказалось бы в напёрстке воды объёмом 2 см$^3$, зачерпнутой из озера, если полагать, что соль, растворившись, равномерно распределилась во всём объёме воды озера?

Дано:

Средняя глубина озера, $h = 10 \text{ м}$

Площадь поверхности озера, $S = 20 \text{ км}^2$

Масса кристаллика поваренной соли (NaCl), $m = 0,01 \text{ г}$

Объем воды в напёрстке, $V_{пробы} = 2 \text{ см}^3$

Постоянная Авогадро, $N_A = 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Молярная масса поваренной соли NaCl (Na ≈ 23, Cl ≈ 35,5), $M = 58,5 \text{ г/моль}$

Найти:

Количество молекул соли в напёрстке, $N_{пробы}$

Решение:

1. Сначала определим общий объем воды в озере ($V_{озера}$), предполагая, что его можно рассчитать как объем цилиндра с площадью основания $S$ и высотой $h$:

$V_{озера} = S \times h$

$V_{озера} = 2 \times 10^7 \text{ м}^2 \times 10 \text{ м} = 2 \times 10^8 \text{ м}^3$

2. Далее найдем общее количество молекул соли ($N_{общее}$), которое было брошено в озеро. Для этого сначала вычислим количество вещества соли ($\nu$) по формуле:

$\nu = \frac{m}{M}$

Затем, зная количество вещества, найдем общее число молекул, умножив его на число Авогадро $N_A$:

$N_{общее} = \nu \times N_A = \frac{m}{M} \times N_A$

Подставим значения массы и молярной массы (для удобства вычислений используем граммы и г/моль, так как они сокращаются):

$N_{общее} = \frac{0,01 \text{ г}}{58,5 \text{ г/моль}} \times 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,029 \times 10^{20}$ молекул

3. По условию задачи, соль распределилась равномерно по всему объему озера. Найдем концентрацию молекул соли ($n$) в воде озера. Концентрация – это отношение общего числа молекул к общему объему:

$n = \frac{N_{общее}}{V_{озера}}$

$n = \frac{1,029 \times 10^{20} \text{ молекул}}{2 \times 10^8 \text{ м}^3} \approx 5,145 \times 10^{11} \text{ м}^{-3}$

4. Теперь можно найти количество молекул соли в напёрстке ($N_{пробы}$), умножив концентрацию молекул на объем напёрстка:

$N_{пробы} = n \times V_{пробы}$

$N_{пробы} = 5,145 \times 10^{11} \text{ м}^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 10,29 \times 10^5 \approx 1,03 \times 10^6$ молекул

Таким образом, в напёрстке воды окажется около миллиона молекул соли.

Ответ: в напёрстке воды окажется примерно $1,03 \times 10^6$ молекул соли.

468*. Кристалл поваренной соли имеет кубическую форму и состоит из чередующихся ионов Na и Cl. Найти среднее расстояние $d$ между их центрами, если плотность соли $\rho = 2200 \text{ кг/м}^3$.

Дано:

Найти:

Решение:

Кристалл поваренной соли (хлорида натрия NaCl) имеет кубическую решетку, в узлах которой поочередно располагаются ионы натрия $ \text{Na}^+ $ и хлора $ \text{Cl}^- $. Расстояние между центрами двух соседних разноименных ионов обозначим как $ d $.

Объем кристалла можно представить как сумму объемов, приходящихся на каждый ион. В среднем на один ион (будь то $ \text{Na}^+ $ или $ \text{Cl}^- $) в такой структуре приходится объем, примерно равный $ d^3 $.

Молекула NaCl состоит из двух ионов. Следовательно, объем $ V_0 $, приходящийся на одну формульную единицу NaCl, будет равен сумме объемов, приходящихся на один ион натрия и один ион хлора:

$ V_0 = 2d^3 $

Плотность вещества $ \rho $ определяется как отношение массы $ m_0 $ одной формульной единицы к объему $ V_0 $, который она занимает:

$ \rho = \frac{m_0}{V_0} = \frac{m_{NaCl}}{2d^3} $

Массу одной формульной единицы $ m_{NaCl} $ можно найти, разделив молярную массу NaCl на число Авогадро $ N_A $.

Сначала найдем молярную массу NaCl:

$ M_{NaCl} = M_{Na} + M_{Cl} = 23 \cdot 10^{-3} + 35.5 \cdot 10^{-3} = 58.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} $

Теперь найдем массу одной формульной единицы NaCl:

$ m_{NaCl} = \frac{M_{NaCl}}{N_A} = \frac{58.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 9.714 \cdot 10^{-26} \text{ кг} $

Теперь выразим искомое расстояние $ d $ из формулы для плотности:

$ d^3 = \frac{m_{NaCl}}{2\rho} $

$ d = \sqrt[3]{\frac{m_{NaCl}}{2\rho}} $

Подставим числовые значения:

$ d = \sqrt[3]{\frac{9.714 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}{2 \cdot 2200 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt[3]{\frac{9.714 \cdot 10^{-26}}{4400}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{2.208 \cdot 10^{-29}} \text{ м} $

Для удобства извлечения корня представим число в виде $ 22.08 \cdot 10^{-30} $:

$ d \approx \sqrt[3]{22.08 \cdot 10^{-30}} \text{ м} \approx 2.805 \cdot 10^{-10} \text{ м} $

Округлим результат до сотых.

Ответ: $ d \approx 2.81 \cdot 10^{-10} \text{ м} $.

469. В результате нагревания давление газа в закрытом сосуде увеличилось в 4 раза. Во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость?

Дано:

Процесс нагревания газа в закрытом сосуде, следовательно, это изохорный процесс ($V = \text{const}$).
Начальное давление газа - $p_1$.
Конечное давление газа - $p_2$.
Отношение давлений: $\frac{p_2}{p_1} = 4$.

Найти:

Отношение конечной и начальной средних квадратичных скоростей: $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов, которое связывает давление газа $p$ со средней квадратичной скоростью $v$ его молекул:

$p = \frac{1}{3} n m_0 v^2$

В этой формуле $n$ – концентрация молекул газа, а $m_0$ – масса одной молекулы.

Так как газ находится в закрытом сосуде, его объем $V$ и количество молекул $N$ остаются постоянными. Следовательно, концентрация молекул $n = \frac{N}{V}$ также является константой. Масса одной молекулы $m_0$ также не изменяется.

Из уравнения следует, что давление газа $p$ прямо пропорционально квадрату средней квадратичной скорости $v^2$:

$p \sim v^2$

Мы можем записать отношение давлений для начального ($p_1, v_1$) и конечного ($p_2, v_2$) состояний газа:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} n m_0 v_2^2}{\frac{1}{3} n m_0 v_1^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Теперь выразим искомое отношение скоростей из полученного равенства:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{p_2}{p_1}}$

Согласно условию задачи, давление увеличилось в 4 раза, то есть $\frac{p_2}{p_1} = 4$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{4} = 2$

Это означает, что средняя квадратичная скорость молекул газа увеличилась в 2 раза.

Ответ: средняя квадратичная скорость увеличилась в 2 раза.

470. Сравнить давления кислорода и водорода при одинаковых концентрациях молекул и равных средних квадратичных скоростях их движения.

Дано:

Кислород ($O_2$) и водород ($H_2$)
Концентрации молекул равны: $n_{O_2} = n_{H_2} = n$
Средние квадратичные скорости равны: $\langle v_{кв, O_2} \rangle = \langle v_{кв, H_2} \rangle = \langle v_{кв} \rangle$

Найти:

Сравнить давления кислорода $p_{O_2}$ и водорода $p_{H_2}$, то есть найти их отношение $\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}}$.

Решение:

Давление идеального газа можно выразить через основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости движения молекул. Средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ связана со средним квадратом скорости соотношением $\langle v^2 \rangle = \langle v_{кв} \rangle^2$.

Запишем уравнения для давления кислорода и водорода:

$p_{O_2} = \frac{1}{3} n_{O_2} m_{O_2} \langle v_{кв, O_2} \rangle^2$

$p_{H_2} = \frac{1}{3} n_{H_2} m_{H_2} \langle v_{кв, H_2} \rangle^2$

Согласно условию задачи, концентрации молекул и средние квадратичные скорости для обоих газов равны:

$n_{O_2} = n_{H_2} = n$

$\langle v_{кв, O_2} \rangle = \langle v_{кв, H_2} \rangle = \langle v_{кв} \rangle$

Подставим эти условия в уравнения для давлений:

$p_{O_2} = \frac{1}{3} n m_{O_2} \langle v_{кв} \rangle^2$

$p_{H_2} = \frac{1}{3} n m_{H_2} \langle v_{кв} \rangle^2$

Теперь найдем отношение давления кислорода к давлению водорода, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = \frac{\frac{1}{3} n m_{O_2} \langle v_{кв} \rangle^2}{\frac{1}{3} n m_{H_2} \langle v_{кв} \rangle^2}$

Сократив одинаковые множители ($ \frac{1}{3}, n, \langle v_{кв} \rangle^2 $), получим:

$\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = \frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}$

Отношение давлений равно отношению масс их молекул. Отношение масс молекул равно отношению их молярных масс ($M$):

$\frac{m_{O_2}}{m_{H_2}} = \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}$

Молярная масса кислорода $O_2$ составляет $M_{O_2} \approx 32 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Молярная масса водорода $H_2$ составляет $M_{H_2} \approx 2 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Вычислим искомое отношение:

$\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = \frac{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 16$

Таким образом, при одинаковых концентрациях и средних квадратичных скоростях молекул давление кислорода в 16 раз больше давления водорода.

Ответ: давление кислорода в 16 раз больше давления водорода, $\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = 16$.

471. Во сколько раз изменится давление газа при уменьшении его объёма в 3 раза? Средняя скорость движения молекул осталась неизменной.

Дано:

$\frac{V_1}{V_2} = 3$ (объем газа уменьшился в 3 раза)
$\langle v \rangle = \text{const}$ (средняя скорость движения молекул постоянна)

$\frac{p_2}{p_1} - ?$

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа. Это уравнение связывает давление газа $p$ с микроскопическими параметрами его молекул:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

Здесь $n$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема), $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости движения молекул.

Концентрация $n$ выражается через общее число молекул $N$ и объем $V$, занимаемый газом: $n = \frac{N}{V}$. Подставив это в основное уравнение МКТ, получим:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle$

Запишем это выражение для начального состояния газа (с индексом 1) и для конечного состояния (с индексом 2):

$p_1 = \frac{1}{3} \frac{N}{V_1} m_0 \langle v_1^2 \rangle$

$p_2 = \frac{1}{3} \frac{N}{V_2} m_0 \langle v_2^2 \rangle$

В этих выражениях число молекул $N$ и масса одной молекулы $m_0$ являются постоянными величинами, так как газ находится в замкнутом объеме.

По условию задачи, средняя скорость движения молекул осталась неизменной. Это означает, что и средний квадрат скорости молекул также не изменился: $\langle v_1^2 \rangle = \langle v_2^2 \rangle$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилось давление, составим отношение конечного давления $p_2$ к начальному $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} \frac{N}{V_2} m_0 \langle v_2^2 \rangle}{\frac{1}{3} \frac{N}{V_1} m_0 \langle v_1^2 \rangle}$

Теперь можно сократить все одинаковые величины в числителе и знаменателе дроби: $\frac{1}{3}$, $N$, $m_0$ и $\langle v^2 \rangle$.

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{V_2}}{\frac{1}{V_1}} = \frac{V_1}{V_2}$

Из условия мы знаем, что объем газа уменьшился в 3 раза, то есть отношение $\frac{V_1}{V_2} = 3$. Подставим это значение в наше выражение:

$\frac{p_2}{p_1} = 3$

Это означает, что давление газа увеличилось в 3 раза.

Стоит отметить, что условие постоянства средней скорости молекул эквивалентно условию постоянства температуры газа ($T = \text{const}$), так как температура является мерой средней кинетической энергии молекул. Следовательно, в задаче описан изотермический процесс, для которого справедлив закон Бойля-Мариотта: $p_1 V_1 = p_2 V_2$. Из этого закона также следует, что $\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2} = 3$.

Ответ: давление газа увеличится в 3 раза.

472. Каково давление газа, если средняя квадратичная скорость его молекул $500 \text{ м/с}$, а его плотность $1,35 \text{ кг/м}^3$?

Дано:

Средняя квадратичная скорость молекул $v_{кв} = 500$ м/с

Плотность газа $\rho = 1,35$ кг/м³

Найти:

Давление газа $P$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов (МКТ), которое связывает макроскопический параметр — давление ($P$) — с микроскопическими параметрами молекул. Уравнение имеет вид:

$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости движения молекул.

Произведение концентрации молекул на массу одной молекулы представляет собой плотность газа $\rho$:

$\rho = n \cdot m_0$

Сделав подстановку в основное уравнение МКТ, мы получим выражение для давления через плотность:

$P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$

Средняя квадратичная скорость $v_{кв}$, данная в условии, по определению равна $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$. Следовательно, средний квадрат скорости можно выразить как $\langle v^2 \rangle = v_{кв}^2$.

Итоговая расчетная формула будет выглядеть так:

$P = \frac{1}{3} \rho v_{кв}^2$

Исходные данные приведены в системе СИ, поэтому можно сразу подставить их в формулу для вычисления:

$P = \frac{1}{3} \cdot 1,35 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \left(500 \frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2$

$P = 0,45 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 250000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$

$P = 112500 \frac{\text{кг}}{\text{м} \cdot \text{с}^2} = 112500 \text{ Па}$

Полученное значение можно также выразить в килопаскалях ($112,5$ кПа) или в стандартном виде ($1,125 \cdot 10^5$ Па).

Ответ: $112500$ Па.