Страница 58 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

403. С какой скоростью понижается уровень воды в баке, площадь сечения которого $1 \text{ м}^2$, если скорость течения воды в отводящей трубе сечением $20 \text{ см}^2$ равна $2 \text{ м/с}$? Каков расход воды в баке?

Дано:

Площадь сечения бака $S_1 = 1 \text{ м}^2$
Площадь сечения отводящей трубы $S_2 = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.002 \text{ м}^2$
Скорость течения воды в трубе $v_2 = 2 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость понижения уровня воды в баке $v_1$ - ?
Расход воды в баке $Q$ - ?

Решение:

С какой скоростью понижается уровень воды в баке?

Для решения задачи воспользуемся уравнением неразрывности струи для идеальной несжимаемой жидкости. Это уравнение гласит, что объемный расход жидкости (объем, проходящий через поперечное сечение потока в единицу времени) является постоянной величиной для любого сечения.

Объемный расход $Q$ вычисляется по формуле $Q = S \cdot v$, где $S$ — площадь поперечного сечения, а $v$ — скорость течения жидкости.

Поскольку расход воды, вытекающей из бака, равен расходу воды в отводящей трубе, мы можем записать:

$Q_1 = Q_2$

$S_1 v_1 = S_2 v_2$

Здесь $v_1$ — это искомая скорость понижения уровня воды в баке. Выразим ее из уравнения:

$v_1 = \frac{S_2 v_2}{S_1}$

Подставим числовые значения, предварительно переведя все величины в систему СИ:

$v_1 = \frac{0.002 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м/с}}{1 \text{ м}^2} = 0.004 \text{ м/с}$

Эту скорость можно также выразить в миллиметрах в секунду: $0.004 \text{ м/с} = 4 \text{ мм/с}$.

Ответ: скорость понижения уровня воды в баке равна $0.004 \text{ м/с}$ (или $4 \text{ мм/с}$).

Каков расход воды в баке?

Расход воды $Q$ — это объем жидкости, протекающий через поперечное сечение за единицу времени. Как было установлено ранее, расход одинаков во всей системе. Мы можем рассчитать его, используя данные для отводящей трубы, так как для нее известны и площадь сечения $S_2$, и скорость течения $v_2$.

$Q = S_2 v_2$

Подставим значения:

$Q = 0.002 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м/с} = 0.004 \text{ м}^3/\text{с}$

Расход воды в баке равен расходу воды в отводящей трубе. Эту величину также можно выразить в литрах в секунду, зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$:

$Q = 0.004 \frac{\text{м}^3}{\text{с}} \cdot 1000 \frac{\text{л}}{\text{м}^3} = 4 \frac{\text{л}}{\text{с}}$

Ответ: расход воды в баке составляет $0.004 \text{ м}^3/\text{с}$ (или $4 \text{ л/с}$).

404. Скорость течения воды в широкой части трубы 10 см/с. Какова скорость её течения в узкой части, диаметр которой в 4 раза меньше диаметра широкой части?

Дано:

Скорость течения воды в широкой части трубы, $v_1 = 10 \text{ см/с}$
Соотношение диаметров: диаметр узкой части $d_2$ в 4 раза меньше диаметра широкой части $d_1$, то есть $d_1 = 4d_2$.

Найти:

Скорость течения воды в узкой части трубы, $v_2$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением неразрывности (или уравнением непрерывности) для несжимаемой жидкости. Оно гласит, что объемный расход жидкости, то есть объем жидкости, проходящей через любое поперечное сечение трубы за единицу времени, является постоянной величиной.

Математически это выражается как: $Q = S_1 v_1 = S_2 v_2$, где $Q$ - объемный расход, $S_1$ и $S_2$ - площади поперечного сечения широкой и узкой частей трубы соответственно, а $v_1$ и $v_2$ - скорости течения воды в этих частях.

Площадь поперечного сечения трубы представляет собой круг, и ее можно вычислить через диаметр $d$ по формуле: $S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражение для площади в уравнение неразрывности: $\frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2$

Сократив одинаковые множители $\frac{\pi}{4}$ в обеих частях уравнения, получим: $d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$

Выразим искомую скорость $v_2$: $v_2 = v_1 \frac{d_1^2}{d_2^2} = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$

Из условия задачи мы знаем, что $d_1 = 4d_2$, следовательно, отношение диаметров $\frac{d_1}{d_2} = 4$.

Подставим это значение в формулу для $v_2$: $v_2 = v_1 \cdot 4^2 = v_1 \cdot 16$

Теперь подставим числовое значение скорости $v_1$: $v_2 = 10 \text{ см/с} \cdot 16 = 160 \text{ см/с}$

Переведем результат в систему СИ: $v_2 = 160 \text{ см/с} = 1.6 \text{ м/с}$

Ответ: скорость течения воды в узкой части трубы составляет 160 см/с или 1.6 м/с.

которой в 4 раза меньше диаметра широкой части.

405. Земснаряд вынимает $500\text{ м}^3$ грунта в час. Объём пульпы (грунт, смешанный с водой) в 10 раз больше объёма грунта. Какова скорость движения пульпы в трубе диаметром $0,6\text{ м}$?

Дано:

Объёмный расход грунта $Q_{гр} = 500 \text{ м³/час}$

Отношение объёма пульпы к объёму грунта $k = 10$

Диаметр трубы $d = 0,6 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$Q_{гр} = \frac{500 \text{ м³}}{1 \text{ час}} = \frac{500 \text{ м³}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{36} \text{ м³/с}$

Найти:

$v$ - скорость движения пульпы.

Решение:

Объёмный расход, или производительность, показывает, какой объём вещества проходит через поперечное сечение трубы за единицу времени. Он связан со скоростью потока ($v$) и площадью поперечного сечения ($S$) соотношением $Q = S \cdot v$. Отсюда можно выразить скорость: $v = Q/S$.

1. Найдём объёмный расход пульпы ($Q_п$). По условию, объём пульпы в 10 раз больше объёма грунта. Это означает, что и объёмный расход пульпы будет в 10 раз больше, чем у грунта:

$Q_п = k \cdot Q_{гр} = 10 \cdot \frac{5}{36} \frac{\text{м³}}{\text{с}} = \frac{50}{36} \frac{\text{м³}}{\text{с}} = \frac{25}{18} \frac{\text{м³}}{\text{с}}$

2. Рассчитаем площадь поперечного сечения трубы ($S$). Так как труба имеет круглое сечение, её площадь вычисляется по формуле площади круга через диаметр:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставляем значение диаметра $d = 0,6 \text{ м}$:

$S = \frac{\pi \cdot (0,6 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,36 \text{ м²}}{4} = 0,09\pi \text{ м²}$

3. Теперь можем найти скорость движения пульпы ($v$), разделив её объёмный расход на площадь сечения трубы:

$v = \frac{Q_п}{S} = \frac{25/18 \text{ м³/с}}{0,09\pi \text{ м²}} = \frac{25}{18 \cdot 0,09 \cdot \pi} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{25}{1,62\pi} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для получения числового ответа, подставим значение $\pi \approx 3,14$:

$v \approx \frac{25}{1,62 \cdot 3,14} \approx \frac{25}{5,0868} \approx 4,915 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $v \approx 4,9 \text{ м/с}$.

406. Если подключить шланг к выходному отверстию пылесоса и поместить в струю мячик для настольного тенниса (рис. 51), то он будет парить в струе и при движении шланга будет следовать за ним. Объяснить явление.

Рис. 51

406. Решение

Данное явление можно объяснить с помощью закона Бернулли, который описывает связь между давлением и скоростью движения жидкости или газа. Рассмотрим две составляющие этого процесса: способность мячика парить и его устойчивость в центре потока.

1. Парение (вертикальное равновесие). На мячик для настольного тенниса действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поток воздуха, выходящий из шланга пылесоса, оказывает на мячик силовое воздействие (силу лобового сопротивления), направленное вверх. Когда скорость воздушного потока становится достаточной, эта восходящая сила уравновешивает силу тяжести. В результате этого равновесия сил мячик зависает в воздухе, то есть парит.

2. Устойчивость в потоке (горизонтальное равновесие). Это основная часть явления. Согласно закону Бернулли, в тех областях потока, где скорость движения среды (в данном случае воздуха) выше, статическое давление ниже, и наоборот. Упрощенно это можно выразить формулой:

$p + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const}$

где $p$ — статическое давление в потоке, $\rho$ — плотность воздуха, а $v$ — скорость потока.

Скорость воздуха в струе, которая обтекает мячик, значительно выше, чем скорость окружающего неподвижного воздуха. Следовательно, давление внутри этой струи оказывается ниже, чем атмосферное давление снаружи.

Если мячик пытается сместиться из центра струи в сторону, то одна его сторона оказывается в области высокого давления (окружающий неподвижный воздух), а другая — в области низкого давления (быстро движущаяся струя). Эта разность давлений создает силу, направленную из области высокого давления в область низкого, то есть толкающую мячик обратно к центру струи. Именно эта "возвращающая" сила обеспечивает устойчивость положения мячика и заставляет его следовать за движением шланга.

Ответ: Явление объясняется законом Бернулли. Мячик парит в воздухе, так как сила сопротивления воздушного потока уравновешивает его силу тяжести. Он остается в центре струи и следует за шлангом, потому что в быстро движущемся потоке воздуха давление ниже, чем в окружающем неподвижном воздухе. Эта разность давлений создает возвращающую силу, которая удерживает мячик в центре потока при его смещениях.

407. Почему две баржи, проплывающие в одном направлении близко друг к другу, могут столкнуться?

Это явление объясняется с помощью закона Бернулли, который устанавливает связь между скоростью потока жидкости и давлением в этом потоке. Когда две баржи движутся параллельно друг другу на небольшом расстоянии, они сужают пространство для прохождения воды между ними.

1. Согласно уравнению неразрывности струи, в более узком месте скорость потока жидкости должна увеличиться, чтобы через него проходил тот же объем воды в единицу времени. Следовательно, скорость течения воды между баржами ($v_{внутр}$) становится выше, чем скорость течения у их внешних бортов ($v_{внеш}$).

2. Закон Бернулли гласит, что для горизонтального потока идеальной жидкости сумма статического и динамического давлений постоянна. Уравнение Бернулли выглядит так:

$p + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const}$

где $p$ — статическое давление в жидкости, $\rho$ — плотность жидкости, а $v$ — скорость ее потока.

3. Из этого уравнения следует, что в областях, где скорость потока ($v$) выше, статическое давление ($p$) ниже. Поскольку скорость воды между баржами ($v_{внутр}$) выше, давление в этой области ($p_{внутр}$) становится ниже, чем давление у внешних бортов ($p_{внеш}$), где скорость потока меньше ($v_{внутр} > v_{внеш} \Rightarrow p_{внутр} < p_{внеш}$).

4. Эта разница давлений создает результирующую силу, действующую на каждую баржу. Сила направлена из области более высокого давления (с внешней стороны) в область более низкого давления (между баржами). В результате баржи начинают притягиваться друг к другу, что может привести к их столкновению. Это явление также известно как гидродинамическое присасывание.

Ответ: Две баржи, проплывающие близко друг к другу, могут столкнуться из-за того, что между ними скорость потока воды увеличивается, а давление, согласно закону Бернулли, уменьшается. Возникающая разность давлений между внутренними и внешними бортами создает силу, притягивающую баржи друг к другу.

408. В водопроводной трубе образовалось отверстие сечением $4 \text{ мм}^2$, из которого бьёт вертикально вверх струя воды, поднимаясь на высоту $80 \text{ см}$. Какова утечка воды за сутки?

Дано:

Площадь сечения отверстия $S = 4 \text{ мм}^2 = 4 \times 10^{-6} \text{ м}^2$
Высота подъема струи $h = 80 \text{ см} = 0.8 \text{ м}$
Время утечки $t = 1 \text{ сутки} = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Объем утечки воды $V$ - ?

Решение:

Для определения общего объема воды, вытекшей за сутки, сначала необходимо найти скорость, с которой вода вытекает из отверстия. Затем, зная скорость, можно вычислить объемный расход и, умножив его на время, найти искомый объем.

1. Найдем начальную скорость струи воды $v$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей высоту подъема тела, брошенного вертикально вверх, с его начальной скоростью. Эта формула является следствием закона сохранения энергии: кинетическая энергия воды при выходе из отверстия полностью переходит в ее потенциальную энергию на максимальной высоте (пренебрегая сопротивлением воздуха).

$\frac{m v^2}{2} = m g h$

Отсюда скорость $v$ равна:

$v = \sqrt{2 g h}$

где $g$ — ускорение свободного падения. В школьных задачах часто принимают $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ для упрощения расчетов, используем это значение.

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \sqrt{2 \times 10 \text{ м/с}^2 \times 0.8 \text{ м}} = \sqrt{16 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 4 \text{ м/с}$

2. Теперь вычислим объемный расход воды $Q$. Это объем воды, протекающий через сечение $S$ за единицу времени. Он равен произведению площади сечения на скорость потока.

$Q = S \cdot v$

$Q = (4 \times 10^{-6} \text{ м}^2) \times 4 \text{ м/с} = 16 \times 10^{-6} \text{ м}^3/\text{с}$

3. Наконец, найдем общий объем утечки $V$ за время $t = 86400$ секунд (1 сутки).

$V = Q \cdot t$

$V = (16 \times 10^{-6} \text{ м}^3/\text{с}) \times 86400 \text{ с} = 1.3824 \text{ м}^3$

Так как $1 \text{ м}^3 = 1000$ литров, объем утечки составляет $1.3824 \times 1000 = 1382.4$ литра.

Ответ: утечка воды за сутки составляет $1.3824 \text{ м}^3$.

409. Если через трубу А (рис. 52) продувать воздух, то при некоторой скорости его движения по трубке В будет подниматься вода, захватываться струёй воздуха и распыляться, а из трубки С воздух будет выходить пузырьками. Объяснить явление.

Рис. 52

Описанное явление объясняется законом Бернулли, который устанавливает обратную зависимость между скоростью потока жидкости или газа и его статическим давлением. Там, где скорость потока выше, давление ниже, и наоборот. Для горизонтального потока несжимаемой жидкости уравнение Бернулли имеет вид:

$$ p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const} $$

где $p$ — статическое давление в потоке, $\rho$ — плотность среды, а $v$ — скорость потока.

Труба А представляет собой трубку Вентури. Согласно уравнению неразрывности струи, скорость потока воздуха обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубы. Следовательно, в узкой части трубы (над вертикальной трубкой B) скорость воздуха $v_B$ будет наибольшей, а в широкой части (над трубкой C) скорость $v_C$ будет меньше.

Подъём и распыление воды в трубке B

Вследствие высокой скорости воздуха $v_B$ в сужении над трубкой B, давление воздуха $p_B$ в этой области, согласно закону Бернулли, падает и становится ниже атмосферного давления $p_{атм}$, которое действует на свободную поверхность воды в сосуде. Возникшая разность давлений ($p_{атм} > p_B$) заставляет воду подниматься вверх по трубке B. Когда вода достигает быстрого воздушного потока, она захватывается им, дробится на мелкие капли и уносится, образуя спрей. Этот принцип лежит в основе работы пульверизаторов и аэрографов.

Выход воздуха из трубки C

В широкой части трубы А, расположенной над трубкой C, скорость воздуха $v_C$ меньше, и, как следствие, давление $p_C$ выше, чем в узкой части ($p_C > p_B$). В условии задачи сказано, что из трубки C воздух выходит пузырьками. Это означает, что воздух из горизонтальной трубы А поступает в вертикальную трубку C и выходит в воду. Такое возможно только если давление воздуха $p_C$ в этой части трубы А превышает давление в воде у нижнего конца трубки C. Давление в воде на этой глубине равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления столба воды: $p_{воды} = p_{атм} + \rho_{воды}gh$. Следовательно, должно выполняться условие $p_C > p_{атм} + \rho_{воды}gh$. Такое повышенное давление в трубе А создается за счет принудительного продувания воздуха через нее. Таким образом, общее давление в трубе А выше атмосферного, но из-за эффекта Бернулли оно распределяется неравномерно: в узкой части оно падает ниже атмосферного, а в широкой остается достаточно высоким, чтобы выталкивать воздух в воду.

Ответ: Явление объясняется законом Бернулли. В узкой части горизонтальной трубы (над трубкой B) скорость потока воздуха максимальна, поэтому давление там минимально (ниже атмосферного). Разность давлений заставляет воду из сосуда подниматься по трубке B и распыляться потоком воздуха. В широкой части трубы (над трубкой C) скорость воздуха меньше, а давление выше. Это давление оказывается больше суммарного давления атмосферы и столба воды, поэтому воздух из трубы A выдувается через трубку C в воду, образуя пузырьки.

410. Можно ли выдуть из воронки, дуя с узкого конца, вложенный в неё бумажный фильтр (рис. 53)?

Рис. 53

Решение

Когда мы дуем в узкий конец воронки, мы создаем быстрый поток воздуха. Этот поток проходит в зазоре между бумажным фильтром и внутренними стенками воронки. Согласно закону Бернулли, в тех областях потока, где скорость движения жидкости или газа выше, давление ниже, и наоборот.

Скорость воздуха, обтекающего бумажный фильтр изнутри, велика. Следовательно, давление этого воздуха ($p_{1}$) на внутреннюю поверхность фильтра становится значительно ниже, чем давление неподвижного воздуха снаружи ($p_{2}$), которое равно атмосферному давлению.

Возникает разность давлений $\Delta p = p_{2} - p_{1}$. Эта разность давлений создает силу, направленную из области более высокого давления (снаружи) в область более низкого давления (между фильтром и воронкой). Эта сила прижимает бумажный фильтр к стенкам воронки.

Таким образом, попытка выдуть фильтр приводит к обратному эффекту: он еще сильнее прижимается к воронке. Чем сильнее дуть, тем больше разность давлений и тем сильнее сила прижатия.

Ответ: Нет, выдуть бумажный фильтр из воронки, дуя с узкого конца, нельзя. Из-за быстрого потока воздуха между фильтром и стенкой воронки создается область пониженного давления, и внешнее атмосферное давление прижимает фильтр к воронке.