Страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

320. Движение материальной точки описывается уравнением $x = 5 - 8t + 4t^2$. Приняв её массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и через 4 с после начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Дано:

Уравнение движения: $x(t) = 5 - 8t + 4t^2$

Масса материальной точки: $m = 2$ кг

Первый момент времени: $t_1 = 2$ с

Второй момент времени: $t_2 = 4$ с

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Импульс в момент времени $t_1$ ($p_1$) - ?

Импульс в момент времени $t_2$ ($p_2$) - ?

Силу, вызвавшую изменение импульса ($F$) - ?

Решение:

Импульс материальной точки ($p$) определяется по формуле $p = m \cdot v$, где $m$ - масса, а $v$ - скорость. Чтобы найти импульс, нам сначала нужно определить скорость тела в заданные моменты времени.

Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Найдем зависимость скорости от времени, взяв производную от уравнения движения:

$v(t) = \frac{d}{dt}(5 - 8t + 4t^2) = -8 + 8t$

Уравнение скорости имеет вид $v(t) = -8 + 8t$ (единицы измерения в СИ - м/с).

импульс через 2 с после начала отсчёта времени

Вычислим скорость точки в момент времени $t_1 = 2$ с:

$v_1 = v(2) = -8 + 8 \cdot 2 = -8 + 16 = 8$ м/с.

Теперь рассчитаем импульс в этот момент времени:

$p_1 = m \cdot v_1 = 2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = 16$ кг·м/с.

Ответ: $16$ кг·м/с.

импульс через 4 с после начала отсчёта времени

Вычислим скорость точки в момент времени $t_2 = 4$ с:

$v_2 = v(4) = -8 + 8 \cdot 4 = -8 + 32 = 24$ м/с.

Рассчитаем импульс в этот момент времени:

$p_2 = m \cdot v_2 = 2 \text{ кг} \cdot 24 \text{ м/с} = 48$ кг·м/с.

Ответ: $48$ кг·м/с.

сила, вызвавшую это изменение импульса

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила, действующая на тело, равна скорости изменения его импульса. Силу можно найти как отношение изменения импульса ко времени, за которое это изменение произошло:

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1}$

Подставим найденные значения импульсов и соответствующие моменты времени:

$F = \frac{48 \text{ кг·м/с} - 16 \text{ кг·м/с}}{4 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{32 \text{ кг·м/с}}{2 \text{ с}} = 16$ Н.

Также силу можно найти по формуле $F=ma$. Ускорение $a$ является постоянной величиной, так как движение равноускоренное. Найдем его как производную от скорости:

$a = v'(t) = \frac{d}{dt}(-8 + 8t) = 8$ м/с².

Тогда сила равна:

$F = m \cdot a = 2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с²} = 16$ Н.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $16$ Н.

321. Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость. Угол падения (угол между направлением скорости и перпендикуляром к плоскости) равен 60°. Найти изменение импульса мяча, если удар абсолютно упругий, а угол отражения равен углу падения.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$v = 20 \text{ м/с}$
$\alpha = 60^\circ$
Удар абсолютно упругий

Найти:

$\Delta \vec{p}$

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ равно разности его конечного $\vec{p}_2$ и начального $\vec{p}_1$ импульсов:

$\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$

Импульс является векторной величиной, поэтому для нахождения его изменения разложим векторы начального и конечного импульсов на составляющие. Введем систему координат: ось $OX$ направим вдоль горизонтальной плоскости, а ось $OY$ — перпендикулярно ей, вверх. Точку удара примем за начало координат.

Угол падения $\alpha$ — это угол между вектором скорости и перпендикуляром (осью $OY$).

Проекции начальной скорости $\vec{v}_1$ на оси координат:

$v_{1x} = v \sin \alpha$

$v_{1y} = -v \cos \alpha$ (знак "минус", так как мяч движется вниз, против направления оси $OY$)

Тогда проекции начального импульса $\vec{p}_1 = m\vec{v}_1$ равны:

$p_{1x} = m v \sin \alpha$

$p_{1y} = -m v \cos \alpha$

Поскольку удар абсолютно упругий, а угол отражения равен углу падения, модуль скорости мяча после удара не изменится ($v_2 = v_1 = v$), а угол отражения будет также равен $\alpha$ по отношению к нормали.

Проекции конечной скорости $\vec{v}_2$ на оси координат:

$v_{2x} = v \sin \alpha$ (горизонтальная составляющая скорости не изменилась)

$v_{2y} = v \cos \alpha$ (вертикальная составляющая изменила направление на противоположное)

Проекции конечного импульса $\vec{p}_2 = m\vec{v}_2$ равны:

$p_{2x} = m v \sin \alpha$

$p_{2y} = m v \cos \alpha$

Теперь найдем проекции вектора изменения импульса $\Delta \vec{p}$:

$\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = m v \sin \alpha - m v \sin \alpha = 0$

$\Delta p_y = p_{2y} - p_{1y} = m v \cos \alpha - (-m v \cos \alpha) = 2 m v \cos \alpha$

Таким образом, вектор изменения импульса направлен вдоль оси $OY$, то есть перпендикулярно плоскости. Его модуль равен:

$\Delta p = |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{0^2 + (2 m v \cos \alpha)^2} = 2 m v \cos \alpha$

Подставим числовые значения:

$\Delta p = 2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.1 \cdot 20 \cdot 0.5 = 2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: изменение импульса мяча равно $2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$ и направлено перпендикулярно плоскости удара.

322. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найти изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.

Дано:

Найти:

Решение:

Импульс материальной точки - это векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Так как точка движется равномерно по окружности, модуль ее скорости постоянен, а значит, и модуль импульса постоянен: $p = m \cdot v = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 10 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ за некоторый промежуток времени равно векторной разности конечного $\vec{p_2}$ и начального $\vec{p_1}$ импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Модуль изменения импульса можно найти по теореме косинусов для векторов: $|\Delta\vec{p}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 - 2p_1 p_2 \cos\alpha}$, где $\alpha$ - угол между векторами $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$. Так как $p_1 = p_2 = p$, формула упрощается: $|\Delta\vec{p}| = \sqrt{2p^2(1 - \cos\alpha)}$.

за одну четверть периода

За четверть периода ($T/4$) материальная точка повернется на угол $90^\circ$. Вектор скорости, а следовательно и вектор импульса, также повернется на $90^\circ$. Таким образом, угол между начальным и конечным векторами импульса $\alpha = 90^\circ$.

Подставим значения в формулу для модуля изменения импульса:

$|\Delta\vec{p}_{T/4}| = \sqrt{p^2 + p^2 - 2p^2\cos(90^\circ)} = \sqrt{2p^2 - 0} = p\sqrt{2}$.

Вычислим значение:

$|\Delta\vec{p}_{T/4}| = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: Изменение импульса за одну четверть периода равно $10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за половину периода

За половину периода ($T/2$) точка переместится в диаметрально противоположную точку окружности. Вектор скорости изменит свое направление на противоположное. Следовательно, угол между начальным и конечным векторами импульса $\alpha = 180^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$|\Delta\vec{p}_{T/2}| = \sqrt{p^2 + p^2 - 2p^2\cos(180^\circ)} = \sqrt{2p^2 - 2p^2(-1)} = \sqrt{4p^2} = 2p$.

Вычислим значение:

$|\Delta\vec{p}_{T/2}| = 2 \cdot 10 = 20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: Изменение импульса за половину периода равно $20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за период

За полный период ($T$) материальная точка возвращается в исходное положение, и ее вектор скорости становится таким же, каким был в начале. Это означает, что конечный вектор импульса $\vec{p_2}$ равен начальному вектору импульса $\vec{p_1}$.

$\Delta\vec{p}_T = \vec{p_2} - \vec{p_1} = \vec{p_1} - \vec{p_1} = \vec{0}$.

Модуль изменения импульса равен нулю.

$|\Delta\vec{p}_T| = 0$.

Ответ: Изменение импульса за период равно $0$.

323. Два неупругих тела, массы которых 2 и 6 кг, движутся навстречу друг другу со скоростями 2 м/с каждое. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться эти тела после удара?

Дано:

$m_1 = 2 \text{ кг}$

$m_2 = 6 \text{ кг}$

$v_1 = 2 \text{ м/с}$

$v_2 = 2 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$u$ — скорость тел после удара и направление движения.

Решение:

Поскольку столкновение является абсолютно неупругим, тела после удара движутся как единое целое. Для нахождения их скорости воспользуемся законом сохранения импульса. Суммарный импульс системы тел до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения. В векторной форме закон сохранения импульса выглядит так:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = (m_1 + m_2) \vec{u}$

Направим ось координат OX в сторону движения первого тела (массой $m_1$). Тогда проекция его скорости на эту ось будет положительной: $v_{1x} = v_1 = 2 \text{ м/с}$. Второе тело движется навстречу первому, поэтому проекция его скорости будет отрицательной: $v_{2x} = -v_2 = -2 \text{ м/с}$.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на ось OX:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

где $u$ — это проекция скорости тел после столкновения на ось OX. Выразим из этого уравнения $u$:

$u = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$u = \frac{2 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} - 6 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{2 \text{ кг} + 6 \text{ кг}} = \frac{4 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ кг}} = \frac{-8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ кг}} = -1 \text{ м/с}$

Полученный знак «минус» указывает на то, что после удара тела будут двигаться в направлении, противоположном первоначальному движению первого тела, то есть в том же направлении, в котором двигалось второе, более массивное тело (массой 6 кг). Модуль скорости равен 1 м/с.

Ответ: тела после удара будут двигаться со скоростью 1 м/с в направлении первоначального движения тела массой 6 кг.

324. На вагонетку массой 50 кг, катящуюся по горизонтальному пути со скоростью 0,2 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?

Дано:

Масса вагонетки $m_1 = 50 \text{ кг}$
Начальная скорость вагонетки $v_1 = 0.2 \text{ м/с}$
Масса щебня $m_2 = 200 \text{ кг}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

На сколько уменьшилась скорость вагонетки $\Delta v$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Система "вагонетка-щебень" является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) действуют вертикально и уравновешивают друг друга, а силой трения качения можно пренебречь.

Импульс системы до взаимодействия (до того, как насыпали щебень) равен импульсу движущейся вагонетки. Щебень до падения на вагонетку не имел горизонтальной составляющей скорости, поэтому его начальный горизонтальный импульс равен нулю.
$p_{до} = m_1 \cdot v_1$

После того как щебень насыпали на вагонетку, они стали двигаться вместе как одно целое. Масса системы стала равна сумме масс вагонетки и щебня $(m_1 + m_2)$, а скорость стала $v_2$. Импульс системы после взаимодействия равен:
$p_{после} = (m_1 + m_2) \cdot v_2$

Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия:
$p_{до} = p_{после}$
$m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_2$

Из этого уравнения выразим конечную скорость системы $v_2$:
$v_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:
$v_2 = \frac{50 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}}{50 \text{ кг} + 200 \text{ кг}} = \frac{10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{250 \text{ кг}} = 0,04 \text{ м/с}$

Чтобы найти, на сколько уменьшилась скорость вагонетки, необходимо найти разность между начальной и конечной скоростями:
$\Delta v = v_1 - v_2$
$\Delta v = 0,2 \text{ м/с} - 0,04 \text{ м/с} = 0,16 \text{ м/с}$

Ответ: скорость вагонетки уменьшилась на 0,16 м/с.

325. Вагон массой $20 \text{ т}$, движущийся со скоростью $0,3 \text{ м/с}$, нагоняет вагон массой $30 \text{ т}$, движущийся со скоростью $0,2 \text{ м/с}$. Какова скорость вагонов после взаимодействия, если удар неупругий?

Дано:

Масса первого вагона $m_1 = 20$ т
Начальная скорость первого вагона $v_1 = 0,3$ м/с
Масса второго вагона $m_2 = 30$ т
Начальная скорость второго вагона $v_2 = 0,2$ м/с

Найти:

Скорость вагонов после взаимодействия $u$ - ?

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Поскольку удар вагонов является неупругим, после взаимодействия они сцепляются и движутся вместе как единое тело с некоторой общей скоростью $u$. Система двух вагонов является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы и не действуют в этом направлении.

Запишем закон сохранения импульса для системы из двух вагонов. Суммарный импульс системы до столкновения равен сумме импульсов каждого вагона:

$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

Так как вагоны движутся в одном направлении, их скорости имеют одинаковый знак, и мы можем записать закон в скалярной форме, направив ось координат по направлению движения.

После неупругого столкновения вагоны движутся вместе. Их общая масса равна $m_1 + m_2$, а общая скорость - $u$. Импульс системы после столкновения:

$p_{после} = (m_1 + m_2) u$

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия:

$p_{до} = p_{после}$

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $u$:

$u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу (можно не переводить массу в кг, так как единицы измерения массы сократятся, но для строгости решения выполним расчет в СИ):

$u = \frac{20000 \, \text{кг} \cdot 0,3 \, \text{м/с} + 30000 \, \text{кг} \cdot 0,2 \, \text{м/с}}{20000 \, \text{кг} + 30000 \, \text{кг}} = \frac{6000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} + 6000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{50000 \, \text{кг}}$

$u = \frac{12000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{50000 \, \text{кг}} = \frac{12}{50} \, \text{м/с} = 0,24 \, \text{м/с}$

Ответ: скорость вагонов после взаимодействия равна $0,24$ м/с.

326. Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по направлению её движения. С какой скоростью двигалась лодка, если она остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса охотника с лодкой 200 кг, масса заряда 20 г. Скорость вылета дроби и пороховых газов 500 м/с.

Дано:

Масса охотника с лодкой $M = 200$ кг
Масса одного заряда $m = 20$ г $= 0.02$ кг
Скорость вылета заряда относительно ружья $v = 500$ м/с
Конечная скорость лодки $u_2 = 0$ м/с

Найти:

Начальную скорость лодки $u_0$.

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Поскольку выстрелы происходят быстро, мы можем пренебречь действием внешних сил (сопротивление воды) и считать систему «лодка + охотник + заряды» замкнутой в горизонтальном направлении. Решение удобно разбить на два этапа, рассматривая каждый выстрел отдельно. Направим ось координат по направлению движения лодки.

Введем обозначения:
$u_0$ — начальная скорость лодки с охотником и двумя зарядами;
$u_1$ — скорость лодки с охотником и одним зарядом после первого выстрела;
$u_2$ — скорость лодки с охотником после второго выстрела. По условию задачи, $u_2 = 0$.
Все скорости рассматриваются относительно земли.

1. Рассмотрение второго выстрела

Перед вторым выстрелом система состоит из лодки, охотника и одного заряда. Её масса равна $M+m$, а скорость — $u_1$. Импульс системы до выстрела: $p_{до_2} = (M+m)u_1$.

После второго выстрела лодка с охотником останавливается ($u_2 = 0$). Заряд массой $m$ вылетает со скоростью $v$ относительно лодки. Его абсолютная скорость (относительно земли) равна $v_{заряда_2} = v + u_2 = v + 0 = v$. Импульс системы после выстрела: $p_{после_2} = M u_2 + m v = M \cdot 0 + mv = mv$.

Согласно закону сохранения импульса $p_{до_2} = p_{после_2}$:
$(M+m)u_1 = mv$.

Отсюда можем выразить скорость лодки после первого выстрела:
$u_1 = \frac{mv}{M+m}$.

2. Рассмотрение первого выстрела

Перед первым выстрелом система состоит из лодки, охотника и двух зарядов. Её масса $M+2m$, а начальная скорость $u_0$. Импульс системы до выстрела: $p_{до_1} = (M+2m)u_0$.

После первого выстрела система разделяется на две части: лодка с охотником и одним зарядом (масса $M+m$, скорость $u_1$) и вылетевший заряд (масса $m$). Абсолютная скорость первого заряда равна $v_{заряда_1} = v + u_1$. Импульс системы после выстрела: $p_{после_1} = (M+m)u_1 + m(v+u_1)$.

Согласно закону сохранения импульса $p_{до_1} = p_{после_1}$:
$(M+2m)u_0 = (M+m)u_1 + m(v+u_1)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$(M+2m)u_0 = (M+m)u_1 + mv + mu_1 = (M+2m)u_1 + mv$.

Выразим начальную скорость $u_0$:
$u_0 = \frac{(M+2m)u_1 + mv}{M+2m} = u_1 + \frac{mv}{M+2m}$.

3. Расчет начальной скорости

Подставим полученное на первом этапе выражение для $u_1$ в формулу для $u_0$:
$u_0 = \frac{mv}{M+m} + \frac{mv}{M+2m} = mv \left( \frac{1}{M+m} + \frac{1}{M+2m} \right)$.

Подставим числовые значения из условия задачи:
$u_0 = 0.02 \cdot 500 \left( \frac{1}{200+0.02} + \frac{1}{200+2 \cdot 0.02} \right) = 10 \left( \frac{1}{200.02} + \frac{1}{200.04} \right)$.

$u_0 = 10 \left(\frac{200.04 + 200.02}{200.02 \cdot 200.04}\right) = 10 \cdot \frac{400.06}{40012.0008} \approx 0.099985$ м/с.

Поскольку масса заряда $m$ пренебрежимо мала по сравнению с массой лодки $M$, для оценки можно использовать приближенную формулу, считая $M+m \approx M$ и $M+2m \approx M$:
$u_0 \approx mv \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M} \right) = \frac{2mv}{M} = \frac{2 \cdot 0.02 \cdot 500}{200} = \frac{20}{200} = 0.1$ м/с.
Результат совпадает с точным расчетом с учетом разумной точности.

Ответ: начальная скорость лодки была приблизительно $0.1$ м/с.

327. С лодки массой 200 кг, движущейся со скоростью 1 м/с, ныряет мальчик массой 50 кг, двигаясь в горизонтальном направлении. Какой станет скорость лодки после прыжка мальчика, если он прыгает:

а) с кормы со скоростью 4 м/с;

б) с носа со скоростью 2 м/с;

в) с носа со скоростью 6 м/с?

Дано:

Масса лодки, $m_л = 200$ кг
Начальная скорость лодки (и мальчика), $v_0 = 1$ м/с
Масса мальчика, $m_м = 50$ кг
Скорость мальчика относительно земли в случае а), $v_{м_a} = 4$ м/с
Скорость мальчика относительно земли в случае б), $v_{м_b} = 2$ м/с
Скорость мальчика относительно земли в случае в), $v_{м_c} = 6$ м/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$v'_{л_a}$ — скорость лодки после прыжка в случае а)
$v'_{л_b}$ — скорость лодки после прыжка в случае б)
$v'_{л_c}$ — скорость лодки после прыжка в случае в)

Решение:

Будем рассматривать систему тел «лодка + мальчик». В горизонтальном направлении эту систему можно считать замкнутой, так как время взаимодействия (прыжка) мало, и действием внешних сил (сопротивление воды и воздуха) можно пренебречь. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OX в сторону начального движения лодки. В таком случае начальная скорость лодки и мальчика $v_0$ будет положительной.

Суммарный импульс системы до прыжка мальчика равен: $P_{до} = (m_л + m_м) v_0$

Суммарный импульс системы после прыжка: $P_{после} = m_л v'_л + m_м v_м$ где $v'_л$ — скорость лодки после прыжка, а $v_м$ — скорость мальчика после прыжка относительно земли. Все скорости рассматриваются в проекциях на ось OX.

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$: $(m_л + m_м) v_0 = m_л v'_л + m_м v_м$

Из этого уравнения выразим искомую скорость лодки $v'_л$: $m_л v'_л = (m_л + m_м) v_0 - m_м v_м$ $v'_л = \frac{(m_л + m_м) v_0 - m_м v_м}{m_л}$

Рассмотрим каждый из трех случаев.

а) он прыгает с кормы со скоростью 4 м/с

Прыжок с кормы означает, что мальчик движется в направлении, противоположном начальному движению лодки. Поэтому проекция его скорости на ось OX отрицательна: $v_{м} = -4$ м/с.

Подставим числовые значения в выведенную формулу: $v'_{л_a} = \frac{(200 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 1 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot (-4 \text{ м/с})}{200 \text{ кг}} = \frac{250 \cdot 1 + 200}{200} = \frac{450}{200} = 2.25$ м/с.

Так как скорость $v'_{л_a}$ положительна, лодка продолжит движение в том же направлении, но с большей скоростью.

Ответ: 2.25 м/с.

б) с носа со скоростью 2 м/с

Прыжок с носа означает, что мальчик движется в том же направлении, что и лодка до прыжка. Проекция его скорости на ось OX положительна: $v_{м} = 2$ м/с.

Подставим значения в формулу: $v'_{л_b} = \frac{(200 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 1 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{200 \text{ кг}} = \frac{250 - 100}{200} = \frac{150}{200} = 0.75$ м/с.

Скорость $v'_{л_b}$ положительна, значит, лодка продолжит движение в прежнем направлении, но ее скорость уменьшится.

Ответ: 0.75 м/с.

в) с носа со скоростью 6 м/с

Мальчик прыгает с носа, его скорость направлена в ту же сторону, что и начальная скорость лодки. Проекция его скорости на ось OX положительна: $v_{м} = 6$ м/с.

Подставим значения в формулу: $v'_{л_c} = \frac{(200 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 1 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot 6 \text{ м/с}}{200 \text{ кг}} = \frac{250 - 300}{200} = \frac{-50}{200} = -0.25$ м/с.

Скорость $v'_{л_c}$ отрицательна. Это означает, что после прыжка мальчика лодка изменит направление своего движения и будет двигаться со скоростью 0.25 м/с в сторону, противоположную первоначальному направлению.

Ответ: -0.25 м/с (или 0.25 м/с в обратном направлении).

328*. С судна массой 750 т произведён выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом $60^\circ$ к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

Дано:

Масса судна $M = 750$ т
Масса снаряда $m = 30$ кг
Угол выстрела к горизонту $\alpha = 60^\circ$
Скорость снаряда относительно судна $u = 1$ км/с

Перевод в систему СИ:

$M = 750 \cdot 1000 \text{ кг} = 750000 \text{ кг}$
$u = 1 \cdot 1000 \text{ м/с} = 1000 \text{ м/с}$

Найти:

Изменение скорости судна $\Delta v_с$.

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса для системы "судно-снаряд" в проекции на горизонтальную ось. Внешние силы (сила тяжести и сила Архимеда) действуют по вертикали и не изменяют суммарный импульс системы в горизонтальном направлении.

Направим ось Ox в сторону первоначального движения судна. Пусть $v_{c1}$ - скорость судна до выстрела, а $v_{c2}$ - скорость судна после выстрела. Масса судна со снарядом до выстрела равна $M+m$.

Импульс системы до выстрела в проекции на ось Ox:

$P_{1x} = (M+m)v_{c1}$

После выстрела снаряд и судно движутся отдельно. Импульс судна после выстрела равен $Mv_{c2}$.

Скорость снаряда относительно земли ($v_п$) равна векторной сумме его скорости относительно судна ($u$) и скорости судна относительно земли ($v_{c2}$):

$\vec{v}_п = \vec{v}_{c2} + \vec{u}$

Выстрел произведен в сторону, противоположную движению судна, под углом $\alpha$ к горизонту. Следовательно, горизонтальная проекция скорости снаряда относительно судна направлена против оси Ox и равна $-u \cos\alpha$.

Тогда проекция абсолютной скорости снаряда на ось Ox:

$v_{пx} = v_{c2} - u \cos\alpha$

Импульс системы после выстрела в проекции на ось Ox:

$P_{2x} = Mv_{c2} + m v_{пx} = Mv_{c2} + m(v_{c2} - u \cos\alpha)$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{1x} = P_{2x}$:

$(M+m)v_{c1} = Mv_{c2} + m(v_{c2} - u \cos\alpha)$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(M+m)v_{c1} = Mv_{c2} + mv_{c2} - m u \cos\alpha$

$(M+m)v_{c1} = (M+m)v_{c2} - m u \cos\alpha$

Нас интересует изменение скорости судна $\Delta v_с = v_{c2} - v_{c1}$. Выразим его из полученного уравнения:

$(M+m)v_{c2} - (M+m)v_{c1} = m u \cos\alpha$

$(M+m)(v_{c2} - v_{c1}) = m u \cos\alpha$

$\Delta v_с = \frac{m u \cos\alpha}{M+m}$

Подставим числовые значения:

$\cos 60^\circ = 0.5$

$\Delta v_с = \frac{30 \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с} \cdot 0.5}{750000 \text{ кг} + 30 \text{ кг}} = \frac{15000}{750030} \approx 0.02 \text{ м/с}$

Поскольку $\Delta v_с > 0$, скорость судна увеличилась.

Ответ: скорость судна изменилась на 0.02 м/с (увеличилась).