Номер 326, страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

326. Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по направлению её движения. С какой скоростью двигалась лодка, если она остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса охотника с лодкой 200 кг, масса заряда 20 г. Скорость вылета дроби и пороховых газов 500 м/с.

Дано:

Масса охотника с лодкой $M = 200$ кг
Масса одного заряда $m = 20$ г $= 0.02$ кг
Скорость вылета заряда относительно ружья $v = 500$ м/с
Конечная скорость лодки $u_2 = 0$ м/с

Найти:

Начальную скорость лодки $u_0$.

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Поскольку выстрелы происходят быстро, мы можем пренебречь действием внешних сил (сопротивление воды) и считать систему «лодка + охотник + заряды» замкнутой в горизонтальном направлении. Решение удобно разбить на два этапа, рассматривая каждый выстрел отдельно. Направим ось координат по направлению движения лодки.

Введем обозначения:
$u_0$ — начальная скорость лодки с охотником и двумя зарядами;
$u_1$ — скорость лодки с охотником и одним зарядом после первого выстрела;
$u_2$ — скорость лодки с охотником после второго выстрела. По условию задачи, $u_2 = 0$.
Все скорости рассматриваются относительно земли.

1. Рассмотрение второго выстрела

Перед вторым выстрелом система состоит из лодки, охотника и одного заряда. Её масса равна $M+m$, а скорость — $u_1$. Импульс системы до выстрела: $p_{до_2} = (M+m)u_1$.

После второго выстрела лодка с охотником останавливается ($u_2 = 0$). Заряд массой $m$ вылетает со скоростью $v$ относительно лодки. Его абсолютная скорость (относительно земли) равна $v_{заряда_2} = v + u_2 = v + 0 = v$. Импульс системы после выстрела: $p_{после_2} = M u_2 + m v = M \cdot 0 + mv = mv$.

Согласно закону сохранения импульса $p_{до_2} = p_{после_2}$:
$(M+m)u_1 = mv$.

Отсюда можем выразить скорость лодки после первого выстрела:
$u_1 = \frac{mv}{M+m}$.

2. Рассмотрение первого выстрела

Перед первым выстрелом система состоит из лодки, охотника и двух зарядов. Её масса $M+2m$, а начальная скорость $u_0$. Импульс системы до выстрела: $p_{до_1} = (M+2m)u_0$.

После первого выстрела система разделяется на две части: лодка с охотником и одним зарядом (масса $M+m$, скорость $u_1$) и вылетевший заряд (масса $m$). Абсолютная скорость первого заряда равна $v_{заряда_1} = v + u_1$. Импульс системы после выстрела: $p_{после_1} = (M+m)u_1 + m(v+u_1)$.

Согласно закону сохранения импульса $p_{до_1} = p_{после_1}$:
$(M+2m)u_0 = (M+m)u_1 + m(v+u_1)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$(M+2m)u_0 = (M+m)u_1 + mv + mu_1 = (M+2m)u_1 + mv$.

Выразим начальную скорость $u_0$:
$u_0 = \frac{(M+2m)u_1 + mv}{M+2m} = u_1 + \frac{mv}{M+2m}$.

3. Расчет начальной скорости

Подставим полученное на первом этапе выражение для $u_1$ в формулу для $u_0$:
$u_0 = \frac{mv}{M+m} + \frac{mv}{M+2m} = mv \left( \frac{1}{M+m} + \frac{1}{M+2m} \right)$.

Подставим числовые значения из условия задачи:
$u_0 = 0.02 \cdot 500 \left( \frac{1}{200+0.02} + \frac{1}{200+2 \cdot 0.02} \right) = 10 \left( \frac{1}{200.02} + \frac{1}{200.04} \right)$.

$u_0 = 10 \left(\frac{200.04 + 200.02}{200.02 \cdot 200.04}\right) = 10 \cdot \frac{400.06}{40012.0008} \approx 0.099985$ м/с.

Поскольку масса заряда $m$ пренебрежимо мала по сравнению с массой лодки $M$, для оценки можно использовать приближенную формулу, считая $M+m \approx M$ и $M+2m \approx M$:
$u_0 \approx mv \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M} \right) = \frac{2mv}{M} = \frac{2 \cdot 0.02 \cdot 500}{200} = \frac{20}{200} = 0.1$ м/с.
Результат совпадает с точным расчетом с учетом разумной точности.

Ответ: начальная скорость лодки была приблизительно $0.1$ м/с.