Номер 320, страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

320. Движение материальной точки описывается уравнением $x = 5 - 8t + 4t^2$. Приняв её массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и через 4 с после начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Дано:

Уравнение движения: $x(t) = 5 - 8t + 4t^2$

Масса материальной точки: $m = 2$ кг

Первый момент времени: $t_1 = 2$ с

Второй момент времени: $t_2 = 4$ с

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Импульс в момент времени $t_1$ ($p_1$) - ?

Импульс в момент времени $t_2$ ($p_2$) - ?

Силу, вызвавшую изменение импульса ($F$) - ?

Решение:

Импульс материальной точки ($p$) определяется по формуле $p = m \cdot v$, где $m$ - масса, а $v$ - скорость. Чтобы найти импульс, нам сначала нужно определить скорость тела в заданные моменты времени.

Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Найдем зависимость скорости от времени, взяв производную от уравнения движения:

$v(t) = \frac{d}{dt}(5 - 8t + 4t^2) = -8 + 8t$

Уравнение скорости имеет вид $v(t) = -8 + 8t$ (единицы измерения в СИ - м/с).

импульс через 2 с после начала отсчёта времени

Вычислим скорость точки в момент времени $t_1 = 2$ с:

$v_1 = v(2) = -8 + 8 \cdot 2 = -8 + 16 = 8$ м/с.

Теперь рассчитаем импульс в этот момент времени:

$p_1 = m \cdot v_1 = 2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = 16$ кг·м/с.

Ответ: $16$ кг·м/с.

импульс через 4 с после начала отсчёта времени

Вычислим скорость точки в момент времени $t_2 = 4$ с:

$v_2 = v(4) = -8 + 8 \cdot 4 = -8 + 32 = 24$ м/с.

Рассчитаем импульс в этот момент времени:

$p_2 = m \cdot v_2 = 2 \text{ кг} \cdot 24 \text{ м/с} = 48$ кг·м/с.

Ответ: $48$ кг·м/с.

сила, вызвавшую это изменение импульса

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила, действующая на тело, равна скорости изменения его импульса. Силу можно найти как отношение изменения импульса ко времени, за которое это изменение произошло:

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1}$

Подставим найденные значения импульсов и соответствующие моменты времени:

$F = \frac{48 \text{ кг·м/с} - 16 \text{ кг·м/с}}{4 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{32 \text{ кг·м/с}}{2 \text{ с}} = 16$ Н.

Также силу можно найти по формуле $F=ma$. Ускорение $a$ является постоянной величиной, так как движение равноускоренное. Найдем его как производную от скорости:

$a = v'(t) = \frac{d}{dt}(-8 + 8t) = 8$ м/с².

Тогда сила равна:

$F = m \cdot a = 2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с²} = 16$ Н.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $16$ Н.