Номер 328, страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

328*. С судна массой 750 т произведён выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом $60^\circ$ к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

Дано:

Масса судна $M = 750$ т
Масса снаряда $m = 30$ кг
Угол выстрела к горизонту $\alpha = 60^\circ$
Скорость снаряда относительно судна $u = 1$ км/с

Перевод в систему СИ:

$M = 750 \cdot 1000 \text{ кг} = 750000 \text{ кг}$
$u = 1 \cdot 1000 \text{ м/с} = 1000 \text{ м/с}$

Найти:

Изменение скорости судна $\Delta v_с$.

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса для системы "судно-снаряд" в проекции на горизонтальную ось. Внешние силы (сила тяжести и сила Архимеда) действуют по вертикали и не изменяют суммарный импульс системы в горизонтальном направлении.

Направим ось Ox в сторону первоначального движения судна. Пусть $v_{c1}$ - скорость судна до выстрела, а $v_{c2}$ - скорость судна после выстрела. Масса судна со снарядом до выстрела равна $M+m$.

Импульс системы до выстрела в проекции на ось Ox:

$P_{1x} = (M+m)v_{c1}$

После выстрела снаряд и судно движутся отдельно. Импульс судна после выстрела равен $Mv_{c2}$.

Скорость снаряда относительно земли ($v_п$) равна векторной сумме его скорости относительно судна ($u$) и скорости судна относительно земли ($v_{c2}$):

$\vec{v}_п = \vec{v}_{c2} + \vec{u}$

Выстрел произведен в сторону, противоположную движению судна, под углом $\alpha$ к горизонту. Следовательно, горизонтальная проекция скорости снаряда относительно судна направлена против оси Ox и равна $-u \cos\alpha$.

Тогда проекция абсолютной скорости снаряда на ось Ox:

$v_{пx} = v_{c2} - u \cos\alpha$

Импульс системы после выстрела в проекции на ось Ox:

$P_{2x} = Mv_{c2} + m v_{пx} = Mv_{c2} + m(v_{c2} - u \cos\alpha)$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{1x} = P_{2x}$:

$(M+m)v_{c1} = Mv_{c2} + m(v_{c2} - u \cos\alpha)$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(M+m)v_{c1} = Mv_{c2} + mv_{c2} - m u \cos\alpha$

$(M+m)v_{c1} = (M+m)v_{c2} - m u \cos\alpha$

Нас интересует изменение скорости судна $\Delta v_с = v_{c2} - v_{c1}$. Выразим его из полученного уравнения:

$(M+m)v_{c2} - (M+m)v_{c1} = m u \cos\alpha$

$(M+m)(v_{c2} - v_{c1}) = m u \cos\alpha$

$\Delta v_с = \frac{m u \cos\alpha}{M+m}$

Подставим числовые значения:

$\cos 60^\circ = 0.5$

$\Delta v_с = \frac{30 \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с} \cdot 0.5}{750000 \text{ кг} + 30 \text{ кг}} = \frac{15000}{750030} \approx 0.02 \text{ м/с}$

Поскольку $\Delta v_с > 0$, скорость судна увеличилась.

Ответ: скорость судна изменилась на 0.02 м/с (увеличилась).