Номер 329, страница 49 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

329*. Бильярдный шар 1, движущийся со скоростью $10 \text{ м/с}$, ударился о покоящийся шар 2 такой же массы. После удара шары разошлись так, как показано на рисунке 45. Найти скорости шаров после удара.

Рис. 45

Дано:

Масса первого шара: $m_1$
Масса второго шара: $m_2 = m_1 = m$
Начальная скорость первого шара: $v_1 = 10$ м/с
Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$ м/с
Угол разлета первого шара: $\alpha_1 = 45^\circ$ (относительно начального направления)
Угол разлета второго шара: $\alpha_2 = 45^\circ$ (относительно начального направления)

Найти:

Скорость первого шара после удара: $v'_1$
Скорость второго шара после удара: $v'_2$

Решение:

Для решения задачи о столкновении двух шаров применим закон сохранения импульса. Поскольку удар бильярдных шаров можно считать абсолютно упругим, также будет выполняться закон сохранения механической энергии.

Выберем систему координат так, чтобы ось $Ox$ совпадала с направлением начальной скорости первого шара, а ось $Oy$ была перпендикулярна ей.

Закон сохранения импульса в векторной форме: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}$

Учитывая, что массы шаров равны ($m_1 = m_2 = m$) и второй шар покоился ($v_2 = 0$), уравнение принимает вид: $m\vec{v_1} = m\vec{v'_1} + m\vec{v'_2}$, что эквивалентно $\vec{v_1} = \vec{v'_1} + \vec{v'_2}$.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Согласно рисунку, после удара первый шар отклоняется на угол $\alpha_1 = 45^\circ$ вниз, а второй — на угол $\alpha_2 = 45^\circ$ вверх.

Проекция на ось $Ox$: $v_1 = v'_1 \cos(\alpha_1) + v'_2 \cos(\alpha_2)$ Подставляем числовые значения: $10 = v'_1 \cos(45^\circ) + v'_2 \cos(45^\circ)$ $10 = v'_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + v'_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$ $10 = \frac{\sqrt{2}}{2} (v'_1 + v'_2)$ (1)

Проекция на ось $Oy$: Начальный импульс системы в проекции на эту ось равен нулю. $0 = v'_1 \sin(-45^\circ) + v'_2 \sin(45^\circ)$ $0 = -v'_1 \sin(45^\circ) + v'_2 \sin(45^\circ)$ $0 = \frac{\sqrt{2}}{2} (v'_2 - v'_1)$ Из этого уравнения следует, что $v'_1 = v'_2$.

Теперь подставим полученное равенство $v'_1 = v'_2$ в уравнение (1) для оси $Ox$: $10 = \frac{\sqrt{2}}{2} (v'_1 + v'_1)$ $10 = \frac{\sqrt{2}}{2} (2v'_1)$ $10 = \sqrt{2} v'_1$

Отсюда находим модуль скорости первого шара после столкновения: $v'_1 = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ м/с.

Поскольку $v'_1 = v'_2$, модуль скорости второго шара после столкновения также равен: $v'_2 = 5\sqrt{2}$ м/с.

Для проверки можно убедиться, что закон сохранения кинетической энергии выполняется: Начальная энергия: $E_{k_{нач}} = \frac{m v_1^2}{2} = \frac{m \cdot 10^2}{2} = 50m$.
Конечная энергия: $E_{k_{кон}} = \frac{m {v'_1}^2}{2} + \frac{m {v'_2}^2}{2} = \frac{m (5\sqrt{2})^2}{2} + \frac{m (5\sqrt{2})^2}{2} = \frac{m \cdot 50}{2} + \frac{m \cdot 50}{2} = 25m + 25m = 50m$. Так как $E_{k_{нач}} = E_{k_{кон}}$, наше решение, основанное на предположении об упругом ударе, является верным.

Ответ: скорости обоих шаров после удара одинаковы и равны $5\sqrt{2}$ м/с (приблизительно 7,07 м/с).