Номер 321, страница 48 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

321. Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость. Угол падения (угол между направлением скорости и перпендикуляром к плоскости) равен 60°. Найти изменение импульса мяча, если удар абсолютно упругий, а угол отражения равен углу падения.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$v = 20 \text{ м/с}$
$\alpha = 60^\circ$
Удар абсолютно упругий

Найти:

$\Delta \vec{p}$

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ равно разности его конечного $\vec{p}_2$ и начального $\vec{p}_1$ импульсов:

$\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$

Импульс является векторной величиной, поэтому для нахождения его изменения разложим векторы начального и конечного импульсов на составляющие. Введем систему координат: ось $OX$ направим вдоль горизонтальной плоскости, а ось $OY$ — перпендикулярно ей, вверх. Точку удара примем за начало координат.

Угол падения $\alpha$ — это угол между вектором скорости и перпендикуляром (осью $OY$).

Проекции начальной скорости $\vec{v}_1$ на оси координат:

$v_{1x} = v \sin \alpha$

$v_{1y} = -v \cos \alpha$ (знак "минус", так как мяч движется вниз, против направления оси $OY$)

Тогда проекции начального импульса $\vec{p}_1 = m\vec{v}_1$ равны:

$p_{1x} = m v \sin \alpha$

$p_{1y} = -m v \cos \alpha$

Поскольку удар абсолютно упругий, а угол отражения равен углу падения, модуль скорости мяча после удара не изменится ($v_2 = v_1 = v$), а угол отражения будет также равен $\alpha$ по отношению к нормали.

Проекции конечной скорости $\vec{v}_2$ на оси координат:

$v_{2x} = v \sin \alpha$ (горизонтальная составляющая скорости не изменилась)

$v_{2y} = v \cos \alpha$ (вертикальная составляющая изменила направление на противоположное)

Проекции конечного импульса $\vec{p}_2 = m\vec{v}_2$ равны:

$p_{2x} = m v \sin \alpha$

$p_{2y} = m v \cos \alpha$

Теперь найдем проекции вектора изменения импульса $\Delta \vec{p}$:

$\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = m v \sin \alpha - m v \sin \alpha = 0$

$\Delta p_y = p_{2y} - p_{1y} = m v \cos \alpha - (-m v \cos \alpha) = 2 m v \cos \alpha$

Таким образом, вектор изменения импульса направлен вдоль оси $OY$, то есть перпендикулярно плоскости. Его модуль равен:

$\Delta p = |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{0^2 + (2 m v \cos \alpha)^2} = 2 m v \cos \alpha$

Подставим числовые значения:

$\Delta p = 2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.1 \cdot 20 \cdot 0.5 = 2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: изменение импульса мяча равно $2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$ и направлено перпендикулярно плоскости удара.