Номер 477, страница 66 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

477. Во сколько раз изменится давление одноатомного газа в результате уменьшения его объёма в 3 раза и увеличения средней кинетической энергии молекул в 2 раза?

Дано:

$V_2 = \frac{V_1}{3}$ (объем уменьшился в 3 раза)
$\bar{E}_{k2} = 2 \cdot \bar{E}_{k1}$ (средняя кинетическая энергия увеличилась в 2 раза)

Найти:

$\frac{p_2}{p_1}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа, которое связывает давление газа с микроскопическими параметрами его молекул:

$p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, а $\bar{E}_k$ – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Концентрация молекул $n$ определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают:

$n = \frac{N}{V}$

Подставим выражение для концентрации в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}_k$

Запишем это уравнение для начального состояния газа (с индексом 1) и для конечного состояния (с индексом 2). Будем считать, что количество газа (число молекул $N$) не изменяется в процессе.

Начальное состояние: $p_1 = \frac{2}{3} \frac{N}{V_1} \bar{E}_{k1}$

Конечное состояние: $p_2 = \frac{2}{3} \frac{N}{V_2} \bar{E}_{k2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилось давление, найдем отношение конечного давления $p_2$ к начальному $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{2}{3} \frac{N}{V_2} \bar{E}_{k2}}{\frac{2}{3} \frac{N}{V_1} \bar{E}_{k1}}$

Сократим одинаковые множители ($\frac{2}{3}$ и $N$):

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{\bar{E}_{k2}}{V_2}}{\frac{\bar{E}_{k1}}{V_1}} = \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}}$

Теперь подставим в полученное выражение соотношения из условия задачи. Из $V_2 = \frac{V_1}{3}$ следует, что $\frac{V_1}{V_2} = 3$. Из $\bar{E}_{k2} = 2 \bar{E}_{k1}$ следует, что $\frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}} = 2$.

Выполним вычисления:

$\frac{p_2}{p_1} = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, давление газа увеличится в 6 раз.

Ответ: давление увеличится в 6 раз.