Номер 327, страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

327. С лодки массой 200 кг, движущейся со скоростью 1 м/с, ныряет мальчик массой 50 кг, двигаясь в горизонтальном направлении. Какой станет скорость лодки после прыжка мальчика, если он прыгает:

а) с кормы со скоростью 4 м/с;

б) с носа со скоростью 2 м/с;

в) с носа со скоростью 6 м/с?

Дано:

Масса лодки, $m_л = 200$ кг
Начальная скорость лодки (и мальчика), $v_0 = 1$ м/с
Масса мальчика, $m_м = 50$ кг
Скорость мальчика относительно земли в случае а), $v_{м_a} = 4$ м/с
Скорость мальчика относительно земли в случае б), $v_{м_b} = 2$ м/с
Скорость мальчика относительно земли в случае в), $v_{м_c} = 6$ м/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$v'_{л_a}$ — скорость лодки после прыжка в случае а)
$v'_{л_b}$ — скорость лодки после прыжка в случае б)
$v'_{л_c}$ — скорость лодки после прыжка в случае в)

Решение:

Будем рассматривать систему тел «лодка + мальчик». В горизонтальном направлении эту систему можно считать замкнутой, так как время взаимодействия (прыжка) мало, и действием внешних сил (сопротивление воды и воздуха) можно пренебречь. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OX в сторону начального движения лодки. В таком случае начальная скорость лодки и мальчика $v_0$ будет положительной.

Суммарный импульс системы до прыжка мальчика равен: $P_{до} = (m_л + m_м) v_0$

Суммарный импульс системы после прыжка: $P_{после} = m_л v'_л + m_м v_м$ где $v'_л$ — скорость лодки после прыжка, а $v_м$ — скорость мальчика после прыжка относительно земли. Все скорости рассматриваются в проекциях на ось OX.

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$: $(m_л + m_м) v_0 = m_л v'_л + m_м v_м$

Из этого уравнения выразим искомую скорость лодки $v'_л$: $m_л v'_л = (m_л + m_м) v_0 - m_м v_м$ $v'_л = \frac{(m_л + m_м) v_0 - m_м v_м}{m_л}$

Рассмотрим каждый из трех случаев.

а) он прыгает с кормы со скоростью 4 м/с

Прыжок с кормы означает, что мальчик движется в направлении, противоположном начальному движению лодки. Поэтому проекция его скорости на ось OX отрицательна: $v_{м} = -4$ м/с.

Подставим числовые значения в выведенную формулу: $v'_{л_a} = \frac{(200 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 1 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot (-4 \text{ м/с})}{200 \text{ кг}} = \frac{250 \cdot 1 + 200}{200} = \frac{450}{200} = 2.25$ м/с.

Так как скорость $v'_{л_a}$ положительна, лодка продолжит движение в том же направлении, но с большей скоростью.

Ответ: 2.25 м/с.

б) с носа со скоростью 2 м/с

Прыжок с носа означает, что мальчик движется в том же направлении, что и лодка до прыжка. Проекция его скорости на ось OX положительна: $v_{м} = 2$ м/с.

Подставим значения в формулу: $v'_{л_b} = \frac{(200 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 1 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{200 \text{ кг}} = \frac{250 - 100}{200} = \frac{150}{200} = 0.75$ м/с.

Скорость $v'_{л_b}$ положительна, значит, лодка продолжит движение в прежнем направлении, но ее скорость уменьшится.

Ответ: 0.75 м/с.

в) с носа со скоростью 6 м/с

Мальчик прыгает с носа, его скорость направлена в ту же сторону, что и начальная скорость лодки. Проекция его скорости на ось OX положительна: $v_{м} = 6$ м/с.

Подставим значения в формулу: $v'_{л_c} = \frac{(200 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 1 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot 6 \text{ м/с}}{200 \text{ кг}} = \frac{250 - 300}{200} = \frac{-50}{200} = -0.25$ м/с.

Скорость $v'_{л_c}$ отрицательна. Это означает, что после прыжка мальчика лодка изменит направление своего движения и будет двигаться со скоростью 0.25 м/с в сторону, противоположную первоначальному направлению.

Ответ: -0.25 м/с (или 0.25 м/с в обратном направлении).