Номер 470, страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

470. Сравнить давления кислорода и водорода при одинаковых концентрациях молекул и равных средних квадратичных скоростях их движения.

Дано:

Кислород ($O_2$) и водород ($H_2$)
Концентрации молекул равны: $n_{O_2} = n_{H_2} = n$
Средние квадратичные скорости равны: $\langle v_{кв, O_2} \rangle = \langle v_{кв, H_2} \rangle = \langle v_{кв} \rangle$

Найти:

Сравнить давления кислорода $p_{O_2}$ и водорода $p_{H_2}$, то есть найти их отношение $\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}}$.

Решение:

Давление идеального газа можно выразить через основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости движения молекул. Средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ связана со средним квадратом скорости соотношением $\langle v^2 \rangle = \langle v_{кв} \rangle^2$.

Запишем уравнения для давления кислорода и водорода:

$p_{O_2} = \frac{1}{3} n_{O_2} m_{O_2} \langle v_{кв, O_2} \rangle^2$

$p_{H_2} = \frac{1}{3} n_{H_2} m_{H_2} \langle v_{кв, H_2} \rangle^2$

Согласно условию задачи, концентрации молекул и средние квадратичные скорости для обоих газов равны:

$n_{O_2} = n_{H_2} = n$

$\langle v_{кв, O_2} \rangle = \langle v_{кв, H_2} \rangle = \langle v_{кв} \rangle$

Подставим эти условия в уравнения для давлений:

$p_{O_2} = \frac{1}{3} n m_{O_2} \langle v_{кв} \rangle^2$

$p_{H_2} = \frac{1}{3} n m_{H_2} \langle v_{кв} \rangle^2$

Теперь найдем отношение давления кислорода к давлению водорода, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = \frac{\frac{1}{3} n m_{O_2} \langle v_{кв} \rangle^2}{\frac{1}{3} n m_{H_2} \langle v_{кв} \rangle^2}$

Сократив одинаковые множители ($ \frac{1}{3}, n, \langle v_{кв} \rangle^2 $), получим:

$\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = \frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}$

Отношение давлений равно отношению масс их молекул. Отношение масс молекул равно отношению их молярных масс ($M$):

$\frac{m_{O_2}}{m_{H_2}} = \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}$

Молярная масса кислорода $O_2$ составляет $M_{O_2} \approx 32 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Молярная масса водорода $H_2$ составляет $M_{H_2} \approx 2 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Вычислим искомое отношение:

$\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = \frac{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 16$

Таким образом, при одинаковых концентрациях и средних квадратичных скоростях молекул давление кислорода в 16 раз больше давления водорода.

Ответ: давление кислорода в 16 раз больше давления водорода, $\frac{p_{O_2}}{p_{H_2}} = 16$.