Номер 468, страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

468*. Кристалл поваренной соли имеет кубическую форму и состоит из чередующихся ионов Na и Cl. Найти среднее расстояние $d$ между их центрами, если плотность соли $\rho = 2200 \text{ кг/м}^3$.

Дано:

Найти:

Решение:

Кристалл поваренной соли (хлорида натрия NaCl) имеет кубическую решетку, в узлах которой поочередно располагаются ионы натрия $ \text{Na}^+ $ и хлора $ \text{Cl}^- $. Расстояние между центрами двух соседних разноименных ионов обозначим как $ d $.

Объем кристалла можно представить как сумму объемов, приходящихся на каждый ион. В среднем на один ион (будь то $ \text{Na}^+ $ или $ \text{Cl}^- $) в такой структуре приходится объем, примерно равный $ d^3 $.

Молекула NaCl состоит из двух ионов. Следовательно, объем $ V_0 $, приходящийся на одну формульную единицу NaCl, будет равен сумме объемов, приходящихся на один ион натрия и один ион хлора:

$ V_0 = 2d^3 $

Плотность вещества $ \rho $ определяется как отношение массы $ m_0 $ одной формульной единицы к объему $ V_0 $, который она занимает:

$ \rho = \frac{m_0}{V_0} = \frac{m_{NaCl}}{2d^3} $

Массу одной формульной единицы $ m_{NaCl} $ можно найти, разделив молярную массу NaCl на число Авогадро $ N_A $.

Сначала найдем молярную массу NaCl:

$ M_{NaCl} = M_{Na} + M_{Cl} = 23 \cdot 10^{-3} + 35.5 \cdot 10^{-3} = 58.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} $

Теперь найдем массу одной формульной единицы NaCl:

$ m_{NaCl} = \frac{M_{NaCl}}{N_A} = \frac{58.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 9.714 \cdot 10^{-26} \text{ кг} $

Теперь выразим искомое расстояние $ d $ из формулы для плотности:

$ d^3 = \frac{m_{NaCl}}{2\rho} $

$ d = \sqrt[3]{\frac{m_{NaCl}}{2\rho}} $

Подставим числовые значения:

$ d = \sqrt[3]{\frac{9.714 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}{2 \cdot 2200 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt[3]{\frac{9.714 \cdot 10^{-26}}{4400}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{2.208 \cdot 10^{-29}} \text{ м} $

Для удобства извлечения корня представим число в виде $ 22.08 \cdot 10^{-30} $:

$ d \approx \sqrt[3]{22.08 \cdot 10^{-30}} \text{ м} \approx 2.805 \cdot 10^{-10} \text{ м} $

Округлим результат до сотых.

Ответ: $ d \approx 2.81 \cdot 10^{-10} \text{ м} $.