Номер 471, страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

471. Во сколько раз изменится давление газа при уменьшении его объёма в 3 раза? Средняя скорость движения молекул осталась неизменной.

Дано:

$\frac{V_1}{V_2} = 3$ (объем газа уменьшился в 3 раза)
$\langle v \rangle = \text{const}$ (средняя скорость движения молекул постоянна)

$\frac{p_2}{p_1} - ?$

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа. Это уравнение связывает давление газа $p$ с микроскопическими параметрами его молекул:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

Здесь $n$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема), $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости движения молекул.

Концентрация $n$ выражается через общее число молекул $N$ и объем $V$, занимаемый газом: $n = \frac{N}{V}$. Подставив это в основное уравнение МКТ, получим:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle$

Запишем это выражение для начального состояния газа (с индексом 1) и для конечного состояния (с индексом 2):

$p_1 = \frac{1}{3} \frac{N}{V_1} m_0 \langle v_1^2 \rangle$

$p_2 = \frac{1}{3} \frac{N}{V_2} m_0 \langle v_2^2 \rangle$

В этих выражениях число молекул $N$ и масса одной молекулы $m_0$ являются постоянными величинами, так как газ находится в замкнутом объеме.

По условию задачи, средняя скорость движения молекул осталась неизменной. Это означает, что и средний квадрат скорости молекул также не изменился: $\langle v_1^2 \rangle = \langle v_2^2 \rangle$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилось давление, составим отношение конечного давления $p_2$ к начальному $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} \frac{N}{V_2} m_0 \langle v_2^2 \rangle}{\frac{1}{3} \frac{N}{V_1} m_0 \langle v_1^2 \rangle}$

Теперь можно сократить все одинаковые величины в числителе и знаменателе дроби: $\frac{1}{3}$, $N$, $m_0$ и $\langle v^2 \rangle$.

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{V_2}}{\frac{1}{V_1}} = \frac{V_1}{V_2}$

Из условия мы знаем, что объем газа уменьшился в 3 раза, то есть отношение $\frac{V_1}{V_2} = 3$. Подставим это значение в наше выражение:

$\frac{p_2}{p_1} = 3$

Это означает, что давление газа увеличилось в 3 раза.

Стоит отметить, что условие постоянства средней скорости молекул эквивалентно условию постоянства температуры газа ($T = \text{const}$), так как температура является мерой средней кинетической энергии молекул. Следовательно, в задаче описан изотермический процесс, для которого справедлив закон Бойля-Мариотта: $p_1 V_1 = p_2 V_2$. Из этого закона также следует, что $\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2} = 3$.

Ответ: давление газа увеличится в 3 раза.