Страница 54 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

376. Троллейбус массой $15 \text{ т}$ трогается с места с ускорением $1,4 \text{ м/с}^2$. Найти работу силы тяги и работу силы сопротивления на первых $10 \text{ м}$ пути, если коэффициент сопротивления равен 0,02. Какую кинетическую энергию приобрёл троллейбус?

Дано:

Найти:

$A_{тяги}$ - ?

$A_{сопр}$ - ?

$E_k$ - ?

Решение:

Работа силы сопротивления

Сила сопротивления движению определяется как произведение коэффициента сопротивления $\mu$ на силу нормальной реакции опоры $N$. При движении по горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести $mg$.

Формула для силы сопротивления: $F_{сопр} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g$.

Рассчитаем ее значение:

$F_{сопр} = 0,02 \cdot 15000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 2940 \text{ Н}$.

Работа силы определяется формулой $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения. Сила сопротивления всегда направлена против движения, поэтому угол $\alpha = 180^\circ$, и $\cos(180^\circ) = -1$.

Работа силы сопротивления будет отрицательной:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s = -2940 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м} = -29400 \text{ Дж}$.

Переведем в килоджоули: $A_{сопр} = -29,4 \text{ кДж}$.

Ответ: работа силы сопротивления равна -29,4 кДж.

Работа силы тяги

Для нахождения силы тяги воспользуемся вторым законом Ньютона. Вдоль направления движения на троллейбус действуют сила тяги $F_{тяги}$ и сила сопротивления $F_{сопр}$. Равнодействующая этих сил сообщает троллейбусу ускорение $a$.

$F_{тяги} - F_{сопр} = m \cdot a$

Выразим отсюда силу тяги:

$F_{тяги} = m \cdot a + F_{сопр}$

Подставим числовые значения:

$F_{тяги} = 15000 \text{ кг} \cdot 1,4 \text{ м/с}^2 + 2940 \text{ Н} = 21000 \text{ Н} + 2940 \text{ Н} = 23940 \text{ Н}$.

Сила тяги направлена в сторону движения, поэтому угол $\alpha = 0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$.

Работа силы тяги:

$A_{тяги} = F_{тяги} \cdot s = 23940 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м} = 239400 \text{ Дж}$.

Переведем в килоджоули: $A_{тяги} = 239,4 \text{ кДж}$.

Ответ: работа силы тяги равна 239,4 кДж.

Какую кинетическую энергию приобрёл троллейбус

Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей силы: $\Delta E_k = A_{равн}$.

Поскольку троллейбус трогается с места, его начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$. Значит, приобретенная кинетическая энергия $E_k$ равна работе равнодействующей силы $A_{равн}$.

$E_k = A_{равн} = F_{равн} \cdot s$

Равнодействующая сила равна $F_{равн} = m \cdot a$.

$E_k = m \cdot a \cdot s = 15000 \text{ кг} \cdot 1,4 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м} = 210000 \text{ Дж}$.

Также работу равнодействующей силы можно найти как сумму работ всех сил:

$A_{равн} = A_{тяги} + A_{сопр} = 239400 \text{ Дж} - 29400 \text{ Дж} = 210000 \text{ Дж}$.

Переведем в килоджоули: $E_k = 210 \text{ кДж}$.

Ответ: троллейбус приобрёл кинетическую энергию 210 кДж.

377. На рисунке 48 дан график зависимости проекции скорости автобуса массой 20 т от времени. Вычислить работу силы тяги, совершённую за 20 с, если коэффициент сопротивления равен 0,05. Каково изменение кинетической энергии автобуса?

Рис. 48

Дано:

$m = 20 \text{ т}$
$t = 20 \text{ с}$
$\mu = 0.05$
Из графика:
начальная скорость $v_0 = v(t=0) = 10 \text{ м/с}$
конечная скорость $v = v(t=20) = 20 \text{ м/с}$

$m = 20 \cdot 10^3 \text{ кг} = 20000 \text{ кг}$

Найти:

$A_{тяги}$ - ?
$\Delta E_k$ - ?

Решение:

Вычислить работу силы тяги, совершённую за 20 с

Работа силы тяги вычисляется по формуле $A_{тяги} = F_{тяги} \cdot s$, где $F_{тяги}$ - сила тяги, а $s$ - пройденный путь.

1. Найдем ускорение автобуса. Движение, судя по графику, равноускоренное, так как скорость является линейной функцией времени. Ускорение равно тангенсу угла наклона графика:

$a = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t} = \frac{20 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{20 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}^2$

2. Найдем путь $s$, пройденный автобусом. Путь численно равен площади фигуры под графиком скорости. В данном случае это трапеция.

$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{10 \text{ м/с} + 20 \text{ м/с}}{2} \cdot 20 \text{ с} = 15 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 300 \text{ м}$

3. Запишем второй закон Ньютона для автобуса в проекции на направление движения. На автобус действуют сила тяги $F_{тяги}$ и сила сопротивления $F_{сопр}$:

$m \cdot a = F_{тяги} - F_{сопр}$

Отсюда выразим силу тяги:

$F_{тяги} = m \cdot a + F_{сопр}$

4. Вычислим силу сопротивления. Сила сопротивления (включающая силу трения) определяется как $F_{сопр} = \mu N$. Для движения по горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$.

$F_{сопр} = \mu mg$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$F_{сопр} = 0.05 \cdot 20000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 9800 \text{ Н}$

5. Теперь найдем силу тяги:

$F_{тяги} = 20000 \text{ кг} \cdot 0.5 \text{ м/с}^2 + 9800 \text{ Н} = 10000 \text{ Н} + 9800 \text{ Н} = 19800 \text{ Н}$

6. Наконец, вычислим работу силы тяги:

$A_{тяги} = F_{тяги} \cdot s = 19800 \text{ Н} \cdot 300 \text{ м} = 5940000 \text{ Дж} = 5.94 \text{ МДж}$

Ответ: работа силы тяги равна $5.94 \text{ МДж}$.

Каково изменение кинетической энергии автобуса?

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ — это разность между конечной и начальной кинетическими энергиями:

$\Delta E_k = E_{k} - E_{k0} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = \frac{m}{2}(v^2 - v_0^2)$

Подставим известные значения из графика и условия задачи:

$\Delta E_k = \frac{20000 \text{ кг}}{2} \cdot ((20 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2) = 10000 \cdot (400 - 100) \text{ Дж} = 10000 \cdot 300 \text{ Дж} = 3000000 \text{ Дж}$

Переведем результат в мегаджоули:

$3000000 \text{ Дж} = 3 \text{ МДж}$

Ответ: изменение кинетической энергии автобуса составляет $3 \text{ МДж}$.

378. Автомобиль массой $2 \text{ т}$ затормозил и остановился, пройдя путь $50 \text{ м}$. Найти работу силы трения и изменение кинетической энергии автомобиля, если дорога горизонтальна, а коэффициент трения равен $0.4$.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 2$ т
Тормозной путь, $s = 50$ м
Коэффициент трения, $\mu = 0,4$
Конечная скорость, $v_к = 0$ м/с (автомобиль остановился)

Перевод в систему СИ:
$m = 2 \cdot 1000 = 2000$ кг

Найти:

Работу силы трения, $A_{тр}$ - ?
Изменение кинетической энергии, $\Delta E_k$ - ?

Решение:

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$.

Работа силы трения

Работа силы $A$ вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$, где $F$ – модуль силы, $s$ – модуль перемещения, а $\alpha$ – угол между векторами силы и перемещения.

В данном случае, сила трения $F_{тр}$ направлена противоположно направлению движения автомобиля. Следовательно, угол $\alpha$ между силой трения и перемещением равен $180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$.

Работа силы трения: $A_{тр} = F_{тр} \cdot s \cdot (-1) = -F_{тр} \cdot s$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu \cdot N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры.

Поскольку дорога горизонтальна, сила нормальной реакции опоры уравновешивает силу тяжести и равна ей по модулю: $N = m \cdot g$

Подставив все выражения, получим формулу для работы силы трения: $A_{тр} = -\mu \cdot m \cdot g \cdot s$

Выполним расчеты: $A_{тр} = -0,4 \cdot 2000 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 50 \, \text{м} = -392000 \, \text{Дж}$

Переведем джоули в килоджоули: $1 \, \text{кДж} = 1000 \, \text{Дж}$. $A_{тр} = -392 \, \text{кДж}$

Ответ: работа силы трения равна -392 кДж.

Изменение кинетической энергии автомобиля

Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии тела ($\Delta E_k$) равно работе всех сил ($A_{полн}$), действующих на тело: $\Delta E_k = A_{полн}$

На автомобиль при торможении на горизонтальной поверхности действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) и сила трения ($\vec{F}_{тр}$). Работа силы тяги двигателя равна нулю, так как автомобиль тормозит.

Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры перпендикулярны вектору перемещения, поэтому их работа равна нулю. Таким образом, полная работа, совершаемая над автомобилем, равна работе силы трения: $A_{полн} = A_{тр}$

Следовательно, изменение кинетической энергии автомобиля равно работе силы трения: $\Delta E_k = A_{тр}$

Используя результат, полученный в предыдущем пункте: $\Delta E_k = -392000 \, \text{Дж} = -392 \, \text{кДж}$

Отрицательное значение изменения кинетической энергии означает, что кинетическая энергия автомобиля уменьшилась, что соответствует процессу торможения.

Ответ: изменение кинетической энергии автомобиля равно -392 кДж.

379. Найти среднюю силу сопротивления грунта F при погружении в него сваи, если под действием падающей с вы-соты $h = 1,4 \text{ м}$ ударной части свайного молота массой $m = 6 \text{ т}$ свая погружается в грунт на расстояние $l = 10 \text{ см}$. Массой сваи пренебречь.

Дано:

$h = 1,4$ м

$m = 6$ т = $6000$ кг

$l = 10$ см = $0,1$ м

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи применим закон сохранения энергии в более общем виде – теорему об изменении полной механической энергии. Согласно этой теореме, изменение полной механической энергии системы равно работе всех внешних непотенциальных сил.

Система состоит из ударной части молота. В процессе погружения сваи на молот действуют сила тяжести (потенциальная сила) и сила сопротивления грунта $F$ (непотенциальная сила). Работу силы тяжести мы учтем через изменение потенциальной энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии конечное положение ударной части молота, то есть после того, как свая погрузилась в грунт на расстояние $l$.

В начальный момент времени (перед падением) ударная часть молота находится на высоте $(h+l)$ относительно нулевого уровня и её скорость равна нулю. Таким образом, её полная начальная механическая энергия $E_1$ равна её потенциальной энергии:

$E_1 = mg(h+l)$

В конечный момент времени ударная часть молота останавливается на нулевом уровне, поэтому её конечная скорость и конечная высота равны нулю. Следовательно, её полная конечная механическая энергия $E_2$ равна нулю:

$E_2 = 0$

Изменение полной механической энергии равно:

$\Delta E = E_2 - E_1 = 0 - mg(h+l) = -mg(h+l)$

Это изменение энергии произошло за счет работы $A_F$ силы сопротивления грунта $F$. Эта сила действует только на пути $l$ и направлена против движения, поэтому её работа отрицательна:

$A_F = -F \cdot l$

Приравниваем изменение энергии к работе непотенциальной силы:

$\Delta E = A_F$

$-mg(h+l) = -F \cdot l$

Отсюда можно выразить искомую силу сопротивления $F$:

$F = \frac{mg(h+l)}{l}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$F = \frac{6000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1,4 \text{ м} + 0,1 \text{ м})}{0,1 \text{ м}} = \frac{58800 \text{ Н} \cdot 1,5 \text{ м}}{0,1 \text{ м}} = \frac{88200 \text{ Дж}}{0,1 \text{ м}} = 882000 \text{ Н}$

Результат можно выразить в килоньютонах (кН):

$F = 882000 \text{ Н} = 882 \text{ кН}$

Ответ: средняя сила сопротивления грунта $F$ равна $882$ кН.

380. С какой скоростью двигался поезд массой 1500 т, если под действием силы сопротивления 150 кН он прошёл с момента начала торможения до остановки путь 500 м?

Дано:

Масса поезда, $m = 1500 \text{ т} = 1500 \cdot 1000 \text{ кг} = 1.5 \cdot 10^6 \text{ кг}$
Сила сопротивления, $F_{сопр} = 150 \text{ кН} = 150 \cdot 1000 \text{ Н} = 1.5 \cdot 10^5 \text{ Н}$
Тормозной путь, $s = 500 \text{ м}$
Конечная скорость, $v = 0 \text{ м/с}$ (поскольку поезд остановился)

Найти:

Начальную скорость поезда $v_0$.

Решение:

Для решения данной задачи применим теорему об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершаемая равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии этого тела.

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

В процессе торможения на поезд действует сила сопротивления $F_{сопр}$, которая совершает работу. Так как эта сила направлена против движения, ее работа отрицательна: $A = -F_{сопр} \cdot s$

Кинетическая энергия поезда в начальный момент торможения (при скорости $v_0$): $E_{k1} = \frac{m v_0^2}{2}$

Кинетическая энергия поезда в конечный момент (после остановки, $v=0$): $E_{k2} = \frac{m v^2}{2} = 0$

Теперь мы можем приравнять работу силы сопротивления к изменению кинетической энергии поезда: $-F_{сопр} \cdot s = 0 - \frac{m v_0^2}{2}$

Упростим полученное уравнение: $F_{сопр} \cdot s = \frac{m v_0^2}{2}$

Из этого уравнения выразим искомую начальную скорость $v_0$: $v_0^2 = \frac{2 \cdot F_{сопр} \cdot s}{m}$ $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot F_{сопр} \cdot s}{m}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^5 \text{ Н} \cdot 500 \text{ м}}{1.5 \cdot 10^6 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 10^8 \text{ Дж}}{1.5 \cdot 10^6 \text{ кг}}} = \sqrt{100 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: скорость поезда в момент начала торможения была 10 м/с.