Номер 322, страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

322. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найти изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.

Дано:

Найти:

Решение:

Импульс материальной точки - это векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Так как точка движется равномерно по окружности, модуль ее скорости постоянен, а значит, и модуль импульса постоянен: $p = m \cdot v = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 10 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ за некоторый промежуток времени равно векторной разности конечного $\vec{p_2}$ и начального $\vec{p_1}$ импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Модуль изменения импульса можно найти по теореме косинусов для векторов: $|\Delta\vec{p}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 - 2p_1 p_2 \cos\alpha}$, где $\alpha$ - угол между векторами $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$. Так как $p_1 = p_2 = p$, формула упрощается: $|\Delta\vec{p}| = \sqrt{2p^2(1 - \cos\alpha)}$.

за одну четверть периода

За четверть периода ($T/4$) материальная точка повернется на угол $90^\circ$. Вектор скорости, а следовательно и вектор импульса, также повернется на $90^\circ$. Таким образом, угол между начальным и конечным векторами импульса $\alpha = 90^\circ$.

Подставим значения в формулу для модуля изменения импульса:

$|\Delta\vec{p}_{T/4}| = \sqrt{p^2 + p^2 - 2p^2\cos(90^\circ)} = \sqrt{2p^2 - 0} = p\sqrt{2}$.

Вычислим значение:

$|\Delta\vec{p}_{T/4}| = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: Изменение импульса за одну четверть периода равно $10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за половину периода

За половину периода ($T/2$) точка переместится в диаметрально противоположную точку окружности. Вектор скорости изменит свое направление на противоположное. Следовательно, угол между начальным и конечным векторами импульса $\alpha = 180^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$|\Delta\vec{p}_{T/2}| = \sqrt{p^2 + p^2 - 2p^2\cos(180^\circ)} = \sqrt{2p^2 - 2p^2(-1)} = \sqrt{4p^2} = 2p$.

Вычислим значение:

$|\Delta\vec{p}_{T/2}| = 2 \cdot 10 = 20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: Изменение импульса за половину периода равно $20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за период

За полный период ($T$) материальная точка возвращается в исходное положение, и ее вектор скорости становится таким же, каким был в начале. Это означает, что конечный вектор импульса $\vec{p_2}$ равен начальному вектору импульса $\vec{p_1}$.

$\Delta\vec{p}_T = \vec{p_2} - \vec{p_1} = \vec{p_1} - \vec{p_1} = \vec{0}$.

Модуль изменения импульса равен нулю.

$|\Delta\vec{p}_T| = 0$.

Ответ: Изменение импульса за период равно $0$.