Номер 473, страница 66 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

473. Какова средняя квадратичная скорость движения молекул газа, если, имея массу 6 кг, он занимает объём $5 \text{ м}^3$ при давлении $200 \text{ кПа}$?

Дано:

$m = 6$ кг

$V = 5$ м³

$P = 200$ кПа

Найти:

$v_{кв}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое связывает давление газа с его макроскопическими параметрами и средней квадратичной скоростью движения молекул:

$P = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2}$

где $P$ — давление газа, $\rho$ — плотность газа, а $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул.

Плотность газа $\rho$ можно выразить через его массу $m$ и объём $V$:

$\rho = \frac{m}{V}$

Подставим выражение для плотности в основное уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \overline{v^2}$

Из этого уравнения нам нужно выразить среднюю квадратичную скорость $v_{кв}$, которая по определению равна $v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}$.

Выразим сначала средний квадрат скорости $\overline{v^2}$:

$3PV = m \overline{v^2}$

$\overline{v^2} = \frac{3PV}{m}$

Теперь найдём среднюю квадратичную скорость, извлекая квадратный корень:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3PV}{m}}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи, используя данные в системе СИ:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 5 \text{ м³}}{6 \text{ кг}}}$

Произведем вычисления:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 10^5}{6}} = \sqrt{\frac{30 \cdot 10^5}{6}} = \sqrt{5 \cdot 10^5} = \sqrt{50 \cdot 10^4} \text{ м/с}$

$v_{кв} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{10^4} = \sqrt{25 \cdot 2} \cdot 10^2 = 5\sqrt{2} \cdot 100 = 500\sqrt{2} \text{ м/с}$

Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$, получаем:

$v_{кв} \approx 500 \cdot 1,414 = 707$ м/с.

Ответ:

Средняя квадратичная скорость движения молекул газа равна 707 м/с.